Révision trcs
🔻 CALCUL LITTERAL (Diaporama animé)
🔻 Equations - Inéquations (Diaporama animé)
🔻 Exercices sur nombres relatifs
Nombres relatifs
Exercice 1
Calculer :
$A=2+8-6-2+3$
$B=-6\times 2\times (-1):(-4)$
$C=5\times 3+3\times 2-1$
$D=-1+3\times(-4+2)$
$E=5-5\times 8+2$
$F=-2+10:2$
Calculer :
$A=2+8-6-2+3$
$B=-6\times 2\times (-1):(-4)$
$C=5\times 3+3\times 2-1$
$D=-1+3\times(-4+2)$
$E=5-5\times 8+2$
$F=-2+10:2$
Correction Exercice 1
$\begin{align*} A&=2+8-6-2+3 \\ &=13-8 \\ &=5 \end{align*}$$\begin{align*} B&=-6\times 2\times (-1):(-4) \\ &=12:(-4) \\ &=-3 \end{align*}$
$\begin{align*} C&=5\times 3+3\times 2-1 \\ &=15+6-1 \\ &=21-1 \\ &=20 \end{align*}$
$\begin{align*} D&=-1+3\times(-4+2) \\ &=-1+3\times (-2) \\ &=-1-6 \\ &=-7 \end{align*}$
$\begin{align*} E&=5-5\times 8+2 \\ &=5-40+2 \\ &=7-40 \\ &=-33 \end{align*}$
$\begin{align*} F&=-2+10:2 \\ &=-2+5 \\ &=3 \end{align*}$
Exercice 2
Calculer :
$A=10-\left[6-(5+4)\right]$
$B=-3\times \left[12\times 2-(3-2-5)\right]$
$C=(2\times 5-2)\times 4 + (-2)$
<
Calculer :
$A=10-\left[6-(5+4)\right]$
$B=-3\times \left[12\times 2-(3-2-5)\right]$
$C=(2\times 5-2)\times 4 + (-2)$
Correction Exercice 2
$\begin{align*} A&=10-\left[6-(5+4)\right] \\ &=10-(6-9) \\ &=10-(-3) \\ &=13 \end{align*}$$\begin{align*} B&=-3\times \left[12\times 2-(3-2-5)\right] \\ &=-3\times \left(24-(-4)\right) \\ &=-3\times (24+4) \\ &=-3 \times 28 \\ &=-84\end{align*}$
$\begin{align*} C&=(2\times 5-2)\times 4 + (-2) \\ &=(10-2)\times 4-2 \\ &=8\times 4-2 \\ &=32-2 \\ &=30 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 3
Sachant que $a=-4$, $b=4$, $c=-2$, $d=-10$, $e=2$ et $f=7$, calculer :
$A=4-a+b-c$
$B=-9+b-e-f+c$
$C=13-f-b+4-c+a+d$
$D=9-(4-a)+(-b+4)-(c-2)$
$E=-15+(7-b)-5-(-e-c)+(d-13)$
$F=19-(13-b)-(5-e+a-c)+(-f+8)$
Sachant que $a=-4$, $b=4$, $c=-2$, $d=-10$, $e=2$ et $f=7$, calculer :
$A=4-a+b-c$
$B=-9+b-e-f+c$
$C=13-f-b+4-c+a+d$
$D=9-(4-a)+(-b+4)-(c-2)$
$E=-15+(7-b)-5-(-e-c)+(d-13)$
$F=19-(13-b)-(5-e+a-c)+(-f+8)$
Correction Exercice 3
$\begin{align*} A&=4-a+b-c \\ &=4-(-4)+4-(-2) \\ &=4+4+4+2 \\ &=14 \end{align*}$$\begin{align*} B&=-9+b-e-f+c \\ &=-9+4-2-7+(-2) \\ &=-18+4-2 \\ &=-20+4\\ &=-16 \end{align*}$
$\begin{align*} C&=13-f-b+4-c+a+d \\ &=13-7-4+4-(-2)+(-4)+(-10) \\ &=13-7+2-4-10 \\ &=15-21 \\ &=-6 \end{align*}$
$\begin{align*} D&=9-(4-a)+(-b+4)-(c-2) \\ &=9-\left(4-(-4)\right)+(-4+4)-(-2-2) \\ &=9-(4+4)-(-4) \\ &=9-8+4 \\ &=5 \end{align*}$
$\begin{align*} E&=-15+(7-b)-5-(-e-c)+(d-13) \\ &=-15+(7-4)-5-\left(-2-(-2)\right)+(-10-13) \\ &=-15+3-5-0-23 \\ &=3-43 \\ &=-40 \end{align*}$
$\begin{align*} F&=19-(13-b)-(5-e+a-c)+(-f+8) \\ &=19-(13-4) \\ &=19-9\\ &=10 \end{align*}$
Exercice 4
Simplifier les expressions suivantes :
$A=3(2a-5b)-7(2a+3b)+2(-5a+9b) $
$B=5(2x-3y+2)-2(4x+9y-1)+6(-2x-y)$
$C=\left[3b-7(5a-2b)\right]-\left[-3a+8(2a-5b+3)\right] $
$D=6(2x-3y+7)-4(2x+6)+5(-3+2y+x)$
Simplifier les expressions suivantes :
$A=3(2a-5b)-7(2a+3b)+2(-5a+9b) $
$B=5(2x-3y+2)-2(4x+9y-1)+6(-2x-y)$
$C=\left[3b-7(5a-2b)\right]-\left[-3a+8(2a-5b+3)\right] $
$D=6(2x-3y+7)-4(2x+6)+5(-3+2y+x)$
Correction Exercice 4
$\begin{align*} A&=3(2a-5b)-7(2a+3b)+2(-5a+9b) \\ &=6a-15b-14a-21b-10a+18b\\ &=-18a-18b \end{align*}$$\begin{align*} B&=5(2x-3y+2)-2(4x+9y-1)+6(-2x-y) \\ &=10x-15y+10-8x-18y+2-12x-6y \\ &=-10x-39y+12 \end{align*}$
$\begin{align*}C&=\left[3b-7(5a-2b)\right]-\left[-3a+8(2a-5b+3)\right] \\ &=(3b-35a+14b)-(-3a+16a-40b+24) \\ &=(17b-35a)-(13a-40b+24) \\ &=17b-35a-13a+40b-24\\ &=-48a+57b-24 \end{align*}$
$\begin{align*} D&=6(2x-3y+7)-4(2x+6)+5(-3+2y+x) \\ &=12x-18y+42-8x-24-15+10y+5x \\ &=9x-8y+3 \end{align*}$
Exercice 5
Simplifier puis calculer $A$ pour $x=1,2$, $y=-1$ et $z=-1,5$:
$A=2(5x-3y+2z)-3(2x+4y)-5(5y-3z)$
Simplifier puis calculer $A$ pour $x=1,2$, $y=-1$ et $z=-1,5$:
$A=2(5x-3y+2z)-3(2x+4y)-5(5y-3z)$
Correction Exercice 5
$\begin{align*} A&=2(5x-3y+2z)-3(2x+4y)-5(5y-3z) \\ &=10x-6y+4z-6x-12y-25y+15z \\ &=4x-43y+19z \end{align*}$Donc :
$\begin{align*} A&=4\times 1,2-43\times (-1)+19\times (-1,5) \\ &=4,8+43-28,5 \\ &=47,8-28,5\\ &=19,3 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 6
Calculer $B$ pour $x=0$ puis pour $x=-1$
$B=2x^2-3x+7$
Calculer $B$ pour $x=0$ puis pour $x=-1$
$B=2x^2-3x+7$
Correction Exercice 6
Si $x=0$$\begin{align*} B&=2x^2-3x+7 \\ &=0-0+7 \\ &=7 \end{align*}$
Si $x=-1$
$\begin{align*} B&=2x^2-3x+7 \\ &=2\times (-1)^2-3\times (-1)+7 \\ &=2 \times 1 +3+7 \\ &=2+3+7\\ &=12 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 7
Simplifier $C=\dfrac{2x+6}{2}$
Puis calculer $C$ pour $x=-133$
Simplifier $C=\dfrac{2x+6}{2}$
Puis calculer $C$ pour $x=-133$
Correction Exercice 7
$C=\dfrac{2x+6}{2} = x+3$Si $x=-133$ alors $C=-133+3=-130$
$\quad$
Exercice 8
Écrire plus simplement $D=2x\times (-3x)+1$.
Calculer $D$ pour $x=-2$.
Écrire plus simplement $D=2x\times (-3x)+1$.
Calculer $D$ pour $x=-2$.
