Exercices corrigés intégration
بسم الله الرحمن الرحيم
Exercice 1:
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ avec
1. $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}} \quad F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$
2. $f(x)=\sqrt{e^{x}} \quad F(x)=2 \sqrt{e^{x}}$
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ avec
1. $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}} \quad F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$
2. $f(x)=\sqrt{e^{x}} \quad F(x)=2 \sqrt{e^{x}}$
🔻Correction exercice 1
1. On dérive $F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$$F^{\prime}(x)=1-\displaystyle\frac{ e ^{x}}{1+ e ^{x}}=\displaystyle\frac{1+ e ^{x}- e ^{x}}{1+ e ^{x}}=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}}=f(x) ; F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
2. On dérive $F(x)=2 \sqrt{ e ^{x}}$
$F^{\prime}(x)=2 \times \displaystyle\frac{e^{x}}{2 \sqrt{ e ^{x}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{ e ^{x}}^{2}}{\sqrt{ e ^{x}}}=\sqrt{ e ^{x}}=f(x) ; F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 2: Primitives de sommes de fonctions usuelles
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
$f_{1}(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{2}(x)=6 x^{5}+4 x^{3}-1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{3}(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{4}(x)=4 x^{7}-x^{6}-\displaystyle\frac{2}{3} x-5 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}+9$ sur $I=] 0 ;+\infty[$
$f_{6}(x)=\sin x-3 \cos x$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{7}(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$ sur $I= \mathbb{R} ^{*}$
$f_{8}(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}- e ^{x}$ sur $I= \mathbb{R} ^{*}$
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
$f_{1}(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{2}(x)=6 x^{5}+4 x^{3}-1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{3}(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{4}(x)=4 x^{7}-x^{6}-\displaystyle\frac{2}{3} x-5 $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}+9$ sur $I=] 0 ;+\infty[$
$f_{6}(x)=\sin x-3 \cos x$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{7}(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$ sur $I= \mathbb{R} ^{*}$
$f_{8}(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}- e ^{x}$ sur $I= \mathbb{R} ^{*}$
🔻Correction exercice 2
$\bullet \quad f_{1}(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1$ sur $I= \mathbb{R}$$F_{1}(x)=4 \times \displaystyle\frac{x^{4}}{4}+3 \times \displaystyle\frac{x^{3}}{3}+2 \times \displaystyle\frac{x^{2}}{2}+x=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \quad$ car $F_{1}^{\prime}=f_{1}$
$\bullet \quad f_{2}(x)=6 x^{5}+4 x^{3}-1$ sur $I= \mathbb{R}$
$F_{2}(x)=6 \times \displaystyle\frac{x^{6}}{6}+4 \times \displaystyle\frac{x^{4}}{4}-x=x^{6}+x^{4}-x $ car $F_{2}^{\prime}=f_{2}$
$\bullet \quad f_{3}(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ sur $I= \mathbb{R}$
$F_{3}(x)=\displaystyle\frac{x^{4}}{4}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+x$ car $F_{3}^{\prime}=f_{3}$
$\bullet \quad f_{4}(x)=4 x^{7}-x^{6}-\displaystyle\frac{2}{3} x-5$ sur $I= \mathbb{R}$
$F_{4}(x)=4 \times \displaystyle\frac{x^{8}}{8}-\displaystyle\frac{x^{7}}{7}-\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{x^{2}}{2}-5 x=\displaystyle\frac{x^{8}}{2}-\displaystyle\frac{x^{7}}{7}-\displaystyle\frac{x^{2}}{3}-5 x$ car $F_{4}^{\prime}=f_{4}$
$\bullet \quad f_{5}(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}+9$ sur $I=] 0 ;+\infty[$
$F_{5}(x)=\sqrt{x}+9 x$ car $F_{5}^{\prime}=f_{5}$
$\bullet \quad f_{6}(x)=\sin x-3 \cos x$ sur $I= \mathbb{R}$
$F_{6}(x)=-\cos x-3 \sin x$ car $F_{6}^{\prime}=f_{6}$
$\bullet \quad f_{7}(x)=\displaystyle\frac{2}{x} $ sur $I=\mathbb{R} ^{*}$
$F_{7}(x)=2 \times \ln |x|$ car $F_{7}^{\prime}=f_{7}$
$\bullet \quad f_{8}(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}- e ^{x} $ sur $I=\mathbb{R} ^{*}$
$F_{8}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln |x|- e ^{x}$ car $F_{8}^{\prime}=f_{8}$
Exercice3:
Primitives de $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}, \displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ et $u^{\prime} e ^{u}$
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
$f_{1}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{2}(x)=\displaystyle\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{3}(x)=3 x e ^{3 x^{2}+1} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{4}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{\left( e ^{x}+1\right)^{2}} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{ e ^{x}+3} \quad$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{6}(x)=\cos x e ^{\sin x} \quad$ sur $I= \mathbb{R}$
Primitives de $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}, \displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ et $u^{\prime} e ^{u}$
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
$f_{1}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{2}(x)=\displaystyle\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{3}(x)=3 x e ^{3 x^{2}+1} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{4}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{\left( e ^{x}+1\right)^{2}} $ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{ e ^{x}+3} \quad$ sur $I= \mathbb{R}$
