Révision trcs

🔻 CALCUL LITTERAL (Diaporama animé)

🔻 Equations - Inéquations (Diaporama animé)

🔻 Exercices sur nombres relatifs

Nombres relatifs

Exercice 1
Calculer :
A=2+8−6−2+3
B=−6×2×(−1):(−4)
C=5×3+3×2−1
D=−1+3×(−4+2)
E=5−5×8+2
F=−2+10:2

Correction Exercice 1

A=2+8−6−2+3=13−8=5
B=−6×2×(−1):(−4)=12:(−4)=−3
C=5×3+3×2−1=15+6−1=21−1=20
D=−1+3×(−4+2)=−1+3×(−2)=−1−6=−7
E=5−5×8+2=5−40+2=7−40=−33
F=−2+10:2=−2+5=3
Exercice 2
Calculer :
A=10−[6−(5+4)]
B=−3×[12×2−(3−2−5)]
C=(2×5−2)×4+(−2)
<

Correction Exercice 2

A=10−[6−(5+4)]=10−(6−9)=10−(−3)=13
B=−3×[12×2−(3−2−5)]=−3×(24−(−4))=−3×(24+4)=−3×28=−84
C=(2×5−2)×4+(−2)=(10−2)×4−2=8×4−2=32−2=30
Exercice 3
Sachant que a=−4, b=4, c=−2, d=−10, e=2 et f=7, calculer :
A=4−a+b−c
B=−9+b−e−f+c
C=13−f−b+4−c+a+d
D=9−(4−a)+(−b+4)−(c−2)
E=−15+(7−b)−5−(−e−c)+(d−13)
F=19−(13−b)−(5−e+a−c)+(−f+8)

Correction Exercice 3

A=4−a+b−c=4−(−4)+4−(−2)=4+4+4+2=14
B=−9+b−e−f+c=−9+4−2−7+(−2)=−18+4−2=−20+4=−16
C=13−f−b+4−c+a+d=13−7−4+4−(−2)+(−4)+(−10)=13−7+2−4−10=15−21=−6
D=9−(4−a)+(−b+4)−(c−2)=9−(4−(−4))+(−4+4)−(−2−2)=9−(4+4)−(−4)=9−8+4=5
E=−15+(7−b)−5−(−e−c)+(d−13)=−15+(7−4)−5−(−2−(−2))+(−10−13)=−15+3−5−0−23=3−43=−40
F=19−(13−b)−(5−e+a−c)+(−f+8)=19−(13−4)=19−9=10
Exercice 4
Simplifier les expressions suivantes :
A=3(2a−5b)−7(2a+3b)+2(−5a+9b)
B=5(2x−3y+2)−2(4x+9y−1)+6(−2x−y)
C=[3b−7(5a−2b)]−[−3a+8(2a−5b+3)]
D=6(2x−3y+7)−4(2x+6)+5(−3+2y+x)

Correction Exercice 4

A=3(2a−5b)−7(2a+3b)+2(−5a+9b)=6a−15b−14a−21b−10a+18b=−18a−18b
B=5(2x−3y+2)−2(4x+9y−1)+6(−2x−y)=10x−15y+10−8x−18y+2−12x−6y=−10x−39y+12
C=[3b−7(5a−2b)]−[−3a+8(2a−5b+3)]=(3b−35a+14b)−(−3a+16a−40b+24)=(17b−35a)−(13a−40b+24)=17b−35a−13a+40b−24=−48a+57b−24
D=6(2x−3y+7)−4(2x+6)+5(−3+2y+x)=12x−18y+42−8x−24−15+10y+5x=9x−8y+3
Exercice 5
Simplifier puis calculer A pour x=1,2, y=−1 et z=−1,5:
A=2(5x−3y+2z)−3(2x+4y)−5(5y−3z)

Correction Exercice 5

A=2(5x−3y+2z)−3(2x+4y)−5(5y−3z)=10x−6y+4z−6x−12y−25y+15z=4x−43y+19z
Donc :
A=4×1,2−43×(−1)+19×(−1,5)=4,8+43−28,5=47,8−28,5=19,3
Exercice 6
Calculer B pour x=0 puis pour x=−1
B=2x2−3x+7

Correction Exercice 6

Si x=0
B=2x2−3x+7=0−0+7=7
Si x=−1
B=2x2−3x+7=2×(−1)2−3×(−1)+7=2×1+3+7=2+3+7=12
Exercice 7
Simplifier C=2x+62
Puis calculer C pour x=−133

Correction Exercice 7

C=2x+62=x+3
Si x=−133 alors C=−133+3=−130
Exercice 8
Écrire plus simplement D=2x×(−3x)+1.
Calculer D pour x=−2.