Correction Exercice 8
$D=2x\times (-3x)+1 = -6x^2+1$Si $x=-2$ alors
$\begin{align*} D&=-6x^2+1 \\ &=-6\times (-2)^2+1\\ &=-6\times 4 +1\\ &=-24+1\\ &=-23 \end{align*}$
🔻 Exercices sur les fractions
Fractions
Simplifications et mise au même dénominateur
Exercice 1
Simplifier les fractions suivantes :
$$\begin{array}{lllllll} \dfrac{56}{24}&\phantom{aaa}&\dfrac{77}{154}&\phantom{aaa}&\dfrac{42}{91}&\phantom{aaa}&\dfrac{125}{350}\end{array}$$
Simplifier les fractions suivantes :
$$\begin{array}{lllllll} \dfrac{56}{24}&\phantom{aaa}&\dfrac{77}{154}&\phantom{aaa}&\dfrac{42}{91}&\phantom{aaa}&\dfrac{125}{350}\end{array}$$
Correction Exercice 1
$\dfrac{56}{24} = \dfrac{8 \times 7}{8 \times 3}=\dfrac{7}{3}$$\quad$ $\dfrac{77}{154}=\dfrac{11 \times 7}{11 \times 14}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$
$\quad$ $\dfrac{42}{91}=\dfrac{7 \times 6}{7 \times 13}=\dfrac{6}{13}$
$\quad$ $\dfrac{125}{350}=\dfrac{25 \times 5}{25 \times 14}=\dfrac{5}{14}$
$\quad$
Exercice 2
Simplifier les fractions suivantes :
$\dfrac{11\times 5}{3 \times 11} \qquad \dfrac{3\times 4 \times 2}{6}$
Simplifier les fractions suivantes :
$\dfrac{11\times 5}{3 \times 11} \qquad \dfrac{3\times 4 \times 2}{6}$
Correction Exercice 2
$\dfrac{11\times 5}{3 \times 11}=\dfrac{5}{3}$$\quad$ $\dfrac{3\times 4 \times 2}{6} = \dfrac{6 \times 4}{6} = 4$
$\quad$
Exercice 3
Mettre au même dénominateur :
1) $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{10}{14}$
$\quad$ 2) $\dfrac{4}{98}$ et $\dfrac{230}{490}$
$\quad$ 3) $\dfrac{3}{21}$ et $-\dfrac{13}{5}$
Mettre au même dénominateur :
1) $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{10}{14}$
$\quad$ 2) $\dfrac{4}{98}$ et $\dfrac{230}{490}$
$\quad$ 3) $\dfrac{3}{21}$ et $-\dfrac{13}{5}$
Correction Exercice 3
1) $\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$Un dénominateur commun est donc $4\times 7 =28$.
$\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} = \dfrac{3\times 7}{4 \times 7}=\dfrac{21}{28}$
$\quad$ $\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7} = \dfrac{5\times 4}{4\times 7} = \dfrac{20}{28}$
$\quad$ 2) $\dfrac{4}{98} = \dfrac{2}{49}$ et $\dfrac{230}{490}=\dfrac{23}{49}$
Les deux fractions sont déjà au même dénominateur.
$\quad$ 3) $\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{13}{5}$
Un dénominateur commun est donc $5\times 7 =35$.
$\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}=\dfrac{5}{35}$ $\quad$ $-\dfrac{13}{5}=-\dfrac{13\times 7}{5 \times 7}=-\dfrac{91}{35}$
$\quad$
Additions et soustractions
Exercice 4
Calculer :
$A=\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}$
$B=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}$
Calculer :
$A=\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}$
$B=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}$
Correction Exercice 4
$\begin{align*} A&=\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}\\ &= \dfrac{7+9}{36} \\ &=\dfrac{16}{36} \\ &= \dfrac{4\times 4}{4\times 9} \\ &=\dfrac{4}{9} \end{align*}$$\begin{align*} B&=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4} \\ &=\dfrac{-1+5}{4} \\ &=\dfrac{4}{4} \\ &=1\end{align*}$
$\quad$
Exercice 5
Calculer : $A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}$
Calculer : $A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}$
Correction Exercice 5
$\begin{align*} A&=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2} \\ &=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{2} \\ &=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{4} \\ &=\dfrac{7}{4} \end{align*}$$\quad$
Exercice 6
Calculer :
$A=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\right)$
$B=\left[\dfrac{2}{5}-\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{5}{4}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}\right)\right]$
Calculer :
$A=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\right)$
$B=\left[\dfrac{2}{5}-\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{5}{4}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}\right)\right]$
Correction Exercice 6
$\begin{align*} A&=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\right) \\ &= \dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{2}{5} \\ &=\dfrac{10}{12}-\dfrac{9}{12}-\dfrac{18}{12}-\dfrac{28}{12} \\ &=-\dfrac{45}{12} \\ &=-\dfrac{15}{4} \end{align*}$$\begin{align*} B&=\left[\dfrac{2}{5}-\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{5}{4}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}\right)\right] \\ &=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{5} \\ &=\dfrac{6}{5}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{8}{4}-\dfrac{7}{3} \\ &=\dfrac{36}{30}-\dfrac{25}{30}-2-\dfrac{70}{30} \\ &=-\dfrac{59}{30}-\dfrac{60}{30} \\ &=-\dfrac{119}{30} \end{align*}$
$\quad$
Multiplications et divisions
Exercice 7
Calculer en simplifiant s’il y a lieu :
1) $\dfrac{12}{14}\times \dfrac{21}{18}$
$\quad$ 2) $-\dfrac{24}{42}\times \dfrac{35}{36}$
$\quad$ 3) $-\dfrac{25}{34}\times \left(-\dfrac{17}{45}\right)$
$\quad$
Calculer en simplifiant s’il y a lieu :
1) $\dfrac{12}{14}\times \dfrac{21}{18}$
$\quad$ 2) $-\dfrac{24}{42}\times \dfrac{35}{36}$
$\quad$ 3) $-\dfrac{25}{34}\times \left(-\dfrac{17}{45}\right)$
$\quad$
Correction Exercice 7
1) $\quad$$ \begin{align*} \dfrac{12}{14}\times \dfrac{21}{18}&= \dfrac{2\times 6 \times 3 \times 7}{2 \times 7 \times 3 \times 6} \\ &=1 \end{align*}$
$\quad$ 2) $\quad$
$\begin{align*} -\dfrac{24}{42}\times \dfrac{35}{36}&= \dfrac{12}{21}\times \dfrac{35}{36} \\ &=-\dfrac{2 \times 6 \times 5\times 7}{3\times 7 \times 6 \times 6} \\ &=-\dfrac{10}{18} \\ &=-\dfrac{5}{9} \end{align*}$
$\quad$ 3) $\quad$
$\begin{align*} -\dfrac{25}{34}\times \left(-\dfrac{17}{45}\right)&=\dfrac{5\times 5 \times 17}{2 \times 17 \times 5 \times 9 }\\ &=\dfrac{5}{18} \end{align*}$
$\quad$
Exercice 8
Calculer :
$A=\dfrac{3}{7}\div \dfrac{3}{4}$
$B=-\dfrac{2}{7}\div \left(-\dfrac{5}{6}\right)$
$C=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}}$
$D=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{-\dfrac{15}{22}}$
Calculer :
$A=\dfrac{3}{7}\div \dfrac{3}{4}$
$B=-\dfrac{2}{7}\div \left(-\dfrac{5}{6}\right)$
$C=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}}$
$D=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{-\dfrac{15}{22}}$
Correction Exercice 8
$\begin{align*} A&=\dfrac{3}{7}\div \dfrac{3}{4} \\ &=\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{3} \\ &=\dfrac{4}{7} \end{align*}$$\begin{align*}B&=-\dfrac{2}{7}\div \left(-\dfrac{5}{6}\right) \\ &=\dfrac{2}{7} \times \dfrac{6}{5} \\ &=\dfrac{12}{35} \end{align*}$
$ C=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}} =\dfrac{4}{7}$
$\begin{align*} D&=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{-\dfrac{15}{22}} \\ &=-\dfrac{4}{11}\times \dfrac{22}{15} \\ &=-\dfrac{4 \times 2 \times 11}{11 \times 15} \\ &=-\dfrac{8}{15} \end{align*}$
$\quad$
Exercice 9
Effectuer :
$A=\left(2+\dfrac{5}{3}\right)\left(3-\dfrac{4}{5}\right)$
$B=3\times \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{3}\times 6+\dfrac{3}{2}$
$C=-\dfrac{8}{3}\times \left(-\dfrac{3}{7}\right)-\dfrac{4}{14}-\dfrac{11}{7}$
Effectuer :
$A=\left(2+\dfrac{5}{3}\right)\left(3-\dfrac{4}{5}\right)$
$B=3\times \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{3}\times 6+\dfrac{3}{2}$
$C=-\dfrac{8}{3}\times \left(-\dfrac{3}{7}\right)-\dfrac{4}{14}-\dfrac{11}{7}$
Correction Exercice 9
$\begin{align*} A&=\left(2+\dfrac{5}{3}\right)\left(3-\dfrac{4}{5}\right) \\ &=\left(\dfrac{6}{3}+\dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{15}{5}-\dfrac{4}{5}\right) \\ &=\dfrac{11}{3}\times \dfrac{11}{5} \\ &=\dfrac{121}{15} \end{align*}$$\begin{align*} B&=3\times \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{3}\times 6+\dfrac{3}{2} \\ &=\dfrac{5}{2}-8+\dfrac{3}{2} \\ &=\dfrac{8}{2}-8 \\ &=4-8 \\ &=-4 \end{align*}$
$\begin{align*} C&=-\dfrac{8}{3}\times \left(-\dfrac{3}{7}\right)-\dfrac{4}{14}-\dfrac{11}{7} \\ &=\dfrac{8}{7}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{11}{7} \\ &=-\dfrac{5}{7} \end{align*}$
$\quad$
Exercice 10
Calculer :
$A=\left(5+\dfrac{7}{3}\right)\left(8-\dfrac{5}{7}\right)$
$B=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}$
$C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{3}$
$D=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{2-\dfrac{1}{5}}$
Calculer :
$A=\left(5+\dfrac{7}{3}\right)\left(8-\dfrac{5}{7}\right)$
$B=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}$
$C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{3}$
$D=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{2-\dfrac{1}{5}}$
Correction Exercice 10
$\begin{align*} A&=\left(5+\dfrac{7}{3}\right)\left(8-\dfrac{5}{7}\right) \\ &=\left(\dfrac{15}{3}+\dfrac{7}{3}\right)\left(\dfrac{56}{7}-\dfrac{5}{7}\right) \\ &=\dfrac{22}{3} \times \dfrac{51}{7} \\ &=\dfrac{22 \times 3 \times 17}{3 \times 7} \\ &=\dfrac{374}{7} \end{align*}$$\begin{align*} B&=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}} \\ &=1-\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} \\ &=1-\dfrac{2}{3} \\ &=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
$\begin{align*} C&=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{3} \\ &=\dfrac{3}{2}-\dfrac{10}{9} \\ &=\dfrac{27}{18}-\dfrac{20}{18} \\ &=\dfrac{7}{18} \end{align*}$
$\begin{align*} D&=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{2-\dfrac{1}{5}} \\ &=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{9}{5}} \\ &=\dfrac{7}{4}\times \dfrac{5}{9} \\ &=\dfrac{35}{36} \end{align*}$
🔻 Exercices sur les puissances
Puissances
Puissances de 10
Exercice 1
Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissance de $10$.