$f_{6}(x)=\cos x e ^{\sin x} \quad$ sur $I= \mathbb{R}$
🔻Correction exercice 3
Primitives de $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$, $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ et $u^{\prime} e ^{u}$$\bullet \quad f_{1}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$ sur $I=\mathbb{R} : f_{1}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1>0$
Une primitive de $f_{1}$ est donc $F_{1}(x)=\ln u(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $\mathbb{R}$
$\bullet \quad f_{2}(x)=\displaystyle\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}$ sur $I=\mathbb{R}$ : $f_{2}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ avec $u(x)=x^{4}+1>0$
Une primitive de $f_{2}$ est donc $F_{2}(x)=-\displaystyle\frac{1}{u(x)}=-\displaystyle\frac{1}{x^{4}+1} $ sur $\mathbb{R}$
$\bullet \quad f_{3}(x)=3 x e ^{3 x^{2}+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \times 6 x e ^{3 x^{2}+1}$ sur $I=\mathbb{R} : f_{3}$ est de la forme $\displaystyle\frac{1}{2} u^{\prime} e ^{u}$ avec $u(x)=3 x^{2}+1$
Une primitive de $f_{3}$ est donc $F_{3}(x)=\displaystyle\frac{1}{2} e ^{u(x)}=\displaystyle\frac{ e ^{3 x^{2}-1}}{2} $ sur $\mathbb{R}$
$\bullet \quad f_{4}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{\left( e ^{x}+1\right)^{2}}$ sur $I=\mathbb{R} : f_{4}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ avec $u(x)= e ^{x}+1$
Une primitive de $f_{4}$ est donc $F_{4}(x)=-\displaystyle\frac{1}{u(x)}=-\displaystyle\frac{1}{ e ^{x}+1}$ sur $\mathbb{R}$
$\bullet \quad f_{5}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{ e ^{x}+3} \quad$ sur $I=\mathbb{R} : f_{5}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)= e ^{x}+3$
Une primitive de $f_{5}$ est donc $F_{5}(x)=\ln |u(x)|=\ln \left( e ^{x}+3\right)$ car $e ^{x}+3>0$ sur $\mathbb{R}$
$\bullet\quad f_{6}(x)=\cos x e ^{\sin x} \quad$ sur $I=\mathbb{R} : f_{6}$ est de la forme $u$ 'e $^{u}$ avec $u(x)=\sin x$
Une primitive de $f_{6}$ est donc $F_{6}(x)= e ^{u(x)}= e ^{\sin x}$ sur $\mathbb{R}$
Exercice4:
Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^{2}+4}$
Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^{2}+4}$
🔻Correction exercice 4
On a $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^{2}+4}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+4}$ .La fonction est de la forme $\displaystyle\frac{1}{2} \times\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+4$
Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$, sont donc de la forme $F(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)+C, \quad C \in \mathbb{R}$
Exercice5:
1) Déterminer la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction cosinus qui s'annule en $\displaystyle\frac{\pi}{2}$
2) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= e ^{3 x+1}$, qui s'annule en $x=-1$
3) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x e ^{-x^{2}},$ dont la courbe représentative passe par le point $A(\sqrt{\ln 2}, 1)$
1) Déterminer la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction cosinus qui s'annule en $\displaystyle\frac{\pi}{2}$
2) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= e ^{3 x+1}$, qui s'annule en $x=-1$
3) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x e ^{-x^{2}},$ dont la courbe représentative passe par le point $A(\sqrt{\ln 2}, 1)$
🔻Correction exercice 5
1) Les primitives de la fonction cosinus sont de la forme $F(x)=\sin x+C, \quad C \in R .$On cherche alors $C$ tel que $F(\displaystyle\frac{\pi}{2})=0 .$
On a $F(\displaystyle\frac{\pi}{2})=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+C=1+C$
Il faut donc que $C=-1$ et la primitive cherchée est $F(x)=\sin x-1$
2) On a $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3} \times 3 e ^{3 x+1} .$
La fonction est de la forme $\displaystyle\frac{1}{3} \times u'e^{u}$ avec $u(x)=3 x+1$
Les primitives de la fonction $f$ sont donc de la forme $F(x)= e ^{3 x+1}+C, \quad C \in \mathbb{R}$
On cherche alors $C$ tel que $F(-1)=0 .$ On a $F(-1)= e ^{3 \times(-1)+1}+C= e ^{-2}+C=\displaystyle\frac{1}{ e ^{2}}+C$
Il faut donc que $C=-\displaystyle\frac{1}{ e ^{2}}$ et la primitive cherchée est $F(x)= e ^{3 x+1}-\displaystyle\frac{1}{ e^{2}}$
3) On a $f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(-2 x) e ^{-x^{2}} .$
La fonction est de la forme $-\displaystyle\frac{1}{2} \times u^{\prime} e ^{u}$ avec $u(x)=-x^{2}$
Les primitives de la fonction $f$ sont donc de la forme $F(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-x^{2}}+C, \quad C \in \mathbb{R}$
On cherche alors $C$ tel que $F(\sqrt{\ln 2})=1$
On a
$\begin{array}{ll}F(\sqrt{\ln 2})&=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-\sqrt{\ln 2}^{2}}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-\ln 2}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{2 e ^{\ln 2}}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{4}+C=1\end{array}$
Il faut donc que $C=\displaystyle\frac{5}{4}$ et la primitive cherchée est $F(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-x^{2}}+\displaystyle\frac{5}{4}$
Exercice6:
On considère la fonction $f$ définie sur $] 2 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{2 x^{2}-3 x-4}{x-2}$.
a) Écrire $f$ sous la forme $f(x)=a x+b+\displaystyle\frac{c}{x-2}$
b) Déterminer alors une primitive de $f$
On considère la fonction $f$ définie sur $] 2 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{2 x^{2}-3 x-4}{x-2}$.