Correction Exercice 8

D=2x×(−3x)+1=−6x2+1
Si x=−2 alors
D=−6x2+1=−6×(−2)2+1=−6×4+1=−24+1=−23

🔻 Exercices sur les fractions

Fractions

Simplifications et mise au même dénominateur

Exercice 1
Simplifier les fractions suivantes :
5624aaa77154aaa4291aaa125350

Correction Exercice 1

5624=8×78×3=73
77154=11×711×14=714=12
4291=7×67×13=613
125350=25×525×14=514
Exercice 2
Simplifier les fractions suivantes :
11×53×113×4×26

Correction Exercice 2

11×53×11=53
3×4×26=6×46=4
Exercice 3
Mettre au même dénominateur :
1) 68 et 1014
2) 498 et 230490
3) 321 et −135

Correction Exercice 3

1) 68=34 et 1014=57
Un dénominateur commun est donc 4×7=28.
68=34=3×74×7=2128
1014=57=5×44×7=2028
2) 498=249 et 230490=2349
Les deux fractions sont déjà au même dénominateur.
3) 321=17 et −135
Un dénominateur commun est donc 5×7=35.
321=17=535 −135=−13×75×7=−9135
Additions et soustractions
Exercice 4
Calculer :
A=736+936
B=−14+54

Correction Exercice 4

A=736+936=7+936=1636=4×44×9=49
B=−14+54=−1+54=44=1
Exercice 5
Calculer : A=34−52+72

Correction Exercice 5

A=34−52+72=34+22=34+44=74
Exercice 6
Calculer :
A=(56−34−25)−(32+73−25)
B=[25−(76+54)]−[(35−26+73)+(34−75)]

Correction Exercice 6

A=(56−34−25)−(32+73−25)=56−34−25−32−73+25=1012−912−1812−2812=−4512=−154
B=[25−(76+54)]−[(35−26+73)+(34−75)]=25−76−54−35+26−73−34+75=65−56−84−73=3630−2530−2−7030=−5930−6030=−11930
Multiplications et divisions
Exercice 7
Calculer en simplifiant s’il y a lieu :
1) 1214×2118
2) −2442×3536
3) −2534×(−1745)

Correction Exercice 7

1)
1214×2118=2×6×3×72×7×3×6=1
2)
−2442×3536=1221×3536=−2×6×5×73×7×6×6=−1018=−59
3)
−2534×(−1745)=5×5×172×17×5×9=518
Exercice 8
Calculer :
A=37÷34
B=−27÷(−56)
C=174
D=411−1522

Correction Exercice 8

A=37÷34=37×43=47
B=−27÷(−56)=27×65=1235
C=174=47
D=411−1522=−411×2215=−4×2×1111×15=−815
Exercice 9
Effectuer :
A=(2+53)(3−45)
B=3×56−43×6+32
C=−83×(−37)−414−117

Correction Exercice 9

A=(2+53)(3−45)=(63+53)(155−45)=113×115=12115
B=3×56−43×6+32=52−8+32=82−8=4−8=−4
C=−83×(−37)−414−117=87−27−117=−57
Exercice 10
Calculer :
A=(5+73)(8−57)
B=1−12−12
C=32−23×53
D=1+342−15

Correction Exercice 10

A=(5+73)(8−57)=(153+73)(567−57)=223×517=22×3×173×7=3747
B=1−12−12=1−132=1−23=13
C=32−23×53=32−109=2718−2018=718
D=1+342−15=7495=74×59=3536

🔻 Exercices sur les puissances

Puissances

Puissances de 10

Exercice 1
Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissance de 10.
10 000aaa0,000 1aaa0,1−1 000 0000,000 0111 000 000−11 000

Correction Exercice 1

10 000=104
0,000 1=10−4
0,1=10−1
−1 000 000=−106
0,000 01=10−5
11 000 000=1106=10−6
−11 000=−1103=−10−3
Exercice 2
Écrire sous forme décimale :
A=104
B=10−2
C=3,076×107
D=5×10=−5
E=3×10−1−1,2×10−2

Correction Exercice 2

A=104=10 000
B=10−2=0,01
C=3,076×107=3,076×10 000 000=30 760 000
D=5×10=−5=5×0,000 01=0,000 05
E=3×10−1−1,2×10−2=0,3−0,012=0,288
Exercice 3
Écrire sous forme décimale :
A=10−15×1017
B=3×106×2×10−8
C=5×10−72×10−8
D=0,3×103×5×10−94×10−10

Correction Exercice 3

A=10−15×1017=10−15+17=102=100
B=3×106×2×10−8=6×106−8=6×10−2=0,06
C=5×10−72×10−8=2,5×10−7+8=25
D=0,3×103×5×10−94×10−10=1,54×−610−10=0,375×104=3 750
Exercice 4
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
A=2×10−5×3×10−10
B=(10−4)3
C=3×(102)3×(5×10−8)2
D=10510−3
E=0,9×10−73×103
F=4×10−3×15×1025×108

Correction Exercice 4

A=2×10−5×3×10−10=6×10−5−10=6×10−15
B=(10−4)3=104×3=10−12
C=3×(102)3×(5×10−8)2=3×106×25×10−16=75×10−10=7,5×10−9
D=10510−3=105−(−3)=108
E=0,9×10−73×103=0,3×10−7−3=0,3×10−10=3×10−11
F=4×10−3×15×1025×108=4×155×10−3+2−8=12×10−9=1,2×10−8
Exercice 5
Calculer en utilisant les puissances de 10:
A=0,000 07×0,000 005×60 000
B=0,002×400×0,000 03×200 000
C=12 000×0,002×3 000×0,000 000 5
D=11 000 000×0,5×200×0,000 3×0,005

