ثانوية الخوارزمي التأهيلية - مجاط KhawarizmiMath

 

 

  بسم الله الرحمن الرحيم  I. Détermination de primitives Exercice 1: Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $I\!R$ avec 1. $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}}$; $F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$ 2. $f(x)=\sqrt{e^{x}}$; $F(x)=2 \sqrt{e^{x}}$ Réponse :   1. On dérive $F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$ $\begin{aligned} F^{\prime}(x)&=1-\displaystyle\frac{ e ^{x}}{1+ e ^{x}}\\&=\displaystyle\frac{1+ e ^{x}- e ^{x}}{1+ e ^{x}}\\&=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}}\\&=f(x)   \end{aligned}$ $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $I\!R$ 2. On dérive $F(x)=2 \sqrt{ e ^{x}}$ $\begin{aligned}  F^{\prime}(x)&=2 \times \displaystyle\frac{e^{x}}{2 \sqrt{ e ^{x}}}\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{ e ^{x}}^{2}}{\sqrt{ e ^{x}}