a) Écrire $f$ sous la forme $f(x)=a x+b+\displaystyle\frac{c}{x-2}$
b) Déterminer alors une primitive de $f$
🔻Correction exercice 6
$f$ est la fonction définie sur $] 2 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{2 x^{2}-3 x-4}{x-2}$.a)
$ \begin{array}{ll} a x+b+\displaystyle\frac{c}{x-2}&=\displaystyle\frac{(a x+b)(x-2)+c}{x-2}\\&=\displaystyle\frac{a x^{2}-2 a x+b x-2 b+c}{x-2}\\&=\displaystyle\frac{a x^{2}+(b-2 a) x+c-2 b}{x-2} \end{array}$
Pour que ce quotient soit égal à $f(x)$, il suffit que :
$\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b-2 a=-3 \\ c-2 b=-4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-3+2 \times 2=1 \\ c=-4+2 \times 1=-2\end{array}\right.\right.$
On en déduit que $f(x)=2 x+1-\displaystyle\frac{2}{x-2}$
b) Comme $f(x)=2 x+1-\displaystyle\frac{2}{x-2}=2 x+1-2 \times \displaystyle\frac{1}{x-2}$,
une primitive de $f$ sur $] 2 ;+\infty[$ est $F(x)=x^{2}+x-2 \ln (x-2)$ II. Calcul d’intégrales à l’aide des primitives :
Exercice7:
Calculer les intégrales suivantes:
a) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(t^{2}+4 t+3\right) dt$
b) $\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2 t}-\displaystyle\frac{3}{t^{2}}\right) dt$
c) $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} e ^{x} dx$
d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{t} dt$
e) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin x) dx$
f) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{ dx}{\cos ^{2} x}$
Calculer les intégrales suivantes:
a) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(t^{2}+4 t+3\right) dt$
b) $\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2 t}-\displaystyle\frac{3}{t^{2}}\right) dt$
c) $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} e ^{x} dx$
d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{t} dt$
e) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin x) dx$
f) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{ dx}{\cos ^{2} x}$
🔻Correction exercice 7
a)$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(t^{2}+4 t+3\right) dt&=\left[\displaystyle\frac{t^{3}}{3}+4 \times \displaystyle\frac{t^{2}}{2}+3 t\right]_{-1}^{1}\\&=\left[\displaystyle\frac{t^{3}}{3}+2 t^{2}+3 t\right]_{-1}^{1}\\&=\left(\displaystyle\frac{1}{3}+2+3\right)-\left(\displaystyle\frac{-1}{3}+2-3\right)\\&=\displaystyle\frac{20}{3} \end{array}$
b)
$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2 t}-\displaystyle\frac{3}{t^{2}}\right) dt&=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{t}+3 \times\left(-\displaystyle\frac{1}{t^{2}}\right)\right) dt\\&=\left[\displaystyle\frac{1}{2} \ln t+3 \times \displaystyle\frac{1}{t}\right]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \ln 2+\displaystyle\frac{3}{2}-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1+3\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \ln 2-\displaystyle\frac{3}{2}\end{array}$
c)
$\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} e ^{x} dx=\left[ e ^{x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3}= e ^{\ln 3}- e ^{\ln 2}=1$
d)
$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{t} dt&=\displaystyle\int_{1}^{2} t^{\frac{1}{2}} dt\\&=\left[\displaystyle\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}\\&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{2}{3}\left(2^{\frac{3}{2}}-1\right)\\&=\displaystyle\frac{2}{3}(2 \sqrt{2}-1) \end{array}$
e)
$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin x) dx&=[\sin x+\cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\&=1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}$
f)
$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{ dx}{\cos ^{2} x}=[\tan x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-1$
Exercice8:
Calculer les intégrales suivantes:
a) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e ^{-t} dt$
b) $\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} dx$
c) $\displaystyle\int_{0}^{-1} \displaystyle\frac{ dt}{\sqrt{1-2 t}}$
d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{3 x+2}$
e) $\displaystyle\int_{\frac{1}{ e }}^{ e } \displaystyle\frac{\ln t}{t} dt$
f) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{2-t} dt$
g) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+1} dt$
h) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 t) dt$
i) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \cos (3 x) dx$
Calculer les intégrales suivantes:
a) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e ^{-t} dt$
b) $\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} dx$
c) $\displaystyle\int_{0}^{-1} \displaystyle\frac{ dt}{\sqrt{1-2 t}}$
d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{3 x+2}$
e) $\displaystyle\int_{\frac{1}{ e }}^{ e } \displaystyle\frac{\ln t}{t} dt$
f) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{2-t} dt$
g) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+1} dt$
h) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 t) dt$
i) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \cos (3 x) dx$
🔻Correction exercice 8
a)$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e ^{-t} dt&=\left[- e ^{-t}\right]_{0}^{\ln 3}\\&=- e ^{-\ln 3}-\left(- e ^{0}\right)\\&=-\displaystyle\frac{1}{3}+1\\&=\displaystyle\frac{2}{3}\end{array}$
Pour toute la suite, on note $f$ la fonction à intégrer, $F$ une primitive de $f$ et $I$ l'intégrale à calculer.