$$\begin{array}{lclclcl} 10~000&\phantom{aaa}&0,000~1&\phantom{aaa}&0,1 \\ -1~000~000&&0,000~01 && \dfrac{1}{1~000~000} \\ -\dfrac{1}{1~000}& & & & \end{array}$$
Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissance de $10$.
$$\begin{array}{lclclcl} 10~000&\phantom{aaa}&0,000~1&\phantom{aaa}&0,1 \\ -1~000~000&&0,000~01 && \dfrac{1}{1~000~000} \\ -\dfrac{1}{1~000}& & & & \end{array}$$
Correction Exercice 1
$10~000 = 10^4$$0,000~1 = 10^{-4}$
$0,1=10^{-1}$
$-1~000~000=-10^6$
$0,000~01 = 10^{-5}$
$\dfrac{1}{1~000~000} =\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}$
$-\dfrac{1}{1~000}=-\dfrac{1}{10^3}=-10^{-3}$
$\quad$
Exercice 2
Écrire sous forme décimale :
$A=10^4$
$B=10^{-2}$
$C=3,076\times 10^7$
$D=5\times 10={-5}$
$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2}$
Écrire sous forme décimale :
$A=10^4$
$B=10^{-2}$
$C=3,076\times 10^7$
$D=5\times 10={-5}$
$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2}$
Correction Exercice 2
$A=10^4 = 10~000$$B=10^{-2}=0,01$
$C=3,076\times 10^7 = 3,076 \times 10~000~000 = 30~760~000$
$D=5\times 10={-5} = 5\times 0,000~01 = 0,000~05$
$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2} = 0,3-0,012 = 0,288$
$\quad$
Exercice 3
Écrire sous forme décimale :
$A=10^{-15}\times 10^{17}$
$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}$
$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}$
$D=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}}$
Écrire sous forme décimale :
$A=10^{-15}\times 10^{17}$
$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}$
$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}$
$D=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}}$
Correction Exercice 3
$A=10^{-15}\times 10^{17} = 10^{-15+17}=10^2 = 100$$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}=6\times 10^{6-8}=6\times 10^{-2}=0,06$
$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}=2,5\times 10^{-7+8}=25$
$\begin{align*} D&=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}} \\ &=\dfrac{1,5}{4}\times \dfrac{-6}{10^{-10}} \\ &=0,375\times 10^4\\ &=3~750 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 4
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}$
$B=\left(10^{-4}\right)^3$
$C=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2$
$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}}$
$E=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3}$
$F=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8}$
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}$
$B=\left(10^{-4}\right)^3$
$C=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2$
$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}}$
$E=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3}$
$F=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8}$
Correction Exercice 4
$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}=6\times 10^{-5-10}=6\times 10^{-15}$$B=\left(10^{-4}\right)^3 = 10^{4\times 3}=10^{-12}$
$\begin{align*} C&=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2 \\ &= 3 \times 10^6\times 25\times 10^{-16}\\ &=75\times 10^{-10}\\ &=7,5\times 10^{-9} \end{align*}$
$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}} = 10^{5-(-3)}=10^8$
$\begin{align*} E&=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3} \\ &=0,3\times 10^{-7-3} \\ &=0,3\times 10^{-10} \\ &=3 \times 10^{-11} \end{align*}$
$\begin{align*} F&=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8} \\ &= \dfrac{4\times 15}{5} \times 10^{-3+2-8} \\ &=12\times 10^{-9} \\ &=1,2 \times 10^{-8} \end{align*}$
$\quad$
Exercice 5
Calculer en utilisant les puissances de $10$:
$A=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000$
$B=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000$
$C=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5$
$D=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005$
Calculer en utilisant les puissances de $10$:
$A=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000$
$B=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000$
$C=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5$
$D=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005$
Correction Exercice 5
$\begin{align*} A&=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000 \\ &= 7\times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^4 \\ &= 210 \times 10^{-5-6+4} \\ &=2,1\times 10^{-5} \\ &= 0,000~021 \end{align*}$$\begin{align*} B&=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000 \\ &=2\times 10^{-3} \times 4 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-5} \times 2\times 10^{5} \\ &=48 \times 10^{-3+2-5+5} \\ &=48 \times 10^{-1} \\ &=4,8 \end{align*}$
$\begin{align*} C&=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5 \\ &=1,2 \times 10^4\times 2 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-7} \\ &=36 \times 10^{4-3+3-7} \\ &=36 \times 10^{-3} \\ &=0,036 \end{align*}$
$\begin{align*} D&=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005 \\ &=1,1 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-1} \times 2 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-3} \\ &=165 \times 10^{7-1+2-4-3} \\ &=165 \times 10 \\ &=1~650 \end{align*}$
$\quad$
Puissances d’un nombre quelconque
Exercice 6
Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un nombre relatif et $n$ un entier naturel, chacun des nombres suivants :
$$\begin{array}{lcl} 2^5\times 2^6 &\phantom{aaa} & (-3)^4\times (-3)^5 \\ (-7)^2 \times (-7)^4 && (-5)^4\times (-5) \\ (-8)^2 \times 8^7 && 4^2\times (-4)^3 \\ (-3)^4 \times (-5)^4 & & (-2)^4\times 3^4 \\ (-5)^3 \times 2^3 && (-4)^5 \times (-2)^5 \\ \left((-3)^5\right)^3&& \left((-6)^7\right)^4 \end{array}$$
Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un nombre relatif et $n$ un entier naturel, chacun des nombres suivants :
$$\begin{array}{lcl} 2^5\times 2^6 &\phantom{aaa} & (-3)^4\times (-3)^5 \\ (-7)^2 \times (-7)^4 && (-5)^4\times (-5) \\ (-8)^2 \times 8^7 && 4^2\times (-4)^3 \\ (-3)^4 \times (-5)^4 & & (-2)^4\times 3^4 \\ (-5)^3 \times 2^3 && (-4)^5 \times (-2)^5 \\ \left((-3)^5\right)^3&& \left((-6)^7\right)^4 \end{array}$$
Correction Exercice 6
$2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$$(-3)^4\times (-3)^5 = (-3)^{4+5}=(-3)^9$
On peut aussi écrire $-3^9$ car l’exposant est impair.
$(-7)^2 \times (-7)^4 = (-7)^{2+4}=(-7)^6$
On peut aussi écrire $7^6$ car l’exposant est pair.
$(-5)^4\times (-5) = (-5)^{4+1}=(-5)^5$
On peut aussi écrire $-5^5$ car l’exposant est impair.