Correction Exercice 5

A=0,000 07×0,000 005×60 000=7×10−5×5×10−6×6×104=210×10−5−6+4=2,1×10−5=0,000 021
B=0,002×400×0,000 03×200 000=2×10−3×4×102×3×10−5×2×105=48×10−3+2−5+5=48×10−1=4,8
C=12 000×0,002×3 000×0,000 000 5=1,2×104×2×10−3×3×103×5×10−7=36×104−3+3−7=36×10−3=0,036
D=11 000 000×0,5×200×0,000 3×0,005=1,1×107×5×10−1×2×102×3×10−4×5×10−3=165×107−1+2−4−3=165×10=1 650
Puissances d’un nombre quelconque

Exercice 6
Écrire sous la forme an ou −an, où a est un nombre relatif et n un entier naturel, chacun des nombres suivants :
25×26aaa(−3)4×(−3)5(−7)2×(−7)4(−5)4×(−5)(−8)2×8742×(−4)3(−3)4×(−5)4(−2)4×34(−5)3×23(−4)5×(−2)5((−3)5)3((−6)7)4

Correction Exercice 6

25×26=25+6=211
(−3)4×(−3)5=(−3)4+5=(−3)9
On peut aussi écrire −39 car l’exposant est impair.
(−7)2×(−7)4=(−7)2+4=(−7)6
On peut aussi écrire 76 car l’exposant est pair.
(−5)4×(−5)=(−5)4+1=(−5)5
On peut aussi écrire −55 car l’exposant est impair.
(−8)2×87=82×87=89
42×(−4)3=42×(−43)=−45
(−3)4×(−5)4=(−3×(−5))4=154
(−2)4×34=(−2×3)4=(−6)4=64
(−5)3×23=(−5×2)3=(−10)3=−103
(−4)5×(−2)5=(−4×(−2))5=85
((−3)5)3=(−3)5×3=(−3)15=−315
((−6)7)4=(−6)7×4=(−6)28=628
Exercice 7
Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible :
A=(52)3
B=(−34)3
C=(37)2×(−144)2
D=(47)3×(−72)3

Correction Exercice 7

A=(52)3=5323=1258
B=(−34)3=−3343=−2764
C=(37)2×(−144)2=(−3×147×4)2=(32)2=3222=94
D=(47)3×(−72)3=(−4×77×2)3=(−2)3=−8
Exercice 8
Écrire sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :
A=4−3aaaB=79711C=(54)−2D=(−23)−3E=5−152F=232−2G=−94×9−292H=−65×(−6)−4×6−362×6−5

Correction Exercice 8

A=4−3=143=164
B=79711=172=149
C=(54)−2=(45)2=4252=1625
D=(−23)−3=−(32)3=−3323=−278
E=5−152=5−3=153=1125
F=232−2=23−(−2)=25=32
G=−94×9−292=−94−2−2=−90=−1
H=−65×(−6)−4×6−362×6−5=−65−4−3−(2−5)=−61=−6
Exercice 9
Calculer :
I=2×23×33×2−234×54×5−3×5×5
J=(52×11−5)−3(115×5−3)2×((11×5)252×114)3

Correction Exercice 9

I=2×23×33×2−234×54×5−3×5×5=22×3334×53=223×53=4375
J=(52×11−5)−3(115×5−3)2×((11×5)252×114)3=5−6×1115×116×561110×5−6×56×1112=11211122=11−1=111

🔻 Exercices sur les raciness carrées

Racines carrées

Exercice 1
Mettre sous la forme a√b où a et b sont des entiers naturels (b étant le plus petit possible).
1) √50

2) √8

3) √32

4) √12

5) √48

6) √27

Correction Exercice 1

1) √50=√25×2=√25×√2=5√2

2) √8=√4×2=√4×√2=2√2

3) √32=√16×2=√16×√2=4√2

4) √12=√4×3=√4×√3=2√3

5) √48=√16×3=√16×√3=4√3

6) √27=√9×3=√9×√3=3√3
Exercice 2
Simplifier l’écriture de :
1) A=√3×√6

2) B=√5×√20

3) C=√12×√27

4) D=√3×√6×√8

5) E=√98×√50

6) F=√15×√135

Correction Exercice 2

1) A=√3×√6=√3×6=√3×3×2=3√2

2) B=√5×√20=√5×20=√100=10

3)

C=√12×√27=√12×27=√3×4×9×3=3×2×3=18

4)

D=√3×√6×√8=√3×6×8=√3×3×2×2×4=3×2×2=12

5)

E=√98×√50=√49×2×√25×2=7√2×5√2=35×2=70

6)

F=√15×√135=√15×√9×15=15×3=45
Exercice 3
Simplifier l’écriture de :
1) A=2√2×√50

2) B=√15×3×√10

3) C=2√27×6√3

4) D=3√2×√8×2√2

Correction Exercice 3

1)