b) $\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} dx:$ soit $u(x)=x^{2}+1 ;$ alors $u^{\prime}(x)=2 x$
$f(x)=\displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{(u(x))^{2}}$ donc
$F(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \times\left(-\displaystyle\frac{1}{u(x)}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}$
$I=\left[-\displaystyle\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}\right]_{0}^{2}=-\displaystyle\frac{1}{10}-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{2}{5}$
c) $\displaystyle\int_{0}^{-1} \displaystyle\frac{ dt}{\sqrt{1-2 t}}$: soit $u(t)=1-2 t$ ; alors $u^{\prime}(t)=-2$
$f(t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-2 t}}=-\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{-2}{\sqrt{1-2 t}}=-\displaystyle\frac{u^{\prime}(t)}{2 \sqrt{u(t)}}$ donc
$F(t)=-\sqrt{u(t)}=-\sqrt{1-2 t}$
$I=[-\sqrt{1-2 t}]_{0}^{-1}=-\sqrt{3}-(-1)=1-\sqrt{3}$
d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{3 x+2}:$ soit $u(x)=3 x+2 ;$ alors $u^{\prime}(x)=3$
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{3 x+2}=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{3}{3 x+2}=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ donc
$F(x)=\displaystyle\frac{1}{3} \ln (u(x))=\displaystyle\frac{1}{3} \ln (3 x+2)$
$I=\left[\displaystyle\frac{1}{3} \ln (3 x+2)\right]_{1}^{2}=\displaystyle\frac{1}{3}(\ln 8-\ln 5)=\displaystyle\frac{1}{3} \ln \displaystyle\frac{8}{5}$
e) $\displaystyle\int_{\frac{1}{ e }}^{ e } \displaystyle\frac{\ln t}{t} dt:$ soit $u(t)=\ln t ;$ alors $u^{\prime}(t)=\displaystyle\frac{1}{t}$
$f(t)=\displaystyle\frac{\ln t}{t}=\ln t \times \displaystyle\frac{1}{t}=u(t) \times u^{\prime}(t)$ donc
$F(t)=\displaystyle\frac{(u(t))^{2}}{2}=\displaystyle\frac{(\ln t)^{2}}{2}$
$I=\left[\displaystyle\frac{(\ln t)^{2}}{2}\right]_{\frac{1}{ e }}^{ e }=\displaystyle\frac{1}{2}\left((\ln e )^{2}-\left(\ln \displaystyle\frac{1}{ e }\right)^{2}\right)=0$
f) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{2-t} dt:$ soit $u(t)=2-t ;$ alors $u^{\prime}(t)=-1$
$f(t)=\sqrt{2-t}=(2-t)^{\frac{1}{2}}=-(u(t))^{\frac{1}{2}} \times u^{\prime}(t)$ donc
$F(t)=-\displaystyle\frac{2}{3}(u(t))^{\frac{3}{2}}=-\displaystyle\frac{2}{3}(2-t)^{\frac{3}{2}}$
$I=\left[-\displaystyle\frac{2}{3}(2-t)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}=-\displaystyle\frac{2}{3}-\left(-\displaystyle\frac{2}{3} \times 2^{\frac{3}{2}}\right)=\displaystyle\frac{2}{3}(2 \sqrt{2}-1)$
g) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+1} dt: $ soit $ u(t)=e^{2 t}+1 ;$ alors $u^{\prime}(t)=2 e^{2 t}$
$f(t)=\displaystyle\frac{ e ^{2 t}}{ e ^{2 t}+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 e ^{2 t}}{ e ^{2 t}+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(t)}{u(t)}$ donc
$F(t)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln (u(t))=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left(e^{2 t}+1\right)$
$I=\left[\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left( e ^{2 t}+1\right)\right]_{0}^{\ln 2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\ln \left( e ^{2 \ln 2}+1\right)-\ln \left( e ^{0}+1\right)\right)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{5}{2}$
h) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 t) dt: $ soit $ u(t)=2 t ;$ alors $u^{\prime}(t)=2$
$f(t)=\sin (2 t)=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(-\sin (2 t)) \times 2=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(\cos )^{\prime}(u(t)) \times u^{\prime}(t)$ donc
$F(t)=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (u(t))=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (2 t)$
$I=\left[-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (2 t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos \pi-\left(-\displaystyle\frac{1}{2} \cos 0\right)=1$
i) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \cos (3 x) dx:$ soit $u(x)=3 x ;$ alors $u^{\prime}(x)=3$
$f(x)=\cos (3 x)=\displaystyle\frac{1}{3} \times \cos (3 x) \times 3=\displaystyle\frac{1}{3} \times(\sin )^{\prime}(u(x)) \times u^{\prime}(x)$ donc
$F(x)=\displaystyle\frac{1}{3} \sin (u(x))=\displaystyle\frac{1}{3} \sin (3 x)$
$\begin{array}{ll} I=\left[\displaystyle\frac{1}{3} \sin (3x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}}&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\sin \displaystyle\frac{9 \pi}{4}-\sin \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)\right)\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+2}{6} \end{array}$
Exercice9:
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$ par: $f(x)=\displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}.$
1) Déterminer les réels $a, b \ et\ c$ tels que : $\forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, f(x)=a+\displaystyle\frac{b}{2 x+1}+\displaystyle\frac{c}{2 x-1}.$
2) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(x) dx$
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$ par: $f(x)=\displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}.$
1) Déterminer les réels $a, b \ et\ c$ tels que : $\forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, f(x)=a+\displaystyle\frac{b}{2 x+1}+\displaystyle\frac{c}{2 x-1}.$
2) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(x) dx$
🔻Correction exercice 9
$f$ est la fonction définie sur $]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$ par :$f(x)=\displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}.$
1) $\quad \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, f(x)=a+\displaystyle\frac{b}{2 x+1}+\displaystyle\frac{c}{2 x-1}$
$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, f(x)=\displaystyle\frac{a\left(4 x^{2}-1\right)+b(2 x-1)+c(2 x+1)}{(2 x+1)(2 x-1)}$
$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, \displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}=\displaystyle\frac{4 a x^{2}+(2 b+2 c) x-a-b+c}{(2 x+1)(2 x-1)}$
$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, 8 x^{2}-4=4 a x^{2}+(2 b+2 c) x-a-b+c $
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.
L'égalité précédente équivaut à :
$\left\{\begin{array}{l}4 a=8 \\ 2 b+2 c=0 \\ -a-b+c=-4\end{array}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ c=-b \\ -2-2 b=-4\end{array}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ c=-1\end{array}\right.\right.\right.$
D'où : $\forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}\left[, f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{2 x+1}-\displaystyle\frac{1}{2 x-1}\right.$
2) $f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2}{2 x+1} \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2}{2 x-1}$ donc
$F(x)=2 x+\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x+1|-\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x-1|$
$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(x) dx&=\left[2 x+\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x+1|-\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x-1|\right]_{0}^{\frac{1}{4}}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{1}{2}-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1-\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2} \ln 3 \end{array}$
Exercice10:
Soient $a$ et $b$ deux réels.
On considère les fonctions $f$ et $F$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1) e ^{-x}$ et $F(x)=(a x+b) e ^{-x}$
1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $F$ soit une primitive de $f$
2) En déduire $\displaystyle\int_{0}^{\ln (3)}(x-1) e^{-x} dx$
Soient $a$ et $b$ deux réels.