$(-8)^2 \times 8^7 = 8^2\times 8^7 = 8^9$
$4^2\times (-4)^3 =4^2 \times \left(-4^3\right) = -4^5$
$(-3)^4 \times (-5)^4 =\left(-3 \times (-5)\right)^4 = 15^4 $
$(-2)^4\times 3^4 =(-2 \times 3)^4 = (-6)^4 = 6^4$
$(-5)^3 \times 2^3 = (-5 \times 2)^3=(-10)^3=-10^3$
$(-4)^5 \times (-2)^5 =\left(-4 \times (-2)\right)^5 = 8^5$
$\left((-3)^5\right)^3 = (-3)^{5\times 3}=(-3)^{15} = -3^{15}$
$\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7 \times 4} = (-6)^{28}=6^{28}$
$\quad$
Exercice 7
Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible :
$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$
$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3$
$C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2$
$D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3$
Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible :
$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$
$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3$
$C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2$
$D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3$
Correction Exercice 7
$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{4^3}=-\dfrac{27}{64}$
$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2 \\ &=\left(-\dfrac{3 \times 14}{7 \times 4}\right)^2 \\ &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \\ &=\dfrac{3^2}{2^2} \\ &=\dfrac{9}{4} \end{align*}$
$\begin{align*} D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3 \\ &=\left(-\dfrac{4 \times 7}{7 \times 2}\right)^3 \\ &= (-2)^3 \\ &=-8 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 8
Écrire sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :
$$\begin{array}{lcl} A=4^{-3}&\phantom{aaa}& B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\ C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}&&D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\ E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}&&F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} \\ G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2}&&H=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \end{array}$$
Écrire sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :
$$\begin{array}{lcl} A=4^{-3}&\phantom{aaa}& B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\ C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}&&D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\ E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}&&F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} \\ G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2}&&H=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \end{array}$$
Correction Exercice 8
$A=4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$$B=\dfrac{7^9}{7^{11}} = \dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$
$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{16}{25} $
$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} =-\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{2^3} = -\dfrac{27}{8}$
$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} =5^{-3}= \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}$
$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} =2^{3-(-2)}=2^5=32$
$G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2} = -9^{4-2-2} = -9^0=-1$
$\begin{align*} H&=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \\ &=-6^{5-4-3-(2-5)} \\ &=-6^{1} \\ &=-6 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 9
Calculer :
$I=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5}$
$J=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)^{-3}}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3$
Calculer :
$I=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5}$
$J=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)^{-3}}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3$
Correction Exercice 9
$\begin{align*} I&=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5} \\ &= \dfrac{2^2 \times 3^3}{3^4 \times 5^{3}} \\ &=\dfrac{2^2}{3 \times 5^3} \\ &=\dfrac{4}{375} \end{align*}$$\begin{align*} J&=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)^{-3}}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3 \\ &= \dfrac{5^{-6} \times 11^{15} \times 11^6 \times 5^6}{11^{10}\times 5^{-6} \times 5^6 \times 11^{12}} \\ &=\dfrac{11^{21}}{11^{22}} \\ &=11^{-1} \\ &=\dfrac{1}{11} \end{align*}$
🔻 Exercices sur les raciness carrées
Racines carrées
Exercice 1
Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels ($b$ étant le plus petit possible).
1) $\sqrt{50}$
$\quad$
2) $\sqrt{8}$
$\quad$
3) $\sqrt{32}$
$\quad$
4) $\sqrt{12}$
$\quad$
5) $\sqrt{48}$
$\quad$
6) $\sqrt{27}$
Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels ($b$ étant le plus petit possible).
1) $\sqrt{50}$
$\quad$
2) $\sqrt{8}$
$\quad$
3) $\sqrt{32}$
$\quad$
4) $\sqrt{12}$
$\quad$
5) $\sqrt{48}$
$\quad$
6) $\sqrt{27}$
Correction Exercice 1
1) $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25}\times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$\quad$
2) $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\quad$
3) $\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16}\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\quad$
4) $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$\quad$
5) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$
$\quad$
6) $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$
$\quad$
Exercice 2
Simplifier l’écriture de :
1) $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6}$
$\quad$
2) $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}$
$\quad$
3) $C=\sqrt{12}\times \sqrt{27}$
$\quad$
4) $D=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}$
$\quad$
5) $E=\sqrt{98}\times \sqrt{50}$
$\quad$
6) $F=\sqrt{15}\times \sqrt{135}$ $\quad$
Simplifier l’écriture de :
1) $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6}$
$\quad$
2) $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}$
$\quad$
3) $C=\sqrt{12}\times \sqrt{27}$
$\quad$
4) $D=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}$
$\quad$
5) $E=\sqrt{98}\times \sqrt{50}$
$\quad$
6) $F=\sqrt{15}\times \sqrt{135}$ $\quad$
Correction Exercice 2
1) $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6} = \sqrt{3\times 6}=\sqrt{3\times 3\times 2}=3\sqrt{2}$ $\quad$2) $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5\times 20}=\sqrt{100}=10$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} C&=\sqrt{12}\times \sqrt{27}\\ &=\sqrt{12\times 27} \\ &=\sqrt{3\times 4 \times 9 \times 3} \\ &= 3 \times 2 \times 3 \\ & = 18 \end{align*}$
$\quad$
4) $\quad$
$\begin{align*}D&=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8} \\ &= \sqrt{3 \times 6 \times 8} \\ &= \sqrt{3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 4} \\ &= 3 \times 2 \times 2 \\ &=12 \end{align*}$
$\quad$
5) $\quad$
$\begin{align*}E&=\sqrt{98}\times \sqrt{50} \\ &= \sqrt{49 \times 2} \times \sqrt{25 \times 2} \\ &=7\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \\ &=35 \times 2 \\ &=70 \end{align*}$
$\quad$
6) $\quad$
$\begin{align*} F&=\sqrt{15}\times \sqrt{135} \\ &= \sqrt{15} \times \sqrt{9 \times 15} \\ &= 15 \times 3 \\ &= 45 \end{align*}$
$\quad$
Exercice 3
Simplifier l’écriture de :
1) $A=2\sqrt{2}\times \sqrt{50}$
$\quad$
2) $B=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10}$
$\quad$
3) $C=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3}$
$\quad$
4) $D=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2}$
Simplifier l’écriture de :
1) $A=2\sqrt{2}\times \sqrt{50}$
$\quad$
2) $B=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10}$
$\quad$
3) $C=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3}$
$\quad$
4) $D=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2}$
Correction Exercice 3
1) $\quad$$\begin{align*} A&=2\sqrt{2}\times \sqrt{50} \\ &= 2\sqrt{2 \times 50} \\ &= 2\sqrt{100} \\ &= 2 \times 10 \\ &= 20 \end{align*}$ $\quad$
2) $\quad$
$\begin{align*} B&=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10} \\ &=\sqrt{3 \times 5} \times 3 \times \sqrt{2 \times 5} \\ &=3 \times 5 \sqrt{3 \times 2} \\ &=15\sqrt{6} \end{align*}$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} D&=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2} \\ &= 6 \times 2 \times \sqrt{8} \\ &=12 \sqrt{4 \times 2} \\ &= 24 \sqrt{2} \end{align*}$
$\quad$
Exercice 4
Simplifier les sommes suivantes :
1) $A=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7}$
$\quad$
2) $B=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32}$
$\quad$
3) $C=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27}$ $\quad$
4) $D=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}$
Simplifier les sommes suivantes :
1) $A=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7}$
$\quad$
2) $B=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32}$
$\quad$
3) $C=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27}$ $\quad$
4) $D=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}$
Correction Exercice 4
1) $\quad$$\begin{align*} A&=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7} \\ &=5\sqrt{3}-5\sqrt{4\times 7}-\sqrt{7} \\ &=5\sqrt{3}-5\sqrt{4}\times \sqrt{7}-\sqrt{7} \\ &=5\sqrt{3}-5\times 2\times \sqrt{7}-\sqrt{7} \\ &=5\sqrt{3}-10\sqrt{7}-\sqrt{7} \\ &=5\sqrt{3}-11\sqrt{7} \end{align*}$ $\quad$
2) $\quad$
$\begin{align*} B&=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32} \\ &=7\sqrt{2}-\sqrt{9\times 2}-2\sqrt{16 \times 2} \\ &=7\sqrt{2}-\sqrt{9} \times \sqrt{2}-2\sqrt{16} \times\sqrt{ 2} \\ &=7\sqrt{2}-3 \times \sqrt{2}-2\times 4 \times\sqrt{ 2} \\ &=7\sqrt{2}-3\sqrt{2}-8\sqrt{2} \\ &=-4\sqrt{2} \end{align*}$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} C&=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27} \\ &=2\sqrt{4 \times 3}-4\sqrt{25 \times 3}+3\sqrt{9 \times 3} \\ &=2\sqrt{4} \times \sqrt{3}-4\sqrt{25} \times \sqrt{3}+3\sqrt{9 }\times \sqrt{3} \\ &=2\times 2 \times \sqrt{3}-4\times 5 \times \sqrt{3}+3\times 3\times \sqrt{3} \\ &=4\sqrt{3}-20\sqrt{3}+9\sqrt{3} \\ &=-7\sqrt{3} \end{align*}$ $\quad$
4) $\quad$
$\begin{align*} D&=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50} \\ &=\sqrt{4 \times 2}-\sqrt{16 \times 2}+\sqrt{25 \times 2} \\ &=\sqrt{4} \times \sqrt{2}-\sqrt{16} \times\sqrt{ 2}+\sqrt{25} \times \sqrt{2} \\ &=2 \times \sqrt{2}-4 \times\sqrt{ 2}+5 \times \sqrt{2} \\ &=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}+5\sqrt{2} \\ &=3\sqrt{2} \end{align*}$ $\quad$
Exercice 5
Simplifier l’écriture de :
1) $A=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}}$ $\quad$
2) $B=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}}$ $\quad$
3) $C=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40}$ $\quad$
4) $D=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}}$
Simplifier l’écriture de :
1) $A=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}}$ $\quad$
2) $B=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}}$ $\quad$
3) $C=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40}$ $\quad$
4) $D=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}}$
Correction Exercice 5
1) $\quad$$\begin{align*} A&=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}} \\ &=\sqrt{\dfrac{2\times 4\times 3\times 9}{3\times 2\times 25}}\\ &=\sqrt{\dfrac{4}{9\times 25}} \\ &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9 \times 25}} \\ &=\dfrac{2}{3 \times 5} \\ &=\dfrac{2}{15} \end{align*}$ $\quad$
2) $\quad$
$\begin{align*} B&=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}} \\ &=2\times \sqrt{\dfrac{2 \times 3}{27 \times 8}} \\ &=2\times \sqrt{\dfrac{1}{9\times 4}} \\ &=2\times \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9} \times \sqrt{4}} \\ &=2\times \dfrac{1}{3 \times 2} \\ &=\dfrac{1}{3} \end{align*}$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} C&=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40} \\ &=\sqrt{\dfrac{8\times 40}{5}} \\ &=\sqrt{8\times 8} \\ &=8 \end{align*}$ $\quad$
4) $\quad$
$\begin{align*} D&=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}} \\ &=\sqrt{\dfrac{9\times 40}{10 \times 81}} \\ &=\sqrt{\dfrac{4}{9}} \\ &=\dfrac{2}{3} \end{align*}$ $\quad$
Exercice 6
Ecrire les nombres suivants sans le symbole racine carré au dénominateur.
