29Exercices corrigés : calcul d'integrale

 

بسم الله الرحمن الرحيم 

I. Détermination de primitives

Exercice 1:

Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $I\!R$ avec

1. $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}}$; $F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$

2. $f(x)=\sqrt{e^{x}}$; $F(x)=2 \sqrt{e^{x}}$

Réponse : 

1. On dérive $F(x)=x-\ln \left(1+ e ^{x}\right)$

$\begin{aligned} F^{\prime}(x)&=1-\displaystyle\frac{ e ^{x}}{1+ e ^{x}}\\&=\displaystyle\frac{1+ e ^{x}- e ^{x}}{1+ e ^{x}}\\&=\displaystyle\frac{1}{1+ e ^{x}}\\&=f(x)   \end{aligned}$

$F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $I\!R$

2. On dérive $F(x)=2 \sqrt{ e ^{x}}$

$\begin{aligned}  F^{\prime}(x)&=2 \times \displaystyle\frac{e^{x}}{2 \sqrt{ e ^{x}}}\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{ e ^{x}}^{2}}{\sqrt{ e ^{x}}}\\&=\sqrt{ e ^{x}}\\&=f(x)\end{aligned}$

$F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $I\!R$

Exercice 2: Primitives de sommes de fonctions usuelles

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:

$f_{1}(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1$ sur $I= I\!R$

$f_{2}(x)=6 x^{5}+4 x^{3}-1$ sur $I= I\!R$

$f_{3}(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ sur $I= I\!R$

$f_{4}(x)=4 x^{7}-x^{6}-\displaystyle\frac{2}{3} x-5$ sur $I= I\!R$

$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}+9$ sur $I=] 0 ;+\infty[$

$f_{6}(x)=\sin x-3 \cos x$ sur $I= I\!R$

$f_{7}(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$ sur $I= I\!R ^{*}$

$f_{8}(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}- e ^{x}$ sur $I= I\!R ^{*}$

Réponse : 

$\bullet \ f_{1}(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1$ sur $I= I\!R$

$\begin{aligned}F_{1}(x)&=4 \times \displaystyle\frac{x^{4}}{4}+3 \times \displaystyle\frac{x^{3}}{3}+2 \times \displaystyle\frac{x^{2}}{2}+x\\&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \end{aligned}$

car $F_{1}^{\prime}=f_{1}$

$\bullet \  f_{2}(x)=6 x^{5}+4 x^{3}-1$ sur $I= I\!R$

$\begin{aligned} F_{2}(x)&=6 \times \displaystyle\frac{x^{6}}{6}+4 \times \displaystyle\frac{x^{4}}{4}-x\\&=x^{6}+x^{4}-x   \end{aligned}$ 

car $F_{2}^{\prime}=f_{2}$

$\bullet \  f_{3}(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ sur $I= I\!R$

$F_{3}(x)=\displaystyle\frac{x^{4}}{4}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+x$ 

car $F_{3}^{\prime}=f_{3}$

$\bullet \ f_{4}(x)=4 x^{7}-x^{6}-\displaystyle\frac{2}{3} x-5$ sur $I= I\!R$

$\begin{aligned} F_{4}(x)&=4 \times \displaystyle\frac{x^{8}}{8}-\displaystyle\frac{x^{7}}{7}-\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{x^{2}}{2}-5 x\\&=\displaystyle\frac{x^{8}}{2}-\displaystyle\frac{x^{7}}{7}-\displaystyle\frac{x^{2}}{3}-5 x \end{aligned}$ 

car $F_{4}^{\prime}=f_{4}$

$\bullet \  f_{5}(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}+9$ sur $I=] 0 ;+\infty[$

$F_{5}(x)=\sqrt{x}+9 x$ car $F_{5}^{\prime}=f_{5}$

$\bullet \  f_{6}(x)=\sin x-3 \cos x$ sur $I= I\!R$

$F_{6}(x)=-\cos x-3 \sin x$ car $F_{6}^{\prime}=f_{6}$

$\bullet \  f_{7}(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$ sur $I=I\!R ^{*}$

$F_{7}(x)=2 \times \ln |x|$ car $F_{7}^{\prime}=f_{7}$

$\bullet \  f_{8}(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}- e ^{x}$ sur $I=I\!R ^{*}$

$F_{8}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln |x|- e ^{x}$ car $F_{8}^{\prime}=f_{8}$

Exercice3:

Primitives de $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}, \displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ et $u^{\prime} e ^{u}$

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:

$f_{1}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$ sur $I= I\!R$

$f_{2}(x)=\displaystyle\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}$ sur $I= I\!R$

$f_{3}(x)=3 x e ^{3 x^{2}+1}$ sur $I= I\!R$

$f_{4}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{\left( e ^{x}+1\right)^{2}}$ sur $I= I\!R$

$f_{5}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{ e ^{x}+3}$ sur $I= I\!R$

$f_{6}(x)=\cos x e ^{\sin x}$ sur $I= I\!R$

Réponse : 

Primitives de $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$, $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ et $u^{\prime} e ^{u}$

$\bullet \  f_{1}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{1}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1>0$

Une primitive de $f_{1}$ est donc $F_{1}(x)=\ln u(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $I\!R$

$\bullet \  f_{2}(x)=\displaystyle\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{2}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ avec $u(x)=x^{4}+1>0$

Une primitive de $f_{2}$ est donc $F_{2}(x)=-\displaystyle\frac{1}{u(x)}=-\displaystyle\frac{1}{x^{4}+1}$ sur $I\!R$