A=2√2×√50=2√2×50=2√100=2×10=20

2)

B=√15×3×√10=√3×5×3×√2×5=3×5√3×2=15√6

3)

D=3√2×√8×2√2=6×2×√8=12√4×2=24√2
Exercice 4
Simplifier les sommes suivantes :
1) A=5√3−5√28−√7

2) B=7√2−√18−2√32

3) C=2√12−4√75+3√27

4) D=√8−√32+√50

Correction Exercice 4

1)
A=5√3−5√28−√7=5√3−5√4×7−√7=5√3−5√4×√7−√7=5√3−5×2×√7−√7=5√3−10√7−√7=5√3−11√7
2)
B=7√2−√18−2√32=7√2−√9×2−2√16×2=7√2−√9×√2−2√16×√2=7√2−3×√2−2×4×√2=7√2−3√2−8√2=−4√2
3)
C=2√12−4√75+3√27=2√4×3−4√25×3+3√9×3=2√4×√3−4√25×√3+3√9×√3=2×2×√3−4×5×√3+3×3×√3=4√3−20√3+9√3=−7√3
4)
D=√8−√32+√50=√4×2−√16×2+√25×2=√4×√2−√16×√2+√25×√2=2×√2−4×√2+5×√2=2√2−4√2+5√2=3√2
Exercice 5
Simplifier l’écriture de :
1) A=√827×√350
2) B=2√227×√38
3) C=√85×√40
4) D=√910×√40√81

Correction Exercice 5

1)
A=√827×√350=√2×4×3×93×2×25=√49×25=√4√9×25=23×5=215
2)
B=2√227×√38=2×√2×327×8=2×√19×4=2×√1√9×√4=2×13×2=13
3)
C=√85×√40=√8×405=√8×8=8
4)
D=√910×√40√81=√9×4010×81=√49=23
Exercice 6
Ecrire les nombres suivants sans le symbole racine carré au dénominateur.
Exemple : √5√2=√5√2×√2√2=√102
1) √28√21
2) 3√62√3
3) 4√105√2
4) 2−√33√6
5) √2−2√53√10
6) 10√6−3√102√15

Correction Exercice 6

1)
√28√21=√4×√7√3×√7=√4√3=2√3×√3√3=2√33
2)
3√62√3=3√3×√22√3=3√22
3)
4√105√2=4√5×√25√2=4√55
4)
2−√33√6=2−√33√6×√6√6=2√6−√3×63×6=2√6−3√218
5)
√2−2√53√10=√2−2√53√10×√10√10=√20−2√503×10=√4×5−2√25×230=2√5−10√230=√5−5√215
6)
10√6−3√102√15=10√6−3√102√15×√15√15=10√90−3√1502×15=30√10−15√630=2√10−√62
Exercice 7
Écrire ces expressions sous la forme a√b où b est un entier naturel le plus petit possible et a un entier relatif.
A=5√48−2√75+7√108
B=3√20+2√45−6√245
C=−5√28+3√112+2√175

Correction Exercice 7

A=5√48−2√75+7√108=5√3×16−2√3×25+7√3×36=5×4√3−2×5√3+7×6√3=20√3−10√3+42√3=52√3
B=3√20+2√45−6√245=3√4×5+2√9×5−6√49×5=3×2√5+2×3√5−6×7√5=6√5+6√5−42√5=−30√5
C=−5√28+3√112+2√175=−5√4×7+3√16×7+2√25×7=−5×2√7+3×4√7+2×5√7=−10√7+12√7+10√7=12√7

🔻 Exercices sur développement et factorisation

Développement et factorisation

Exercice 1
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :
A=(x+1)(x+3)
B=(2x+8)(x+5)
C=(4x−1)(x+2)
D=(5x+4)(4x+7)
E=(4x+3)(3x−2)
F=(7x−4)(2x−1)

Correction Exercice 1

A=(x+1)(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3
B=(2x+8)(x+5)=2x2+10x+8x+40=2x2+18x+40
C=(4x−1)(x+2)=4x2+8x−x−2=4x2+7x−2
D=(5x+4)(4x+7)=20x2+35x+16x+28=20x2+51x+28
E=(4x+3)(3x−2)=12x2−8x+9x−6=12x2+x−6
F=(7x−4)(2x−1)=14x2−7x−8x+4=14x2−15x+4

Exercice 2
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
A=(4x+3)2
B=(6x−7)2
C=(5x+4)(5x−4)
D=(3x+7)2
E=(7x−5)2
F=(3x−5)(3x+5)
G=(7−4x)2
H=(2x+9)2
I=(6−2x)(6+2x)