Exemple : $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
1) $\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}$ $\quad$
2) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$ $\quad$
3) $\dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}$ $\quad$
4) $\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}$ $\quad$
5) $\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}$ $\quad$
6) $\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}$
Ecrire les nombres suivants sans le symbole racine carré au dénominateur.
Exemple : $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
1) $\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}$ $\quad$
2) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$ $\quad$
3) $\dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}$ $\quad$
4) $\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}$ $\quad$
5) $\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}$ $\quad$
6) $\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}$
Correction Exercice 6
1) $\quad$$\begin{align*} \dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}&= \dfrac{\sqrt{4} \times \sqrt{7}}{\sqrt{3}\times \sqrt{7}} \\ &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{align*}$ $\quad$
2) $\quad$
$\begin{align*}\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}&=\dfrac{3\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{align*}$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} \dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}&=\dfrac{4\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \end{align*}$ $\quad$
4) $\quad$
$\begin{align*} \dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}&=\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ &=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt{3 \times 6}}{3 \times 6} \\ &=\dfrac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{18} \end{align*}$ $\quad$
5) $\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}&=\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}} \times \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \\ &=\dfrac{\sqrt{20}-2\sqrt{50}}{3\times 10} \\ &= \dfrac{\sqrt{4 \times 5}-2\sqrt{25 \times 2}}{30} \\ &=\dfrac{2\sqrt{5}-10\sqrt{2}}{30} \\ &=\dfrac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15} \end{align*}$ $\quad$
6) $\quad$
$\begin{align*} \dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}&=\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}} \times \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} \\ &=\dfrac{10\sqrt{90}-3\sqrt{150}}{2\times 15} \\ &=\dfrac{30\sqrt{10}-15\sqrt{6}}{30} \\ &=\dfrac{2\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2} \end{align*}$ $\quad$
Exercice 7
Écrire ces expressions sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est un entier naturel le plus petit possible et $a$ un entier relatif.
$A=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108}$ $\quad$
$B=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245}$ $\quad$
$C=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175}$ $\quad$
Écrire ces expressions sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est un entier naturel le plus petit possible et $a$ un entier relatif.
$A=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108}$ $\quad$
$B=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245}$ $\quad$
$C=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175}$ $\quad$
Correction Exercice 7
$\begin{align*}A&=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108} \\ &=5\sqrt{3\times 16}-2\sqrt{3\times 25}+7\sqrt{3\times 36} \\ &=5\times 4\sqrt{3}-2\times 5\sqrt{3}+7\times 6\sqrt{3}\\ &=20\sqrt{3}-10\sqrt{3}+42\sqrt{3}\\ &=52\sqrt{3}\end{align*}$ $\quad$$\begin{align*}B&=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245} \\ &=3\sqrt{4\times 5}+2\sqrt{9\times 5}-6\sqrt{49\times 5}\\ &=3\times 2\sqrt{5}+2\times 3\sqrt{5}-6\times 7\sqrt{5}\\ &=6\sqrt{5}+6\sqrt{5}-42\sqrt{5}\\ &=-30\sqrt{5}\end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175} \\ &=-5\sqrt{4\times 7}+3\sqrt{16\times 7}+2\sqrt{25\times 7}\\ &=-5\times 2\sqrt{7}+3\times 4\sqrt{7}+2\times 5\sqrt{7} \\ &=-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}+10\sqrt{7} \\ &=12\sqrt{7}\end{align*}$ $\quad$
🔻 Exercices sur développement et factorisation
Développement et factorisation
Exercice 1
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :
$A=(x+1)(x+3)$ $\quad$
$B=(2x+8)(x+5)$ $\quad$
$C=(4x-1)(x+2)$ $\quad$
$D=(5x+4)(4x+7)$ $\quad$
$E=(4x+3)(3x-2)$ $\quad$
$F=(7x-4)(2x-1)$
$\quad$Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :
$A=(x+1)(x+3)$ $\quad$
$B=(2x+8)(x+5)$ $\quad$
$C=(4x-1)(x+2)$ $\quad$
$D=(5x+4)(4x+7)$ $\quad$
$E=(4x+3)(3x-2)$ $\quad$
$F=(7x-4)(2x-1)$
Correction Exercice 1
$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\ &=x^2+3x+x+3 \\ &=x^2+4x+3 \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\ &=2x^2+10x+8x+40 \\ &=2x^2+18x+40 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=(4x-1)(x+2) \\ &=4x^2+8x-x-2\\ &=4x^2+7x-2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7) \\ &=20x^2+35x+16x+28\\ &=20x^2+51x+28 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\ &=12x^2-8x+9x-6\\ &=12x^2+x-6 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} F&=(7x-4)(2x-1) \\ &=14x^2-7x-8x+4\\ &=14x^2-15x+4 \end{align*}$ $\quad$
$\quad$
Exercice 2
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=(4x+3)^2$ $\quad$
$B=(6x-7)^2$ $\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$ $\quad$
$D=(3x+7)^2$ $\quad$
$E=(7x-5)^2$ $\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$ $\quad$
$G=(7-4x)^2$ $\quad$
$H=(2x+9)^2$ $\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
$\quad$Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=(4x+3)^2$ $\quad$
$B=(6x-7)^2$ $\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$ $\quad$
$D=(3x+7)^2$ $\quad$
$E=(7x-5)^2$ $\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$ $\quad$
$G=(7-4x)^2$ $\quad$
$H=(2x+9)^2$ $\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
Correction Exercice 2
$\begin{align*} A&=(4x+3)^2 \\ &=(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2 \\ &=16x^2+24x+9 \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=(6x-7)^2 \\ &=(6x)^2-2\times 6x \times 7 + 7^2 \\ &=36x^2-84x+49 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=(5x+4)(5x-4) \\ &=(5x)^2-4^2 \\ &=25x^2-16 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} D&=(3x+7)^2 \\ &=(3x)^2+2\times 3x \times 7 + 7^2 \\ &=9x^2+42x+49 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} E&=(7x-5)^2 \\ &=(7x)^2-2\times 7x \times 5+5^2 \\ &=49x^2-70x+25 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} F&=(3x-5)(3x+5) \\ &=(3x)^2-5^2 \\ &=9x^2-25 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} G&=(7-4x)^2 \\ &=7^2-2\times 7 \times 4x + (4x)^2 \\ &=49-56x+16x^2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} H&=(2x+9)^2 \\ &=(2x)^2+2\times 2x \times 9 + 9^2 \\ &=4x^2+36x+81 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} I&=(6-2x)(6+2x) \\ &=6^2-(2x)^2 \\ &=36-4x^2 \end{align*}$ $\quad$
Exercice 3
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$ $\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$ $\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$ $\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$ $\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$ $\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$ $\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$ $\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
$\quad$Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$ $\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$ $\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$ $\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$ $\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$ $\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$ $\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$ $\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
Correction Exercice 3
$\begin{align*} A&=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &=x^2+2 \times x\times \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &=x^2+\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9} \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &=(2x)^2-2\times 2x \times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &=4x^2-2x+\dfrac{1}{4} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} C&=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right) \\ &=(6x)^2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \\ &=36x^2-\dfrac{4}{25} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2 \\ &=(3x)^2+2\times 3x \times \dfrac{7}{6}+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \\ &=9x^2+7x+\dfrac{49}{36} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} E&=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \\ &=(3x)^2-2\times 3x \times \dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \\ &=9x^2-8x+\dfrac{16}{9} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}F&=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \\ &=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &=\dfrac{49}{16}x^2-\dfrac{1}{4} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} G&=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\ &=(2x)^2-2\times 2x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\ &=4x^2-10x+\dfrac{25}{4} \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}H&=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2 \\ &=(3x)^2-2\times 3x\times \dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \\ &=9x^2-14x+\dfrac{49}{9} \end{align*}$ $\quad$