On considère les fonctions $f$ et $F$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1) e ^{-x}$ et $F(x)=(a x+b) e ^{-x}$
1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $F$ soit une primitive de $f$
2) En déduire $\displaystyle\int_{0}^{\ln (3)}(x-1) e^{-x} dx$
🔻Correction exercice 10
$F(x)=(a x+b) e^{-x}$$\begin{array}{ll} F^{\prime}(x)&=a \times e ^{-x}+(a x+b) \times\left(- e ^{-x}\right)\\&=(a-a x-b) e ^{-x}\\&=(a-b-a x) e ^{-x} \end{array}$
On identifie avec l'expression de $f(x)=(x-1) e ^{-x}$:
$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1 \\ -a=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=0\end{array}\right.\right.$
Donc $F(x)=-x e ^{-x}$ et
$\begin{array}{ll} \displaystyle\int_{0}^{\ln 3} f(x) dx&=F(\ln 3)-F(0)\\&=-\ln 3 e ^{-\ln 3}\\&=-\ln 3 e ^{\ln \displaystyle\frac{1}{3}}\\&=-\displaystyle\frac{\ln 3}{3}\end{array}$
III. Intégration par parties:
Théorème :
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I,$ dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$
Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, $\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) dx=[u(x) v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx$
Preuve : Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I,$ dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$
Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, $\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) dx=[u(x) v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx$
$\bullet$ $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ donc $u v$ est dérivable sur $I$, et $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime},$ donc
$u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v$
$\bullet$ $u, v, u$ ' et $v$ ' sont continues sur $I$, donc $u v^{\prime}, u$ 'v et $(u v)$ ' le sont aussi alors
$\begin{array}{ll} \int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) dx &=\int_{a}^{b}[(u v)^{\prime}(x)-u^{\prime}(x) v(x)] dx \\ &=\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) dx-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx \\ &=[u v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx \end{array}$
Exemples:
Calculer $J=\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$
Soit $x$ un réel strictement positif. Calculer $\int_{1}^{x} \ln t dt$
Calculer $J=\int_{0}^{\pi} x e^{x} dx$
On note $I=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \sin x dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \cos x dx$
a. Démontrer que $I=-J$ et que $I=J+1+ e ^{\pi}$
b. En déduire les valeurs exactes de $I$ et de $J$
Exercice11:
À l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
a) $\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$
b) $\int_{0}^{2}(2-x) e ^{x} dx$
c) $\int_{1}^{ e } \ln (x) dx$
À l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
a) $\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$
b) $\int_{0}^{2}(2-x) e ^{x} dx$
c) $\int_{1}^{ e } \ln (x) dx$
🔻Correction exercice 11
a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$$\left.\begin{array}{l}Posons\ : u(x)=x \ et\ v^{\prime}(x)=\sin x \\ on\ a\ : u^{\prime}(x)=1 \ et\ v(x)=-\cos x\end{array}\right\}$ les fonctions $u, v, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}]$
Appliquons la formule d'intégration par parties :
$\begin{array}{ll} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx &=[-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) dx \\ &=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-(-0 \cos 0)+[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}-\sin 0=1 \end{array}$
b) $\int_{0}^{2}(2-x) e^{x} dx$
$\left.\begin{array}{l}\ Posons\ : u(x)=2-x \ et\ v^{\prime}(x)=e^{x} \\ \ on\ a\ : u^{\prime}(x)=-1 \ et\ v(x)=e^{x}\end{array}\right\}$ les fonctions $u, v, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[0 ; 2]$
Appliquons la formule d'intégration par parties :
$\begin{array}{ll} \int_{0}^{2}(2-x) e^{x} dx&=[(2-x) e^{x}]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\left(-e^{x}\right) dx\\&=-2 e^{0}+[e^{x}]_{0}^{2}\\&=-2+e^{2}-e^{0}\\&=e^{2}-3\end{array}$
c) $\int_{1}^{e} \ln (x) dx$
$\left.\begin{array}{rl}\ Posons\ : u(x) & =\ln x \ et\ v^{\prime}(x)=1 \\ \ on\ a\ : u^{\prime}(x) & =\displaystyle\frac{1}{x} \ et\ v(x)=x\end{array}\right\}$ les fonctions $u, v, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[1 ; e]$
Appliquons la formule d'intégration par parties :
$\begin{array}{ll}\int_{1}^{e} \ln (x) dx &=[x \ln (x)]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \displaystyle\frac{1}{x} x dx\\&= e \ln (e)-1 \ln (1)-\int_{1}^{e} 1 dx\\&=e-[x]_{1}^{e}=e-(e-1)=1\end{array}$
Exercice12:
À l'aide d'une intégration par parties, donner une primitive sur $] 0 ;+\infty[$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ;+\infty[$ par $f(x)=x^{2} \ln (x)$
À l'aide d'une intégration par parties, donner une primitive sur $] 0 ;+\infty[$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ;+\infty[$ par $f(x)=x^{2} \ln (x)$
🔻Correction exercice 12
$f(x)=x^{2} \ln (x)$ pour $ x \in] 0 ;+\infty[$$\left.\begin{array}{l}\ Posons \ : u(x)=\ln x \ et \ v^{\prime}(x)=x^{2} \\ \ on a \ : u^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \ et \ v(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\end{array}\right\}$ les fonctions $u$, $,u^{\prime}$ et $ v^{\prime}$ sont continues sur $] 0 ;+\infty[$
Appliquons la formule d'intégration par parties :
$\begin{array}{ll}\int x^{2} \ln (x) dx &=[\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x)]-\int \frac{x^{2}}{3} dx \\&=\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x)-[\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{x^{3}}{3}] \end{array}$
Une primitive sur $] 0 ;+\infty[$ de $ f $ est la fonction $F$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $ F(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x)-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}$
Exercice13:
On considère les intégrales $I=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \sin (x) dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \cos (x) dx$
a) En intégrant $I$ puis $J$ par parties, démontrer que $I=-J$ puis que $I=J+e^{\pi}+1$
b) Déterminer $I$ et $J$ par résolution d'un système.
On considère les intégrales $I=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \sin (x) dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \cos (x) dx$
a) En intégrant $I$ puis $J$ par parties, démontrer que $I=-J$ puis que $I=J+e^{\pi}+1$
b) Déterminer $I$ et $J$ par résolution d'un système.
