Équations et inéquations du second degré

Équations et inéquations du second degré

I- Équations et polynômes du second degré
1. Généralités

Définition 1:
On appelle équation du second degré à coefficients réels toute équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

Exemples :
• $2x^2+3x-5=0$ est une équation du second degré où $a=2$, $b=3$ et $c=-5$.
• $x^2-5x+2=0$ est une équation du second degré où $a=1$, $b=-5$ et $c=2$.
• $4x^2-7=0$ est une équation du second degré où $a=4$, $b=0$ et $c=-7$.
• $-3x^2+2x=0$ est une équation du second degré où $a=-3$, $b=2$ et $c=0$.
• $7x+5=0$ n’est pas une équation du second degré.
• $7x^3+4x^2+5x-6=0$ n’est pas une équation du second degré.

Définition 2 ::
On appelle polynôme du second degré ou trinôme du second degré tout polynôme de la forme $ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

Définition 3 :
On dit qu’un réel $\alpha$ est une racine d’une polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ si $P(\alpha)=0$.

Exemple :
$4$ est une racine du polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=2x^2-11x+12$.
En effet :
$\begin{align*} P(4)&=2\times 4^2-11\times 4+12 \\ &=2\times 16-44+12 \\ &=32-32 \\ &=0\end{align*}$
Remarque :
D’une manière générale, on dit qu’un réel $\alpha$ est une racine d’un polynôme $P$ si $P(\alpha)=0$.

Définition 4 :
On considère une polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.
On appelle discriminant de ce polynôme le nombre $\Delta = b^2-4ac$.

Exemples :
• On considère le polynôme $P(x)=4x^2-5x+2$.
On $a =4$, $b=-5$ et $c=2$.
Le discriminant est alors :
$\begin{align*} \Delta &= b^2-4ac \\ &=(-5)^2-4\times 4\times 2 \\ &=25-32 \\ &=-7\end{align*}$
• On considère le polynôme $P(x)=3x^2+4x-1$.
On $a =3$, $b=4$ et $c=-1$.
Le discriminant est alors :
$\begin{align*} \Delta &= b^2-4ac \\ &=4^2-4\times 3\times (-1) \\ &=16+12 \\ &=28\end{align*}$
Remarque :
Parfois, les termes du polynôme du second degré ne sont pas rangés dans le sens des puissances de $x$ décroissantes.
Il faut donc bien faire attention à l’ordre des termes du polynôme.

Propriété 1 :
On considère un polynôme du second degré $P$ défini, pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
Alors, pour tout réel $x$ on a $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.

Preuve Propriété 1

Définition 5 :
On considère un polynôme du second degré $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
L’expression $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ est appelée forme canonique du polynôme $P$.

Exemples :
Pour déterminer la forme canonique d’un polynôme du second degré on peut soit utiliser la propriété précédente, soit reprendre la démonstration de la propriété en l’appliquant au cas particulier qui est fourni.
• On considère le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=2x^2+6x-3$ $a=2$, $b=6$ et $c=-3$ Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac \\ &=6^2-4\times 2\times (-3) \\ &=36+24 \\ &=60 \end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P(x)&=2x^2+6x-3 \\ &=2\left[\left(x+\dfrac{6}{2\times 2}\right]^2-\dfrac{60}{4\times 2^2}\right] \\ &=2\left[\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}\right] \end{align*}$
• On considère le polynôme $R$ défini pour pour tout réel $x$ par $R(x)=5x^2-7x+2$ $a=5$, $b=-7$ et $c=2$.
$\begin{align*} R(x)&=5x^2-7x+2 \\ &=5\left(x^2-\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{5}\right) \\ &=5\left(x^2-2\times \dfrac{7}{10}+\dfrac{49}{100}-\dfrac{49}{100}+\dfrac{2}{5}\right) \\ &=5\left[\left(x-\times \dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}+\dfrac{40}{100}\right] \\ &=5\left[\left(x-\times \dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{9}{100}\right] \end{align*}$
2. Solutions d’une équation du second degré

Théorème 1 :
On considère l’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ et on note $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta <0$ alors l’équation ne possède pas de solution réelle;
• Si $\Delta=0$ alors l’équation possède une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$;
• Si $\Delta>0$ alors l’équation possède deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Preuve théorème 1