$\quad$
Exercice 4
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$ $\quad$
$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$ $\quad$
$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$ $\quad$
$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$ $\quad$
$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$
$\quad$Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$ $\quad$
$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$ $\quad$
$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$ $\quad$
$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$ $\quad$
$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$
Correction Exercice 4
$\begin{align*}A&=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3) \\ &=12x^2+6x+4x+2-(10x-15) \\ &=12x^2+10x+2-10x+15 \\ &=12x^2+17 \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1) \\ &=20x^2-12x-5x+3+21x-7\\ &=20x^2+4x-4 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9) \\ &=15x^2+35x-12x-28+20x^2+36x-10x-18\\ &=35x^2+49x-46 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2) \\ &=x^2-2^2-\left(6x^2-4x+3x-2\right) \\ &=x^2-4-\left(6x^2-x-2\right) \\ &=x^2-4-6x^2+x+2\\ &=-5x^2+x-2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} E&=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3) \\ &=4\left((3x)^2+2\times 3x\times 1 + 1\right)-\left((2x)^2-3^2\right) \\ &=4\left(9x^2+6x+1\right)-\left(4x^2-9\right) \\ &=36x^2+24x+4-4x^2+9\\ &=32x^2+24x+13 \end{align*}$ $\quad$
$\quad$
Exercice 5
Factoriser
$A=5(x+1)+x(x+1)$ $\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$ $\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$ $\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$ $\quad$
$E=2(3-x)(2x+5)-(2x+5)$ $\quad$
$F=-3(x+1)(1-x)+(1-x)(7x-8)$ $\quad$
$G=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
$\quad$Factoriser
$A=5(x+1)+x(x+1)$ $\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$ $\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$ $\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$ $\quad$
$E=2(3-x)(2x+5)-(2x+5)$ $\quad$
$F=-3(x+1)(1-x)+(1-x)(7x-8)$ $\quad$
$G=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
Correction Exercice 5
$A=5\underline{(x+1)}+x\underline{(x+1)} = (x+1)(5+x)$ $\quad$$\begin{align*} B&=\underline{(x-1)}(2x+3)+\underline{(x-1)}(5x-2) \\ &=(x-1)\left[(2x+3)+(5x-2)\right] \\ &=(x-1)(2x+3+5x-2)\\ &=(x-1)(7x+1) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} C&=\underline{(2x-5)}(4x-3)-\underline{(2x-5)}(3x-1) \\ &=(2x-5)\left[(4x-3)-(3x-1)\right] \\ &=(2x-5)(4x-3-3x+1)\\ &=(2x-5)(x-2) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=2(3x-1)\underline{(x+3)}-3\underline{(x+3)}(4x+1) \\ &=(x+3)\left[2(3x-1)-3(4x+1)\right] \\ &=(x+3)(6x-2-12x-3) \\ &=(x+3)(-6x-5) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} E&=2(3-x)(2x+5)-(2x+5) \\ &=2(3-x)\underline{(2x+5)}-\underline{(2x+5)} \times 1 \\ &=(2x+5)\left[2(3-x)-1\right] \\ &=(2x+5)(6-2x-1) \\ &=(2x+5)(-2x+5) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}F&=-3(x+1)\underline{(1-x)}+\underline{(1-x)}(7x-8) \\ &=(1-x)\left[-3(x+1)+(7x-8)\right] \\ &=(1-x)(-3x-3+7x-8) \\ &=(1-x)(4x-11) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}G&=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2) \\ &=\underline{(5x-2)}\times 1+4(2x+1)\underline{(5x-2)} \\ &=(5x-2)\left[1+4(2x+1)\right] \\ &=(5x-2)(1+8x+4) \\ &=(5x-2)(5+8x) \end{align*}$ $\quad$
Exercice 6
Factoriser en utilisant des identités remarquables.
$A=x^2-10x+25$ $\quad$
$B=9+6x+x^2$ $\quad$
$C=1-x^2$ $\quad$
$D=4x^2+12x+9$ $\quad$
$E=x^2-16$ $\quad$
$F=9x^2-4$ $\quad$
$G=9x^2-6x+1$ $\quad$
$H=25-4x^2$
$\quad$Factoriser en utilisant des identités remarquables.
$A=x^2-10x+25$ $\quad$
$B=9+6x+x^2$ $\quad$
$C=1-x^2$ $\quad$
$D=4x^2+12x+9$ $\quad$
$E=x^2-16$ $\quad$
$F=9x^2-4$ $\quad$
$G=9x^2-6x+1$ $\quad$
$H=25-4x^2$
Correction Exercice 6
$\begin{align*} A&=x^2-10x+25 \\ &=x^2-2\times x \times 5+5^2 \\ &=(x-5)^2 \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*}B&=9+6x+x^2 \\ &=3^2+2\times 3 \times x+x^2 \\ &=(3+x)^2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=1-x^2 \\ &=1^2-x^2 \\ &=(1-x)(1+x) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9 \\ &=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 \\ &=(2x+3)^2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-16 \\ &=x^2-4^2\\ &=(x-4)(x+4) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}F&=9x^2-4 \\ &=(3x)^2-2^2 \\ &=(3x-2)(3x+2) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}G&=9x^2-6x+1 \\ &=(3x)2-2\times 3x \times 1+1^2 \\ &=(3x-1)^2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}H&=25-4x^2 \\ &=5^2-(2x)^2 \\ &=(5-2x)(5+2x) \end{align*}$ $\quad$
$\quad$
Exercice 7
Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.
$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$ $\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$ $\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$ $\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$ $\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
$\quad$Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.
$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$ $\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$ $\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$ $\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$ $\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
Correction Exercice 7
$\begin{align*} A&=x^2+(x+2)(x+3) \\ &=x^2-2^2+(x+2)(x+3) \\ &=(x-2)\underline{[(x+2)}+\underline{(x+2)}(x+3) \\ &=(x+2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\ &=(x+2)(x-2+x+3) \\ &=(x+2)(2x+1) \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=x^2+6x+9-(x+3)(x-1) \\ &=x^2+2\times x \times 3 + 3^2-(x+3)(x-1) \\ &=(x+3)^2-(x+3)(x-1) \\ &=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-1) \\ &=(x+3)\left[(x+3)-(x-1)\right] \\ &=(x+3)(x+3-x+1) \\ &=(x+3)(4) \\ &=4(x+3) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(x+5)+9x^2-4 \\ &=(3x-2)(x+5)+(3x)^2-2^2 \\ &=\underline{(3x-2)}(x+5)+\underline{(3x-2)}(3x+2) \\ &=(3x-2)\left[(x+5)+(3x+2)\right] \\ &=(3x-2)(x+5+3x+2) \\ &=(3x-2)(4x+7) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=9x^2-1+(3x+1)(2x+3) \\ &=(3x)^2-1^2+(3x+1)(2x+3) \\ &=(3x-1)\underline{(3x+1)}+\underline{(3x+1)}(2x+3) \\ &=(3x+1)\left[(3x-1)+(2x+3)\right] \\ &=(3x+1)(3x-1+2x+3) \\ &=(3x+1)(5x+2) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-4x+4+(x+3)(x-2) \\ &=x^2-2\times x\times 2+2^2+(x+3)(x-2) \\ &=(x-2)^2+(x+3)(x-2) \\ &=\underline{(x-2)}(x-2)+(x+3)\underline{(x-2)} \\ &=(x-2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\ &=(x-2)(x-2+x+3) \\ &=(x-2)(2x+1) \end{align*}$ $\quad$
Exercice 8
Factoriser
$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ $\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$ $\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$ $\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$ $\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$ $\quad$
$F=25-(2x+3)^2$ $\quad$
$G=3x^2-6x+3$ $\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
$\quad$Factoriser
$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ $\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$ $\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$ $\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$ $\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$ $\quad$
$F=25-(2x+3)^2$ $\quad$
$G=3x^2-6x+3$ $\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
Correction Exercice 8
$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ est du type $a^2-b^2$ avec $a=(x-1)$ et $b=(4x-2)$ $\begin{align*} A&=(x-1)^2-(4x-2)^2 \\ &=\left[(x-1)-(4x-2)\right]\left[(x-1)+(4x-2)\right] \\ &=(x-1-4x+2)(x-1+4x-2) \\ &=(-3x+1)(5x-3) \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=9x^2-(x+1)^2 \\ &=(3x)^2-(x+1)^2 \\ &=\left[(3x)-(x+1)\right]\left[(3x)+(x+1)\right] \\ &=(3x-x-1)(3x+x+1) \\ &=(2x-1)(4x+1) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} C&=(2x+3)^2-(1+x)^2 \\ &=\left[(2x+3)-(1+x)\right]\left[(2x+3)+(1+x)\right] \\ &=(2x+3-1-x)(2x+3+1+x) \\ &=(x+2)(3x+4) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}D&=(3x+2)^2-(5x+1)^2 \\ &=\left[(3x+2)-(5x+1)\right]\left[(3x+2)+(5x+1)\right] \\ &=(3x+2-5x-1)(3x+2+5x+1) \\ &=(-2x+1)(8x+3) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} E&=x^2+6x+9-(x+3)(x-2) \\ &=x^2+2\times x \times 3+3^2-(x+3)(x-2) \\ &=(x+3)^2-(x+3)(x-2) \\ &=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-2) \\ &=(x+3)\left[(x+3)-(x-2)\right] \\ &=(x+3)(x+3-x+2) \\ &=(x+3)(5) \\ &=5(x+3) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} F&=25-(2x+3)^2 \\ &=5^2-(2x+3)^2 \\ &=\left[5-(2x+3)\right]\left[5+(2x+3)\right] \\ &=(5-2x-3)(5+2x+3) \\ &=(2-2x)(8+2x) \end{align*}$ On peut également constater que $(2-2x)=2(1-x)$ et que $(8+2x)=2(4+x)$.