🔻Correction exercice 13
$I=\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin (x) dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos (x) dx$a) En appliquant à $J$ la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$ avec
$u(x)=\cos x$ et $v^{\prime}(x)=e^{x},$ les fonctions $u, v, u$ 'et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; \pi],$ on obtient :
$J=[(\cos x) e^{x}]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\sin x) e^{x} dx=-e^{\pi}-1+I,$
donc $I=J+e^{\pi}+1$
b) Pour déterminer $I$ et $J$, on résout le système
$(S):\left\{\begin{array}{l}I=-J \\ I=J+e^{\pi}+1\end{array}\right.$
$(S) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}J=-I \\ I=-I+e^{\pi}+1\end{array}\right.$
$\quad\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}J=-I \\ 2 I=e^{\pi}+1\end{array}\right.$
$\quad \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}I=\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2} \\ J=-\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2}\end{array}\right.$
Exercice14:
Soit $n$ un entier naturel et $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e ^{1-x} dx$
a) Calculer $I_{1}$
b) Établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_{n}$
c) En déduire $I_{3}$
Soit $n$ un entier naturel et $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e ^{1-x} dx$
a) Calculer $I_{1}$
b) Établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_{n}$
c) En déduire $I_{3}$
🔻Correction exercice 14
$I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e^{1-x} dx$ pour $n$ entier naturela)
$\begin{array}{ll} I_{1}&=\int_{0}^{1} x e^{1-x} dx\\&=[-x e^{1-x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(-e^{1-x}\right) dx\\&=-1+[-e^{1-x}]_{0}^{1}\\&=-1-1+e=e-2 \end{array}$
b)
$\begin{array}{ll} I_{n+1}&=\int_{0}^{1} x^{n+1} e^{1-x} dx\\&=[-x^{n+1} e^{1-x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1) x^{n}\left(-e^{1-x}\right) dx\\&=-1+(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{1-x} dx \end{array} $
donc $I_{n+1}=(n+1) I_{n}-1$
c) On calcule d'abord $I_{2}: I_{2}=3 I_{1}-1=3 e-7$; on en déduit
$I_{3}: I_{3}=4 I_{2}-1=12 e-29$
Exercice15:
À l'aide d'une double intégration par parties, calculer
a) $I=\int_{0}^{3} x^{2} e ^{-2 x} dx$
b) $I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) dx$
À l'aide d'une double intégration par parties, calculer
a) $I=\int_{0}^{3} x^{2} e ^{-2 x} dx$
b) $I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) dx$
🔻Correction exercice 15
a) $I=\int_{0}^{3} x^{2} e^{-2 x} dx$En appliquant la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$
avec $u(x)=x^{2}$ et $v^{\prime}(x)=e^{-2 x},$ les fonctions $u, v, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; 3],$ on obtient :
$\begin{array}{ll} I&=[x^{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right)]_{0}^{3}-\int_{0}^{3} 2 x\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) dx\\&=-\displaystyle\frac{9}{2} e^{-6}+\int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx \end{array}$
Intégrons de nouveau par parties $\int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx$ avec $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=e^{-2 x}$
$\begin{array}{ll} \int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx&=[-\displaystyle\frac{1}{2} x e^{-2 x}]_{0}^{3}-\int_{0}^{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) dx\\&=-\displaystyle\frac{3}{2} e^{-6}+[-\displaystyle\frac{1}{4} e^{-2 x}]_{0}^{3}\\&=-\displaystyle\frac{7}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4} \end{array}$
On en déduit $: I=-\displaystyle\frac{9}{2} e^{-6}-\displaystyle\frac{7}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4}=-\displaystyle\frac{25}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4}$
b) $I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) dx$
En appliquant la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$ avec
$u(x)=x^{2}$ et $v^{\prime}(x)=\cos x,$ les fonctions $u, v, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; \pi],$ on obtient :
$\begin{array}{ll} I&=[x^{2} \sin x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} 2 x \sin x dx\\&=-2 \int_{0}^{\pi} x \sin x dx \end{array}$
Intégrons de nouveau par parties $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$ avec $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=\sin x$
$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx=[x \cos x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\cos x) dx=1+[\sin x]_{0}^{\pi}=1$
On en déduit : $I=-2 \times 1=-2$
III. Calcul d’aires:
Exercice16:
Associer chaque intégrale au schéma qui lui correspond (pour cet exercice, les aires des parties du plan situées sous l’axe des abscisses sont comptées négativement).
a)
b)
c)
d)
1) $\int_{-1}^{2} f(x) dx$
2) $\int_{0}^{2} f(x) dx$
3) $\int_{-1}^{2}|f(x)| dx$
4) $\int_{1}^{2} f(x) dx$
Associer chaque intégrale au schéma qui lui correspond (pour cet exercice, les aires des parties du plan situées sous l’axe des abscisses sont comptées négativement).
a)
b)
c)
d)
1) $\int_{-1}^{2} f(x) dx$
2) $\int_{0}^{2} f(x) dx$
3) $\int_{-1}^{2}|f(x)| dx$
4) $\int_{1}^{2} f(x) dx$
🔻Correction exercice 16
Le schéma a) correspond à l'intégrale 1.Le schéma b) correspond à l'intégrale 3.
Le schéma c) correspond à l'intégrale 4.
Le schéma d) correspond à l'intégrale 2.
Exercice17:
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$.
On suppose connues les aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ et $A_{5}$.
a) Avec ces valeurs, exprimer les intégrales suivantes:
$I_{1}=\int_{-6}^{-1,5} f(x) dx$ , $I_{2}=\int_{-1,5}^{2} f(x) dx$ et $I_{3}=\int_{0}^{3} f(x) dx$
b) À l'aide d'intégrales, exprimer la somme $A_{1}+A_{2}+A_{3}$
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$.