Correction Exercice 2

A=(4x+3)2=(4x)2+2×4x×3+32=16x2+24x+9
B=(6x−7)2=(6x)2−2×6x×7+72=36x2−84x+49
C=(5x+4)(5x−4)=(5x)2−42=25x2−16
D=(3x+7)2=(3x)2+2×3x×7+72=9x2+42x+49
E=(7x−5)2=(7x)2−2×7x×5+52=49x2−70x+25
F=(3x−5)(3x+5)=(3x)2−52=9x2−25
G=(7−4x)2=72−2×7×4x+(4x)2=49−56x+16x2
H=(2x+9)2=(2x)2+2×2x×9+92=4x2+36x+81
I=(6−2x)(6+2x)=62−(2x)2=36−4x2
Exercice 3
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
A=(x+13)2
B=(2x−12)2
C=(6x+25)(6x−25)
D=(3x+76)2
E=(3x−43)2
F=(74x+12)(74x−12)
G=(2x−52)2
H=(3x−73)2

Correction Exercice 3

A=(x+13)2=x2+2×x×13+(13)2=x2+23x+19
B=(2x−12)2=(2x)2−2×2x×12+(12)2=4x2−2x+14
C=(6x+25)(6x−25)=(6x)2−(25)2=36x2−425
D=(3x+76)2=(3x)2+2×3x×76+(76)2=9x2+7x+4936
E=(3x−43)2=(3x)2−2×3x×43+(43)2=9x2−8x+169
F=(74x+12)(74x−12)=(74x)2−(12)2=4916x2−14
G=(2x−52)2=(2x)2−2×2x×52+(52)2=4x2−10x+254
H=(3x−73)2=(3x)2−2×3x×73+(73)2=9x2−14x+499

Exercice 4
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
A=(3x+1)(4x+2)−5(2x−3)
B=(4x−1)(5x−3)+7(3x−1)
C=(5x−4)(3x+7)+(4x−2)(5x+9)
D=(x−2)(x+2)−(2x+1)(3x−2)
E=4(3x+1)2−(2x+3)(2x−3)

Correction Exercice 4

A=(3x+1)(4x+2)−5(2x−3)=12x2+6x+4x+2−(10x−15)=12x2+10x+2−10x+15=12x2+17
B=(4x−1)(5x−3)+7(3x−1)=20x2−12x−5x+3+21x−7=20x2+4x−4
C=(5x−4)(3x+7)+(4x−2)(5x+9)=15x2+35x−12x−28+20x2+36x−10x−18=35x2+49x−46
D=(x−2)(x+2)−(2x+1)(3x−2)=x2−22−(6x2−4x+3x−2)=x2−4−(6x2−x−2)=x2−4−6x2+x+2=−5x2+x−2
E=4(3x+1)2−(2x+3)(2x−3)=4((3x)2+2×3x×1+1)−((2x)2−32)=4(9x2+6x+1)−(4x2−9)=36x2+24x+4−4x2+9=32x2+24x+13

Exercice 5
Factoriser
A=5(x+1)+x(x+1)
B=(x−1)(2x+3)+(x−1)(5x−2)
C=(2x−5)(4x−3)−(2x−5)(3x−1)
D=2(3x−1)(x+3)−3(x+3)(4x+1)
E=2(3−x)(2x+5)−(2x+5)
F=−3(x+1)(1−x)+(1−x)(7x−8)
G=(5x−2)+4(2x+1)(5x−2)

Correction Exercice 5

A=5(x+1)_+x(x+1)_=(x+1)(5+x)
B=(x−1)_(2x+3)+(x−1)_(5x−2)=(x−1)[(2x+3)+(5x−2)]=(x−1)(2x+3+5x−2)=(x−1)(7x+1)
C=(2x−5)_(4x−3)−(2x−5)_(3x−1)=(2x−5)[(4x−3)−(3x−1)]=(2x−5)(4x−3−3x+1)=(2x−5)(x−2)
D=2(3x−1)(x+3)_−3(x+3)_(4x+1)=(x+3)[2(3x−1)−3(4x+1)]=(x+3)(6x−2−12x−3)=(x+3)(−6x−5)
E=2(3−x)(2x+5)−(2x+5)=2(3−x)(2x+5)_−(2x+5)_×1=(2x+5)[2(3−x)−1]=(2x+5)(6−2x−1)=(2x+5)(−2x+5)
F=−3(x+1)(1−x)_+(1−x)_(7x−8)=(1−x)[−3(x+1)+(7x−8)]=(1−x)(−3x−3+7x−8)=(1−x)(4x−11)
G=(5x−2)+4(2x+1)(5x−2)=(5x−2)_×1+4(2x+1)(5x−2)_=(5x−2)[1+4(2x+1)]=(5x−2)(1+8x+4)=(5x−2)(5+8x)
Exercice 6
Factoriser en utilisant des identités remarquables.
A=x2−10x+25
B=9+6x+x2
C=1−x2
D=4x2+12x+9
E=x2−16
F=9x2−4
G=9x2−6x+1
H=25−4x2

Correction Exercice 6

A=x2−10x+25=x2−2×x×5+52=(x−5)2
B=9+6x+x2=32+2×3×x+x2=(3+x)2
C=1−x2=12−x2=(1−x)(1+x)
D=4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2
E=x2−16=x2−42=(x−4)(x+4)
F=9x2−4=(3x)2−22=(3x−2)(3x+2)
G=9x2−6x+1=(3x)2−2×3x×1+12=(3x−1)2
H=25−4x2=52−(2x)2=(5−2x)(5+2x)