Donc $F=4(1-x)(4+x)$ mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu. $\quad$
$\begin{align*} G&=3x^2-6x+3 \\ &=3\left(x^2-2x+1\right) \\ &=3(x-1)^2 \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} H&=(3x+3)-(x+1)(2x-1) \\ &=3\underline{(x+1)}-\underline{(x+1)}(2x-1) \\ &=(x+1)\left[3-(2x-1)\right] \\ &=(x+1)(3-2x+1) \\ &=(x+1)(4-2x) \end{align*}$ On peut encore aller plus loin en écrivant $H=2(x+1)(2-x)$. $\quad$
$\quad$
Exercice 9
Factoriser les expressions suivantes :
$A=2(1-6x)(x+1)-3(2x-1)(1-6x)$ $\quad$
$B=(5x+2)(3x-4)-(3x-4)$ $\quad$
$C=(2x-1)(3x+2)-4x(2x-1)$ $\quad$
$D=3(3x+4)(2x+3)-2(3x+4)(5-6x)$
$\quad$Factoriser les expressions suivantes :
$A=2(1-6x)(x+1)-3(2x-1)(1-6x)$ $\quad$
$B=(5x+2)(3x-4)-(3x-4)$ $\quad$
$C=(2x-1)(3x+2)-4x(2x-1)$ $\quad$
$D=3(3x+4)(2x+3)-2(3x+4)(5-6x)$
Correction Exercice 9
$\begin{align*} A&=2\underline{(1-6x)}(x+1)-3(2x-1)\underline{(1-6x)} \\ &=(1-6x)\left[2(x+1)-3(2x-1)\right] \\ &=(1-6x)(2x+2-6x+3) \\ &=(1-6x)(-4x+5) \end{align*}$ $\quad$$\begin{align*} B&=(5x+2)(3x-4)-(3x-4) \\ &=(5x+2)\underline{(3x-4)}-\underline{(3x-4)} \times 1 \\ &=(3x-4)\left[(5x+2)-1\right] \\ &=(3x-4)(5x+2-1) \\ &=(3x-4)(5x+1) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*}C&=\underline{(2x-1)}(3x+2)-4x\underline{(2x-1)} \\ &=(2x-1)\left[(3x+2)-4x\right] \\ &=(2x-1)(3x+2-4x) \\ &=(2x-1)(2-x) \end{align*}$ $\quad$
$\begin{align*} D&=3\underline{(3x+4)}(2x+3)-2\underline{(3x+4)}(5-6x) \\ &=(3x+4)\left[(3(2x+3)-2(5-6x)\right] \\ &=(3x+4)(6x+9-10+12x) \\ &=(3x+4)(18x-1) \end{align*}$ $\quad$
Exercice 10
On donne l’expression $A=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$. 1) Développer, réduire et ordonner $A$. $\quad$
2) Calculer $A$ pour $x=\dfrac{1}{2}$. $\quad$
3) Factoriser $A$. $\quad$
4) Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$
$\quad$On donne l’expression $A=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$. 1) Développer, réduire et ordonner $A$. $\quad$
2) Calculer $A$ pour $x=\dfrac{1}{2}$. $\quad$
3) Factoriser $A$. $\quad$
4) Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$
Correction Exercice 10
1) $\quad$$\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\ &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3 \\ &=x^2+2x+1+2x^2-x-3 \\ &=3x^2+x-2 \end{align*}$ $\quad$
2) Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
$\begin{align*} A&=\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(2\times \dfrac{1}{2}-3\right) \\ &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2} \times (1-3) \\ &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2} \times (-2) \\ &=\dfrac{9}{4}-3 \\ &=\dfrac{9}{4}-\dfrac{12}{4} \\ &=-\dfrac{3}{4} \end{align*}$ $\quad$
3) $\quad$
$\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\ &=\underline{(x+1)}(x+1)+\underline{(x+1)}(2x-3) \\ &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\ &=(x+1)(x+1+2x-3) \\ &=(x+1)(3x-2) \end{align*}$ $\quad$
$(x+1)(3x-2)=0$ Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc soit $x+1=0$ ou $3x-2=0$.
soit $x=-1$ ou $3x=2$
donc $x=-1$ ou $x=\dfrac{2}{3}$
Les solutions de l’équation sont par conséquent $-1$ et $\dfrac{2}{3}$. $\quad$
$\quad$
Exercice 11
On donne l’expression $A=(x-3)(x+3)-2(x-3)$.
1) Factoriser $A$. $\quad$
2) Développer, réduire et ordonner $A$. $\quad$
3) En choisissant la forme la mieux adaptée de $A$ déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ puis pour $x=0$. $\quad$
4) Résoudre l’équation $(x-3)(x+1)=0$.
$\quad$On donne l’expression $A=(x-3)(x+3)-2(x-3)$.
1) Factoriser $A$. $\quad$
2) Développer, réduire et ordonner $A$. $\quad$
3) En choisissant la forme la mieux adaptée de $A$ déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ puis pour $x=0$. $\quad$
4) Résoudre l’équation $(x-3)(x+1)=0$.
Correction Exercice 11
1) $\quad$$\begin{align*} A&=\underline{(x-3)}(x+3)-2\underline{(x-3)} \\ &=(x-3)\left[(x+3)-2\right] \\ &=(x-3)(x+3-2) \\ &=(x-3)(x+1)\end{align*}$ $\quad$
2) $\quad$
$\begin{align*} A&=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\ &=x^2-9-2x+6 \\ &=x^2-2x-3 \end{align*}$ $\quad$
3) Si $x=-1$ alors on choisit l’expression factorisée : $A=(-1-3)(-1+1)=0$.
Si $x=0$ alors on choisit l’expression développée : $A=0-0-3=-3$. $\quad$
$(x-3)(x+1)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc soit $x-3=0$ ou $x+1=0$.
D’où $x=3$ ou $x=-1$.
Les solutions de l’équation sont donc $-1$ et $3$. $\quad$
🔻 Exercices sur les équations
Équations
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
1) $4x-3=2x+9$ $\quad$
2) $5x-9=3x+4$ $\quad$
3) $8-(3x+2)=5x-5$ $\quad$
4) $7+2(3-x)=4x-1$
$\quad$Résoudre les équations suivantes :
1) $4x-3=2x+9$ $\quad$
2) $5x-9=3x+4$ $\quad$
3) $8-(3x+2)=5x-5$ $\quad$
4) $7+2(3-x)=4x-1$
Correction Exercice 1
Le symbole $\Leftrightarrow$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent. 1) $4x-3=2x+9$$\Leftrightarrow 4x-3-2x=9$
$\Leftrightarrow 2x=9+3$
$\Leftrightarrow 2x=12$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{12}{2}$
$\Leftrightarrow x=6$
La solution de cette équation est $6$. $\quad$
2) $5x-9=3x+4$
$\Leftrightarrow 5x-9-3x=4$
$\Leftrightarrow 2x=4+9$
$\Leftrightarrow 2x=13$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{2}$
La solution de cette équation est $\dfrac{13}{2}$.