On suppose connues les aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ et $A_{5}$.
a) Avec ces valeurs, exprimer les intégrales suivantes:
$I_{1}=\int_{-6}^{-1,5} f(x) dx$ , $I_{2}=\int_{-1,5}^{2} f(x) dx$ et $I_{3}=\int_{0}^{3} f(x) dx$
b) À l'aide d'intégrales, exprimer la somme $A_{1}+A_{2}+A_{3}$
🔻Correction exercice 17
a) $I_{1}=-A_{1}+A_{2}$, $I_{2}=-A_{3}-A_{4}$ et $I_{3}=A_{5}-A_{4}$b)
$\begin{array}{ll}A_{1}+A_{2}+A_{3}&=\int_{-6}^{0}|f(x)| dx\\&=\int_{-5}^{-1,5} f(x) dx-\int_{-6}^{-5} f(x) dx-\int_{-1,5}^{0} f(x) dx\end{array}$
Exercice 18:
Les aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ et $A_{6}$ sont connues.
a) Exprimer les intégrales suivantes à l'aide de ces valeurs.
$\begin{array}{l} I_{1}=\int_{-1}^{1} f(x) dx \quad I_{2}=\int_{-1}^{3} g(x) dx \\ I_{3}=\int_{-1}^{3}[f(x)-g(x)] dx \\ I_{4}=\int_{-1}^{2}|f(x)-g(x)| dx \end{array}$
b) Exprimer à l'aide d'intégrales la somme $A_{4}+A_{5}$
Les aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ et $A_{6}$ sont connues.
a) Exprimer les intégrales suivantes à l'aide de ces valeurs.
$\begin{array}{l} I_{1}=\int_{-1}^{1} f(x) dx \quad I_{2}=\int_{-1}^{3} g(x) dx \\ I_{3}=\int_{-1}^{3}[f(x)-g(x)] dx \\ I_{4}=\int_{-1}^{2}|f(x)-g(x)| dx \end{array}$
b) Exprimer à l'aide d'intégrales la somme $A_{4}+A_{5}$
🔻Correction exercice 18
a) $I_{1}=A_{1}+A_{3}$ ; $I_{2}=A_{3}+A_{4}+A_{5}$ ; $I_{3}=A_{1}+A_{2}-A_{6}$ ; $I_{4}=A_{1}+A_{2}+A_{6}$b) $A_{4}+A_{5}=\int_{1}^{2} g(x) dx+\int_{2}^{3} f(x) dx$
Exercice 19:
On a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ et deux droites d'équations respectives $x=\alpha$ et $x=\beta$
a) Colorier en rouge la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{2}^{3} f(x) dx$
b) Colorier en bleu la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{-2}^{1}|f(x)| dx$
c) Colorier en vert la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-1|$ d $x$
On a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ et deux droites d'équations respectives $x=\alpha$ et $x=\beta$
a) Colorier en rouge la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{2}^{3} f(x) dx$
b) Colorier en bleu la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{-2}^{1}|f(x)| dx$
c) Colorier en vert la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-1|$ d $x$
🔻Correction exercice 19
a) $\int_{2}^{3} f(x) dx$ est l'aire de la partie du plan coloriée en rouge.
b) $\int_{-2}^{1}|f(x)|$ d $x$ est l'aire de la partie du plan coloriée en bleu.
c) $\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-1| dx$ est l'aire de la partie du plan coloriée en vert.
Exercice 20:
On a tracé dans le repère ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par:
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, $g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=\displaystyle\frac{3}{4} x-1$
a) Exprimer avec l'aide des intégrales l'aire rouge $A_{r o u g e}$ et la calculer.
b) Calculer $A_{\text {bleue}}=\int_{2}^{4}\left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{4} x+1\right) dx$
c) En déduire l'aire coloriée sur la figure en unités d'aire.
On a tracé dans le repère ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par:
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, $g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=\displaystyle\frac{3}{4} x-1$
a) Exprimer avec l'aide des intégrales l'aire rouge $A_{r o u g e}$ et la calculer.
b) Calculer $A_{\text {bleue}}=\int_{2}^{4}\left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{4} x+1\right) dx$
c) En déduire l'aire coloriée sur la figure en unités d'aire.
🔻Correction exercice 20
a)$\begin{array}{ll}A_{\text {rouge}}&=\int_{1}^{2}[g(x)-f(x)] dx\\&=\int_{1}^{2}\left[\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}\right] dx\\&=\int_{1}^{2} \sqrt{x} dx-\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{1}{x} dx\end{array}$
Sur l'intervalle $[1 ; 2],$ une primitive de la fonction $g$ est $G(x)=\displaystyle\frac{2}{3} x^{\displaystyle\frac{3}{2}}$
Et une primitive de la fonction $f$ est $F(x)=\ln x$
Donc l'aire est égale à
$\begin{array}{ll}A_{\text {rouge}}&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}-[\ln x]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{2}{3} 2^{\frac{3}{2}}-\displaystyle\frac{2}{3}-(\ln 2-\ln 1)\\&=\displaystyle\frac{4 \sqrt{2}-2}{3}-\ln 2\end{array}$
b)
$\begin{array}{ll}A_{\text {bleue }}&=\int_{2}^{4}\left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{4} x+1\right) dx\\&=\int_{2}^{4} \sqrt{x} dx-\int_{2}^{4}\left(\displaystyle\frac{3}{4} x-1\right) dx\end{array}$
Sur l'intervalle $[1 ; 2],$ une primitive de la fonction $h$ est $H(x)=\displaystyle\frac{3}{8} x^{2}-x$
Donc
$\begin{array}{ll}A_{\text {bleue}}&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{4}-\left[\displaystyle\frac{3}{8} x^{2}-x\right]_{2}^{4}\\&=\displaystyle\frac{2}{3} \times 8-\displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{8}-\left(\displaystyle\frac{3}{8} \times 16-4-\displaystyle\frac{3}{8} \times 4+2\right)\\&=\displaystyle\frac{17-8 \sqrt{2}}{6}\end{array}$
c) L'aire de la partie coloriée est $A_{\text {rouge}}+A_{\text {bleue}}=\displaystyle\frac{13}{6}-\ln 2$ unités d'aire.