Exercice 7
Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.
A=x2−4+(x+2)(x+3)
B=x2+6x+9−(x+3)(x−1)
C=(3x−2)(x+5)+9x2−4
D=9x2−1+(3x+1)(2x+3)
E=x2−4x+4+(x+3)(x−2)

Correction Exercice 7

A=x2+(x+2)(x+3)=x2−22+(x+2)(x+3)=(x−2)[(x+2)_+(x+2)_(x+3)=(x+2)[(x−2)+(x+3)]=(x+2)(x−2+x+3)=(x+2)(2x+1)
B=x2+6x+9−(x+3)(x−1)=x2+2×x×3+32−(x+3)(x−1)=(x+3)2−(x+3)(x−1)=(x+3)_(x+3)−(x+3)_(x−1)=(x+3)[(x+3)−(x−1)]=(x+3)(x+3−x+1)=(x+3)(4)=4(x+3)
C=(3x−2)(x+5)+9x2−4=(3x−2)(x+5)+(3x)2−22=(3x−2)_(x+5)+(3x−2)_(3x+2)=(3x−2)[(x+5)+(3x+2)]=(3x−2)(x+5+3x+2)=(3x−2)(4x+7)
D=9x2−1+(3x+1)(2x+3)=(3x)2−12+(3x+1)(2x+3)=(3x−1)(3x+1)_+(3x+1)_(2x+3)=(3x+1)[(3x−1)+(2x+3)]=(3x+1)(3x−1+2x+3)=(3x+1)(5x+2)
E=x2−4x+4+(x+3)(x−2)=x2−2×x×2+22+(x+3)(x−2)=(x−2)2+(x+3)(x−2)=(x−2)_(x−2)+(x+3)(x−2)_=(x−2)[(x−2)+(x+3)]=(x−2)(x−2+x+3)=(x−2)(2x+1)
Exercice 8
Factoriser
A=(x−1)2−(4x−2)2
B=9x2−(x+1)2
C=(2x+3)2−(1+x)2
D=(3x+2)2−(5x+1)2
E=x2+6x+9−(x+3)(x−2)
F=25−(2x+3)2
G=3x2−6x+3
H=(3x+3)−(x+1)(2x−1)

Correction Exercice 8

A=(x−1)2−(4x−2)2 est du type a2−b2 avec a=(x−1) et b=(4x−2) A=(x−1)2−(4x−2)2=[(x−1)−(4x−2)][(x−1)+(4x−2)]=(x−1−4x+2)(x−1+4x−2)=(−3x+1)(5x−3)
B=9x2−(x+1)2=(3x)2−(x+1)2=[(3x)−(x+1)][(3x)+(x+1)]=(3x−x−1)(3x+x+1)=(2x−1)(4x+1)
C=(2x+3)2−(1+x)2=[(2x+3)−(1+x)][(2x+3)+(1+x)]=(2x+3−1−x)(2x+3+1+x)=(x+2)(3x+4)
D=(3x+2)2−(5x+1)2=[(3x+2)−(5x+1)][(3x+2)+(5x+1)]=(3x+2−5x−1)(3x+2+5x+1)=(−2x+1)(8x+3)
E=x2+6x+9−(x+3)(x−2)=x2+2×x×3+32−(x+3)(x−2)=(x+3)2−(x+3)(x−2)=(x+3)_(x+3)−(x+3)_(x−2)=(x+3)[(x+3)−(x−2)]=(x+3)(x+3−x+2)=(x+3)(5)=5(x+3)
F=25−(2x+3)2=52−(2x+3)2=[5−(2x+3)][5+(2x+3)]=(5−2x−3)(5+2x+3)=(2−2x)(8+2x) On peut également constater que (2−2x)=2(1−x) et que (8+2x)=2(4+x).
Donc F=4(1−x)(4+x) mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu.
G=3x2−6x+3=3(x2−2x+1)=3(x−1)2
H=(3x+3)−(x+1)(2x−1)=3(x+1)_−(x+1)_(2x−1)=(x+1)[3−(2x−1)]=(x+1)(3−2x+1)=(x+1)(4−2x) On peut encore aller plus loin en écrivant H=2(x+1)(2−x).

Exercice 9
Factoriser les expressions suivantes :
A=2(1−6x)(x+1)−3(2x−1)(1−6x)
B=(5x+2)(3x−4)−(3x−4)
C=(2x−1)(3x+2)−4x(2x−1)
D=3(3x+4)(2x+3)−2(3x+4)(5−6x)