Exemples :
• On veut résoudre l’équation $3x^2-4x+5=0$
$\begin{align*} \Delta& = (-4)^2-4\times 3\times 5 \\ &=16-60 \\ &=-44\\ &<0\end{align*}$
L’équation $3x^2-4x+5=0$ ne possède donc pas de solution réelle.
• On veut résoudre l’équation $5x^2+40x+80=0$
$\begin{align*} \Delta&=(40)^2-4\times 5\times 80\\ &=1~600-1~600 \\ &=0\end{align*}$
L’équation $5x^2+40x+80=0$ possède donc une unique solution :
$\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{40}{10} \\ &=-4\end{align*}$
• On veut résoudre l’équation $3x^2+7x-2=0$
$\begin{align*} \Delta&=7^2-4\times 3\times (-2) \\ &=49+24 \\ &=73\\ &>0\end{align*}$
L’équation $3x^2+7x-2=0$ possède donc deux solutions :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{2\times 3} \\ &=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{6}\end{align*}$
et $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{2\times 3} \\ &=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{6}\end{align*}$.
3. Lien avec les polynômes du second degré

Propriété 2 :
On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ et son discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
• Si $\Delta <0$ alors le polynôme $P$ ne possède pas de racine réelle;
• Si $\Delta=0$ alors le polynôme $P$ possède une unique racine $x_0=-\dfrac{b}{2a}$;
• Si $\Delta>0$ alors le polynôme $P$ possède deux racines réelles $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Remarque :
Il s’agit d’une réécriture du théorème précédent pour les polynômes.
En effet $x$ est une racine du polynôme $P$ si, et seulement si, $ax^2+bx+c=0$.

Propriété 3 :
On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ tel que son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ soit strictement positif.
$P$ possède alors deux racines $x_1$ et $x_2$.
On a alors $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$.

Preuve Propriété 3

Exemple :
On considère le polynôme $P$ définie par $P(x)=7x^2-7x-42$.
On a :
$\begin{align*} P(3)&=7\times 3^2-7\times 3-42 \\ &=63-21-42 \\ &=0\end{align*}$
Ainsi $3$ est une racine du polynôme $P$.
On appelle $\alpha$ la seconde racine.
D’après la propriété précédente (produit des racines) :
$\begin{align*} 3\alpha=\dfrac{-42}{7} &\Leftrightarrow 3\alpha =-6 \\ &\Leftrightarrow \alpha =-2\end{align*}$
Remarque :
Cette propriété permet de vérifier si les racines trouvées par le calcul sont les bonnes.

Propriété 4 : (factorisation)
On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta<0$ alors le polynôme $P$ n’est pas factorisable dans $\mathbb{R}$;
• Si $\Delta=0$ alors le polynôme $P$ possède une unique racine réelle $x_0$ et, pour tout réel $x$, on a $P(x)=a\left(x-x_0\right)^2$;
• Si $\Delta>0$ alors le polynôme $P$ possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ et, pour tout réel $x$, on a $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Preuve Propriété 4

Exemples :
• Si $P(x)=5x^2+40x+35$.
Après calculs, on trouve $\Delta=900>0$.
Le polynôme $P$ possède alors deux racines $x_1=1$ et $x_2=7$.
De plus $a=5$.
Ainsi, la forme factorisée de $P(x)$ est $P(x)=a(x-1)(x-7)$.
• Si $P(x)=-3x^2-30x-75$.
Après calculs, on trouve $\Delta=0$.
Le polynôme $P$ possède alors une unique racine $x_0=-5$.
Ainsi, la forme factorisée de $P(x)$ est $P(x)=-5(x+5)^2$.
II Signes d’un polynôme du second degré et inéquations

Théorème 2 :
On considère un polynôme du second degré $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta<0$ alors $P(x)$ a le même signe que $a$ pour tout réel $x$;
• Si $\Delta=0$ alors $P(x)$ s’annule en $-\dfrac{b}{2a}$ et a le même signe que $a$ pour tout réel $x\neq -\dfrac{b}{2a}$ ;
• Si $\Delta>0$ alors $P(x)$ s’annule en deux réels distincts $x_1$ et $x_2$, tels que $x_1

Preuve Théorème 2

On obtient alors le tableau de signes suivant :