Exercice 21:
1. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction
$f(x)= \displaystyle \frac{1}{3} x^{2}-x$
a) Exprimer avec une intégrale l'aire verte $V$. Calculer $V$.
b) Exprimer avec une intégrale l'aire bleue $B$. Calculer $B$.
2. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g(x)= \displaystyle \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$ .$m$ désigne un réel strictement positif et $A(m)$ est l'aire de la partie du plan situé entre les droites d'équation $x=-\displaystyle \frac{1}{2}$, $x=m,$ l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $g$. Cette aire est fonction de $m$
Calculer l'aire $A(m)$ et déterminer la limite de $A(m)$ lorsque $m$ tend vers l'infini.
1. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction
$f(x)= \displaystyle \frac{1}{3} x^{2}-x$
a) Exprimer avec une intégrale l'aire verte $V$. Calculer $V$.
b) Exprimer avec une intégrale l'aire bleue $B$. Calculer $B$.
2. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g(x)= \displaystyle \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$ .$m$ désigne un réel strictement positif et $A(m)$ est l'aire de la partie du plan situé entre les droites d'équation $x=-\displaystyle \frac{1}{2}$, $x=m,$ l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $g$. Cette aire est fonction de $m$
Calculer l'aire $A(m)$ et déterminer la limite de $A(m)$ lorsque $m$ tend vers l'infini.
🔻Correction exercice 21
1. a) $V=\int_{-2}^{0} f(x) dx$Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)=\displaystyle\frac{1}{9} x^{3}-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}$
Donc
$\begin{array}{ll}\int_{-2}^{0} f(x) dx&=[F(x)]_{-2}^{0}\\&=F(0)-F(2)\\&= \displaystyle \frac{8}{9}+\displaystyle\frac{4}{2}\\&=\displaystyle\frac{8}{9}+2\\&=\displaystyle\frac{26}{9}\end{array}$
L'aire verte $V$ est égale à $V=\displaystyle\frac{26}{9} \ u.a$.
b) $B=\int_{0}^{5}|f(x)| dx=\int_{0}^{3}-f(x) dx+\int_{3}^{5} f(x) dx$
Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)= \displaystyle \frac{1}{9} x^{3}-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}$
Donc
$\begin{array}{ll} \int_{0}^{3}-f(x) dx=[-F(x)]_{0}^{3}=-F(3)+F(0)=-\displaystyle \frac{27}{9}+\frac{9}{2}= \frac{3}{2}\end{array}$
Et $\begin{array}{ll} \int_{3}^{5} f(x) dx&=[F(x)]_{3}^{5}\\&=F(5)-F(3)\\&=\displaystyle\frac{125}{9}-\displaystyle\frac{25}{2}-\displaystyle\frac{27}{9}+\displaystyle\frac{9}{2}\\&=\displaystyle\frac{26}{9}\end{array}$
Donc l'aire bleue est égale à
$B=\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle\frac{26}{9}=\displaystyle\frac{79}{18}$ u.a
2. $A(m)=\int_{-0,5}^{m} g(x) dx .$
La fonction $g$ est de la forme $g(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u^{2}(x)}$ où $u(x)=x^{2}+1$
La fonction $G(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{3}+1}$ est une primitive de la fonction $g$
$\begin{array}{ll}A(m)&=\int_{-0,5}^{m} g(x) dx\\&=[G(x)]_{-0,5}^{m}\\&=G(m)-G(-0,5)\\&= \displaystyle \frac{-1}{m^{3}+1}+\displaystyle \displaystyle\frac{1}{0,125+1}\\&=\displaystyle \frac{8}{9}-\displaystyle \frac{1}{m^{3}+1}\end{array}$
$A(m)= \displaystyle \frac{8}{9}-\displaystyle \frac{1}{m^{3}+1}$ unités d'aire
$\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty}\left(m^{3}+1\right)=+\infty$
Donc $\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty} A(m)= \displaystyle \frac{8}{9} \text { u.a. }$
Exercice 22:
Soit la fonction $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+2$ définie sur $[-2 ; 2],$ représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.
Les unités graphiques sont $2 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O x)$ et $1 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O y)$
Calculer l'aire, en $\mathrm{cm}^{2},$ du domaine $D$ coloré.
Soit la fonction $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+2$ définie sur $[-2 ; 2],$ représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.
Les unités graphiques sont $2 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O x)$ et $1 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O y)$
Calculer l'aire, en $\mathrm{cm}^{2},$ du domaine $D$ coloré.
🔻Correction exercice 22
Il faut déterminer les bornes. On résout $f(x)=0 .$Les solutions sont ${-\sqrt{2} ;-1 ; 1 ; \sqrt{2}}$
L'aire du domaine $D$ est
$\begin{array}{ll}A&=\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}|f(x)| dx\\&=-\int_{-\sqrt{2}}^{-1} f(x) dx+\int_{-1}^{1} f(x) dx-\int_{1}^{\sqrt{2}} f(x) dx \ unités d'aire\end{array}$
. Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)= \displaystyle \frac{1}{5} x^{5}-x^{3}+2 x$ .
$F$ est une fonction impaire.
$\begin{array}{l} A&=-[F(x)]_{-\sqrt{2}}^{-1}+[F(x)]_{-1}^{1}-[F(x)]_{1}^{\sqrt{2}} \\ &=-F(-1)+F(-\sqrt{2})+F(1)-F(-1)-F(\sqrt{2})+F(1)\\&=4 F(1)-2 F(\sqrt{2}) \\ &=4\left(\displaystyle \frac{1}{5}-1+2\right)-2\left(\displaystyle \frac{\sqrt{2}^{5}}{5}-\sqrt{2}^{3}+2 \sqrt{2}\right)\\&= \displaystyle\frac{24-8 \sqrt{2}}{5} \end{array}$
l'unité d'aire est de $2 \mathrm{cm}^{2}$ donc l'aire du domaine $D$ est $\displaystyle \frac{48-16 \sqrt{2}}{5} \approx 5,07 \mathrm{cm}^{2}$
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