Correction Exercice 9

A=2(1−6x)_(x+1)−3(2x−1)(1−6x)_=(1−6x)[2(x+1)−3(2x−1)]=(1−6x)(2x+2−6x+3)=(1−6x)(−4x+5)
B=(5x+2)(3x−4)−(3x−4)=(5x+2)(3x−4)_−(3x−4)_×1=(3x−4)[(5x+2)−1]=(3x−4)(5x+2−1)=(3x−4)(5x+1)
C=(2x−1)_(3x+2)−4x(2x−1)_=(2x−1)[(3x+2)−4x]=(2x−1)(3x+2−4x)=(2x−1)(2−x)
D=3(3x+4)_(2x+3)−2(3x+4)_(5−6x)=(3x+4)[(3(2x+3)−2(5−6x)]=(3x+4)(6x+9−10+12x)=(3x+4)(18x−1)
Exercice 10
On donne l’expression A=(x+1)2+(x+1)(2x−3). 1) Développer, réduire et ordonner A.
2) Calculer A pour x=12.
3) Factoriser A.
4) Résoudre l’équation (x+1)(3x−2)=0

Correction Exercice 10

1)
A=(x+1)2+(x+1)(2x−3)=x2+2x+1+2x2−3x+2x−3=x2+2x+1+2x2−x−3=3x2+x−2
2) Si x=12 alors
A=(12+1)2+(12+1)(2×12−3)=(32)2+32×(1−3)=94+32×(−2)=94−3=94−124=−34
3)
A=(x+1)2+(x+1)(2x−3)=(x+1)_(x+1)+(x+1)_(2x−3)=(x+1)[(x+1)+(2x−3)]=(x+1)(x+1+2x−3)=(x+1)(3x−2)
(x+1)(3x−2)=0 Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc soit x+1=0 ou 3x−2=0.
soit x=−1 ou 3x=2
donc x=−1 ou x=23
Les solutions de l’équation sont par conséquent −1 et 23.

Exercice 11
On donne l’expression A=(x−3)(x+3)−2(x−3).
1) Factoriser A.
2) Développer, réduire et ordonner A.
3) En choisissant la forme la mieux adaptée de A déterminer la valeur de A pour x=−1 puis pour x=0.
4) Résoudre l’équation (x−3)(x+1)=0.

Correction Exercice 11

1)
A=(x−3)_(x+3)−2(x−3)_=(x−3)[(x+3)−2]=(x−3)(x+3−2)=(x−3)(x+1)
2)
A=(x−3)(x+3)−2(x−3)=x2−9−2x+6=x2−2x−3
3) Si x=−1 alors on choisit l’expression factorisée : A=(−1−3)(−1+1)=0.
Si x=0 alors on choisit l’expression développée : A=0−0−3=−3.
(x−3)(x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc soit x−3=0 ou x+1=0.
D’où x=3 ou x=−1.
Les solutions de l’équation sont donc −1 et 3.

🔻 Exercices sur les équations

Équations

Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
1) 4x−3=2x+9
2) 5x−9=3x+4
3) 8−(3x+2)=5x−5
4) 7+2(3−x)=4x−1

Correction Exercice 1

Le symbole ⇔ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent. 1) 4x−3=2x+9
⇔4x−3−2x=9
⇔2x=9+3
⇔2x=12
⇔x=122
⇔x=6
La solution de cette équation est 6.
2) 5x−9=3x+4
⇔5x−9−3x=4
⇔2x=4+9
⇔2x=13
⇔x=132
La solution de cette équation est 132.

3) 8−(3x+2)=5x−5
⇔8−3x−2=5x−5
⇔6−3x=5x−5
⇔6=5x−5+3x
⇔6=8x−5
⇔6+5=8x
⇔11=8x
⇔x=118
La solution de cette équation est 118.

4) 7+2(3−x)=4x−1
⇔7+6−2x=4x−1
⇔13−2x=4x−1
⇔13=4x−1+2x
⇔13=6x−1
⇔13+1=6x
⇔14=6x
⇔x=146
⇔x=73
La solution de cette équation est 73.

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes :
1) 4x−5(3−2x)=4−(2x−7)
2) 9x−3(4−3x)=2−[35−3(4−2x)]
3) 5x−3[7−4(3−2x)]=5(3−x)−4
4) 3x−5(3−2x)=6x−15

Correction Exercice 2

Le symbole ⇔ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.
1) 4x−5(3−2x)=4−(2x−7)
⇔4x−15+10x=4−2x+7
⇔14x−15=11−2x
⇔14x−15+2x=11
⇔16x−15=11
⇔16x=11+15
⇔16x=26
⇔x=2616
⇔x=138
La solution de cette équation est 138.

2) 9x−3(4−3x)=2−[35−3(4−2x)]
⇔9x−12+9x=2−(35−12+6x)
⇔18x−12=2−35+12−6x
⇔18x−12=−21−6x
⇔18x−12+6x=−21
⇔24x−12=−21
⇔24x=−21+12
⇔24x=−9
⇔x=−924
⇔x=−38
La solution de cette équation est −38.
3) 5x−3[7−4(3−2x)]=5(3−x)−4
⇔5x−21+36−24x=15−5x−4
⇔15−19x=11−5x
⇔15=11−5x+19x
⇔15=11+14x
⇔15−11=14x
⇔4=14x
⇔x=414
⇔x=27
La solution de cette équation est 27.
4) 3x−5(3−2x)=6x−15
⇔3x−15+10x=6x−15
⇔13x−15=6x−15
⇔13x−15−6x=−15
⇔7x−15=−15
⇔7x=−15+15
⇔7x=0
⇔x=0
La solution de cette équation est 0.