$\quad$
3) $8-(3x+2)=5x-5$
$\Leftrightarrow 8-3x-2=5x-5$
$\Leftrightarrow 6-3x=5x-5$
$\Leftrightarrow 6=5x-5+3x$
$\Leftrightarrow 6=8x-5$
$\Leftrightarrow 6+5=8x$
$\Leftrightarrow 11=8x$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{8}$
La solution de cette équation est $\dfrac{11}{8}$.
$\quad$
4) $7+2(3-x)=4x-1$
$\Leftrightarrow 7+6-2x=4x-1$
$\Leftrightarrow 13-2x=4x-1$
$\Leftrightarrow 13=4x-1+2x$
$\Leftrightarrow 13=6x-1$
$\Leftrightarrow 13+1=6x$
$\Leftrightarrow 14=6x$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{6}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{3}$
La solution de cette équation est $\dfrac{7}{3}$. $\quad$
$\quad$
Exercice 2
Résoudre les équations suivantes :
1) $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$ $\quad$
2) $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$ $\quad$
3) $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$ $\quad$
4) $3x-5(3-2x)=6x-15$
$\quad$Résoudre les équations suivantes :
1) $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$ $\quad$
2) $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$ $\quad$
3) $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$ $\quad$
4) $3x-5(3-2x)=6x-15$
Correction Exercice 2
Le symbole $\Leftrightarrow$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.1) $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
$\Leftrightarrow 4x-15+10x=4-2x+7$
$\Leftrightarrow 14x-15=11-2x$
$\Leftrightarrow 14x-15+2x=11$
$\Leftrightarrow 16x-15=11$
$\Leftrightarrow 16x=11+15$
$\Leftrightarrow 16x=26$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{26}{16}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{8}$
La solution de cette équation est $\dfrac{13}{8}$.
$\quad$
2) $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
$\Leftrightarrow 9x-12+9x=2-(35-12+6x)$
$\Leftrightarrow 18x-12=2-35+12-6x$
$\Leftrightarrow 18x-12=-21-6x$
$\Leftrightarrow 18x-12+6x=-21$
$\Leftrightarrow 24x-12=-21$
$\Leftrightarrow 24x=-21+12$
$\Leftrightarrow 24x=-9$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{9}{24}$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{8}$
La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{8}$. $\quad$
3) $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
$\Leftrightarrow 5x-21+36-24x=15-5x-4$
$\Leftrightarrow 15-19x=11-5x$
$\Leftrightarrow 15=11-5x+19x$
$\Leftrightarrow 15=11+14x$
$\Leftrightarrow 15-11=14x$
$\Leftrightarrow 4=14x$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{14}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{7}$
La solution de cette équation est $\dfrac{2}{7}$. $\quad$
4) $3x-5(3-2x)=6x-15$
$\Leftrightarrow 3x-15+10x=6x-15$
$\Leftrightarrow 13x-15=6x-15$
$\Leftrightarrow 13x-15-6x=-15$
$\Leftrightarrow 7x-15=-15$
$\Leftrightarrow 7x=-15+15$
$\Leftrightarrow 7x=0$
$\Leftrightarrow x=0$
La solution de cette équation est $0$. $\quad$
$\quad$
Exercice 3
Résoudre les équations suivantes : 1) $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$ $\quad$
2) $0=-3-2x$ $\quad$
3) $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
$\quad$Résoudre les équations suivantes : 1) $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$ $\quad$
2) $0=-3-2x$ $\quad$
3) $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
Correction Exercice 3
Le symbole $\Leftrightarrow$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.1) $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{3}{2}}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{3}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{15}$
La solution de cette équation est $\dfrac{2}{15}$. $\quad$
2) $0=-3-2x$
$\Leftrightarrow 2x=-3$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$
La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{2}$. $\quad$
3) $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
On multiplie les deux membres de cette équation par $3\times 4$.
$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
$\Leftrightarrow 4(x-4)=3(x+3)$
$\Leftrightarrow 4x-16=3x+9$
$\Leftrightarrow 4x-16-3x=9$
$\Leftrightarrow x-16=9$
$\Leftrightarrow x=9+16$
$\Leftrightarrow x=25$
La solution de cette équation est $25$. $\quad$
$\quad$
Exercice 4
Résoudre les équations suivantes :
1) $(7x-1)(-2x-5)=0$ $\quad$
2) $(4x+3)(-5x+1)=0$ $\quad$
3) $(-5x+2)(3x-7)=0$ $\quad$
4) $(4x-1)(-7x+2)=0$ $\quad$
5) $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$ $\quad$
6) $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
$\quad$Résoudre les équations suivantes :
1) $(7x-1)(-2x-5)=0$ $\quad$
2) $(4x+3)(-5x+1)=0$ $\quad$
3) $(-5x+2)(3x-7)=0$ $\quad$
4) $(4x-1)(-7x+2)=0$ $\quad$
5) $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$ $\quad$
6) $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
Correction Exercice 4
1) $(7x-1)(-2x-5)=0$Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $7x-1=0$ ou $-2x-5=0$
Soit $7x=1$ ou $-2x=5$
D’où $x=\dfrac{1}{7}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{7}$ et $- \dfrac{5}{2}$.
$\quad$
2) $(4x+3)(-5x+1)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $4x+3=0$ ou $-5x+1=0$
Soit $4x=-3$ ou $-5x=-1$
D’où $x=- \dfrac{3}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
Les solutions de cette équation sont $- \dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{5}$.
$\quad$
3) $(-5x+2)(3x-7)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $-5x+2=0$ ou $3x-7=0$
Soit $-5x=-2$ ou $3x=7$
D’où $x=\dfrac{2}{5}$ ou $x=\dfrac{7}{3}$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{7}{3}$.
$\quad$
4) $(4x-1)(-7x+2)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $4x-1=0$ ou $-7x+2=0$
Soit $4x=1$ ou $-7x=-2$
D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{7}$.
$\quad$
5) $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
$\Leftrightarrow (4x-1)\left[(x+5)-(2x+3)\right]=0$
$\Leftrightarrow (4x-1)(x+5-2x-3)=0$
$\Leftrightarrow (4x-1)(-x+2)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $4x-1=0$ ou $-x+2=0$
Soit $4x=1$ ou $-x=-2$
D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=2$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $2$.
$\quad$
6) $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
$\Leftrightarrow (-2x+3)\left[(5x+2)+4-7x\right]=0$
$\Leftrightarrow (-2x+3)(-2x+6)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $-2x+3=0$ ou $-2x+6=0$
Soit $-2x=-3$ ou $-2x=-6$
D’où $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=3$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{3}{2}$ et $3$.
$\quad$
$\quad$
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes : 1) $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$ $\quad$
2) $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$ $\quad$
3) $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$ $\quad$
4) $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
$\quad$Résoudre les équations suivantes : 1) $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$ $\quad$
2) $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$ $\quad$
3) $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$ $\quad$
4) $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
Correction Exercice 5
Dans cet exercice on utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour factoriser les expressions et obtenir ainsi une équation produit.1) $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
$\Leftrightarrow \left[(2x-3)-(4x+2)\right]\left[(2x-3)+(4x+2)\right]=0$
$\Leftrightarrow (2x-3-4x-2)(2x-3+4x+2)=0$
$\Leftrightarrow (-2x-5)(6x-1)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $-2x-5=0$ ou $6x-1=0$
Soit $-2x=5$ ou $6x=1$
D’où $x=-\dfrac{5}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$.
$\quad$
2) $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
$\Leftrightarrow \left[(5x+7)-(2x+5)\right]\left[(5x+7)+(-2x+5)\right]=0$
$\Leftrightarrow (5x+7+2x-5)(5x+7-2x+5)=0$
$\Leftrightarrow (7x+2)(3x+12)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $7x+2=0$ ou $3x+12=0$
Soit $7x=-2$ ou $3x=-12$
D’où $x=-\dfrac{2}{7}$ ou $x=-4$
Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{2}{7}$ et $-4$.
$\quad$
3) $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
$\Leftrightarrow (7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
$\Leftrightarrow \left[(7x-5)-(-2x+3)\right]\left[(7x-5)+(-2x+3)\right]=0$
$\Leftrightarrow (7x-5+2x-3)(7x-5-2x+3)=0$
$\Leftrightarrow (9x-8)(5x-2)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $9x-8=0$ ou $5x-2=0$
Soit $9x=8$ ou $5x=2$
D’où $x=\dfrac{8}{9}$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
Les solutions de cette équation sont $\dfrac{8}{9}$ et $\dfrac{2}{5}$.
$\quad$
4) $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
$\Leftrightarrow (-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
$\Leftrightarrow \left[(-4x-3)-(-5x+6)\right]\left[(-4x-3)+(-5x+6)\right]=0$
$\Leftrightarrow (-4x-3+5x-6)(-4x-3-5x+6)=0$
$\Leftrightarrow (x-9)(-9x+3)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc $x-9=0$ ou $-9x+3=0$
Soit $x=9$ ou $-9x=-3$
D’où $x=9$ ou $x=\dfrac{1}{3}$
Les solutions de cette équation sont $9$ et $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
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