Exemples :
• On considère le polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=-2x^2+x-7$.
On a :
$\begin{align*}\Delta&=1^2-4\times(-2)\times (-7) \\ &=1-56 \\ &=-55\\ &<0\end{align*}$
De plus, le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=-2<0$.
Par conséquent $P(x)<0$ pour tout réel $x$.
• On considère le polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=3x^2-24x+48$.
On a :
$\begin{align*} \Delta&=(-24)^2-4\times 3\times 48 \\ &=576-576\\ &=0\end{align*}$
De plus le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=4$ Par conséquent $P(x)>0$ pour tout réel $x\neq 4$ et $P(4)=0$.
Remarque :
On écrit souvent, d’une manière plus simple, $P(x)> 0$ pour tout réel $x$.
• On considère le polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=4x^2+24x+20$ On a :
$\begin{align*} \Delta&=24^2-4\times 4\times 20 \\ &=576-320\\ &=256\\ &>0\end{align*}$
Après calculs, les racines du polynômes sont $-5$ et $-1$.
De plus, le coefficient principal est $a=4>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ce théorème permet donc de résoudre des inéquations produits ou quotients dans lesquelles figurent des polynômes du second degré.
Exemples :
• Résoudre l’inéquation $(x+5)\left(3x^2+6x-24\right)>0$ $x+5=0 \Leftrightarrow x=-5$ et $x+5>0 \Leftrightarrow x>-5$ On étudie maintenant le signe de $3x^2+6x-24$ $\begin{align*}\Delta&=6^2-4\times 3\times (-24) \\ &=324\\ >0\end{align*}$
Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{6}\\ &=-4\end{align*}$ $~$ et $~$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{6}\\ &=2\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation est $]-5;-4[\cup]2;+\infty[$.
• Résoudre l’inéquation $\dfrac{x-1}{-x^2+3x-7}< 0 $ $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$ et $x-1>0\Leftrightarrow x>1$.
On étudie maintenant le signe de $-x^2+3x-7$.
$\begin{align*}\Delta&=3^2-4\times (-1)\times (-7) \\ &=-19\\ &<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-1<0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation est $[1;+\infty[$.

Exercice 1 :
Les paraboles ci-dessous sont les représentations de polynômes de degré $2$.
Dans chaque cas, donner la forme canonique et si possible la forme factorisée du trinôme associé.

Correction Exercice 1

Exercice 2 :
Résoudre chacune de ces équations :
1) $2x^2-2x-3=0$
2) $2x^2-5x=0$
3) $3x+3x^2=-1$
4) $8x^2-4x+2=\dfrac{3}{2}$
5) $2~016x^2+2~015=0$
6) $-2(x-1)^2-3=0$
7) $(x+2)(3-2x)=0$

Correction Exercice 2

Exercice 3 :
1) Résoudre, dans $\mathbb{R}$, l’équation $x^2+x-6=0$.
2) En déduire la résolution de :
a. $X^4+X^2-6=0$
b. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-6=0$

Correction Exercice 3

Exercice 4 : Avec les racines données :
Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants, connaissant leurs racines :
1) $P(x)=2x^2-8x+6$ Racines : $1$ et $3$
2) $Q(x)=-3x^2-11x+4$ Racines : $\dfrac{1}{3}$ et $-4$
3) $R(x)=x^2-10x+28$ Pas de racine
4) $S(x)=-2x^2-8x-11$ Pas de racine

Correction Exercice 4

Exercice 5 : Avec les racines à déterminer:
Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants :
1) $A(x)=x^2-9$
2) $B(x)=-2x^2-8x$
3) $C(x)=(5-x)^2$
4) $D(x)=16-25x^2$
5) $E(x)=x^2+1$
6) $F(x)=3x-2x^2-1$
7) $G(x)=2x-x^2-1$
8) $H(x)=-3x^2$

Correction Exercice 5

Exercice 6 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1) $2x^2-5x+3>0$
2) $\dfrac{2x^2-12x+19}{x-2} < 0$
3) $\dfrac{-6x^2-9x-3}{-x^2+8x-17}>0$
4) $(2x-6)(4-4x)>0$
5) $-2x(x-2)\left(x^2-8x+16\right)>0$
6) $\dfrac{5\left(7x+5-6x^2\right)}{-3(1-x)^2} > 0$

Correction Exercice 6

Exercice 7 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1) $\dfrac{1}{x}>\dfrac{x}{x+2}$
2) $\dfrac{x}{x+1} < \dfrac{3}{(x+1)(x-2)}$
3) $\dfrac{x}{(x-2)^2} > 1+\dfrac{3}{x-2}$
$\dfrac{2}{x+3}<-x$

Correction Exercice 7

ثانوية الخوارزمي التأهيلية - مجاط KhawarizmiMath

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