Exercice 3
Résoudre les équations suivantes : 1) 3x2=15
2) 0=−3−2x
3) x−43=x+34

Correction Exercice 3

Le symbole ⇔ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.
1) 3x2=15
⇔32x=15
⇔x=1532
⇔x=15×23
⇔x=215
La solution de cette équation est 215.
2) 0=−3−2x
⇔2x=−3
⇔x=−32
La solution de cette équation est −32.
3) x−43=x+34
On multiplie les deux membres de cette équation par 3×4.
x−43=x+34
⇔4(x−4)=3(x+3)
⇔4x−16=3x+9
⇔4x−16−3x=9
⇔x−16=9
⇔x=9+16
⇔x=25
La solution de cette équation est 25.

Exercice 4
Résoudre les équations suivantes :
1) (7x−1)(−2x−5)=0
2) (4x+3)(−5x+1)=0
3) (−5x+2)(3x−7)=0
4) (4x−1)(−7x+2)=0
5) (4x−1)(x+5)−(4x−1)(2x+3)=0
6) (5x+2)(−2x+3)+4(−2x+3)−7x(−2x+3)=0

Correction Exercice 4

1) (7x−1)(−2x−5)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 7x−1=0 ou −2x−5=0
Soit 7x=1 ou −2x=5
D’où x=17 ou x=−52
Les solutions de cette équation sont 17 et −52.

2) (4x+3)(−5x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 4x+3=0 ou −5x+1=0
Soit 4x=−3 ou −5x=−1
D’où x=−34 ou x=15
Les solutions de cette équation sont −34 et 15.

3) (−5x+2)(3x−7)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc −5x+2=0 ou 3x−7=0
Soit −5x=−2 ou 3x=7
D’où x=25 ou x=73
Les solutions de cette équation sont 25 et 73.

4) (4x−1)(−7x+2)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 4x−1=0 ou −7x+2=0
Soit 4x=1 ou −7x=−2
D’où x=14 ou x=27
Les solutions de cette équation sont 14 et 27.

5) (4x−1)(x+5)−(4x−1)(2x+3)=0
⇔(4x−1)[(x+5)−(2x+3)]=0
⇔(4x−1)(x+5−2x−3)=0
⇔(4x−1)(−x+2)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 4x−1=0 ou −x+2=0
Soit 4x=1 ou −x=−2
D’où x=14 ou x=2
Les solutions de cette équation sont 14 et 2.

6) (5x+2)(−2x+3)+4(−2x+3)−7x(−2x+3)=0
⇔(−2x+3)[(5x+2)+4−7x]=0
⇔(−2x+3)(−2x+6)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc −2x+3=0 ou −2x+6=0
Soit −2x=−3 ou −2x=−6
D’où x=32 ou x=3
Les solutions de cette équation sont 32 et 3.
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes : 1) (2x−3)2−(4x+2)2=0
2) (5x+7)2−(−2x+5)2=0
3) (7x−5)2=(−2x+3)2
4) (−4x−3)2=(−5x+6)2

Correction Exercice 5

Dans cet exercice on utilise l’identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b) pour factoriser les expressions et obtenir ainsi une équation produit.
1) (2x−3)2−(4x+2)2=0
⇔[(2x−3)−(4x+2)][(2x−3)+(4x+2)]=0
⇔(2x−3−4x−2)(2x−3+4x+2)=0
⇔(−2x−5)(6x−1)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc −2x−5=0 ou 6x−1=0
Soit −2x=5 ou 6x=1
D’où x=−52 ou x=16
Les solutions de cette équation sont −52 et 16.

2) (5x+7)2−(−2x+5)2=0
⇔[(5x+7)−(2x+5)][(5x+7)+(−2x+5)]=0
⇔(5x+7+2x−5)(5x+7−2x+5)=0
⇔(7x+2)(3x+12)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 7x+2=0 ou 3x+12=0
Soit 7x=−2 ou 3x=−12
D’où x=−27 ou x=−4
Les solutions de cette équation sont −27 et −4.

3) (7x−5)2=(−2x+3)2
⇔(7x−5)2−(−2x+3)2=0
⇔[(7x−5)−(−2x+3)][(7x−5)+(−2x+3)]=0
⇔(7x−5+2x−3)(7x−5−2x+3)=0
⇔(9x−8)(5x−2)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc 9x−8=0 ou 5x−2=0
Soit 9x=8 ou 5x=2
D’où x=89 ou x=25
Les solutions de cette équation sont 89 et 25.

4) (−4x−3)2=(−5x+6)2
⇔(−4x−3)2−(−5x+6)2=0
⇔[(−4x−3)−(−5x+6)][(−4x−3)+(−5x+6)]=0
⇔(−4x−3+5x−6)(−4x−3−5x+6)=0
⇔(x−9)(−9x+3)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
Donc x−9=0 ou −9x+3=0
Soit x=9 ou −9x=−3
D’où x=9 ou x=13
Les solutions de cette équation sont 9 et 13.

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