$\bullet \  f_{3}(x)=3 x e ^{3 x^{2}+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \times 6 x e ^{3 x^{2}+1}$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{3}$ est de la forme $\displaystyle\frac{1}{2} u^{\prime} e ^{u}$ avec $u(x)=3 x^{2}+1$

Une primitive de $f_{3}$ est donc $F_{3}(x)=\displaystyle\frac{1}{2} e ^{u(x)}=\displaystyle\frac{ e ^{3 x^{2}-1}}{2}$ sur $I\!R$

$\bullet \  f_{4}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{\left( e ^{x}+1\right)^{2}}$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{4}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ avec $u(x)= e ^{x}+1$

Une primitive de $f_{4}$ est donc $F_{4}(x)=-\displaystyle\frac{1}{u(x)}=-\displaystyle\frac{1}{ e ^{x}+1}$ sur $I\!R$

$\bullet \  f_{5}(x)=\displaystyle\frac{ e ^{x}}{ e ^{x}+3} \quad$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{5}$ est de la forme $\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)= e ^{x}+3$

Une primitive de $f_{5}$ est donc $F_{5}(x)=\ln |u(x)|=\ln \left( e ^{x}+3\right)$ car $e ^{x}+3>0$ sur $I\!R$

$\bullet\  f_{6}(x)=\cos x e ^{\sin x}$ sur $I=I\!R$ : 

$f_{6}$ est de la forme $u$ 'e $^{u}$ avec $u(x)=\sin x$

Une primitive de $f_{6}$ est donc $F_{6}(x)= e ^{u(x)}= e ^{\sin x}$ sur $I\!R$

Exercice4:

Déterminer toutes les primitives sur $I\!R$ de la fonction $f$ , définie sur $I\!R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^{2}+4}$

Réponse : 

On a $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^{2}+4}=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+4}$ .

La fonction est de la forme $\displaystyle\frac{1}{2} \times\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+4$

Les primitives de $f$ sur $I\!R$, sont donc de la forme $F(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)+C$, $C \in I\!R$

Exercice 5 : 

Déterminez une primitive de la fonction $f$ proposée sur l'intervalle $I$ donné :

1) $f(x)=\frac{1}{4} e^{x}$ sur $I\!R$

2) $f(x)=e^{-x}$ sur $I\!R$

3) $f(x)=e^{2 x+3}$ sur $I\!R$

4) $f(x)=x e^{x^{2}}$ sur $I\!R$

5) $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ sur $I\!R$

Réponse :

1) $f(x)=\frac{1}{4} e^{x}$ 

$f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur $I\!R$, et pour tout $F(x)=\frac{1}{4} e^{x}$.

2) $f(x)=e^{-x}$ 

$f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que composée de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur $I\!R$, et puisque pour tout $x \in I\!R$, 

$f(x)=-\left(-e^{-x}\right)=-u^{\prime}(x) e^{u(x)}$ ou $u(x)=-x \Rightarrow u^{\prime}(x)=-1$, 

$F(x)=e^{u(x)}=e^{-x}$

3) $f(x)=e^{2 x+3}$ 

$f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que composée de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur $I\!R$, et puisque pour tout $x \in I\!R$, $f(x)=\frac{1}{2} \times 2 e^{2 x+3}=\frac{1}{2} u^{\prime}(x) e^{u(x)}$ ou $u(x)=2 x+3 \Rightarrow u^{\prime}(x)=2$,

$F(x)=\frac{1}{2} e^{u(x)}=\frac{1}{2} e^{2 x+3}$

4) $f(x)=x e^{x^{2}}$

$f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur $I\!R$, et puisque pour tout $x \in I\!R$, $f(x)=\frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2}}=\frac{1}{2} u^{\prime}(x) e^{u(x)}$ ou $u(x)=x^{2} \Rightarrow u^{\prime}(x)=2 x$,

$F(x)=\frac{1}{2} e^{u(x)}=e^{x^{2}}$

5) $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$

$f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s'annulant pas (car $x \in I\!R \Rightarrow e^{x}+1>0$ donc $\neq 0$ ) donc admet des primitives sur $I\!R$, et puisque pour tout $x \in I\!R$ $f(x)=\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ ou $u(x)=e^{x} \Rightarrow u^{\prime}(x)=e^{x}$, 

$\begin{aligned}F(x)&=\ln (|u(x)|)\\&=\ln \left(\left|e^{x}+1\right|\right)\\&=\ln \left(e^{x}+1\right)\end{aligned}$ 

car $x \in I\!R \Rightarrow e^{x}+1>0$

Exercice 6 :

Soit $f$ la fonction définie sur IR par $f(x)=(x+2) e^{x}$ 

Déterminez les nombres $a$ et $b$ tels que la fonction $F$, définie sur IR, par $F(x)=(a x+b) e^{x}$ soit une primitive de $f$.

RÉPONSE :

La fonction $F$, définie sur $I\!R$, par $F(x)=(a x+b) e^{x}$ est dérivable sur $I\!R$ en tant que produit de fonction qui le sont, et pour tout $x \in I\!R$, $F^{\prime}(x)=a e^{x}+(a x+b) e^{x}=(a x+a+b) e^{x}$

$F$ sera une primitive de $f$ si et seulement si pour tout $x \in I\!R$,

$F^{\prime}(x)=f(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ a+b=2\end{array}\right.$

Une primitive de $f$ sur $I\!R$ est donc $F(x)=(x+1) e^{x}$

Exercice 7 :

1) Déterminer la primitive sur $I\!R$ de la fonction cosinus qui s'annule en $\displaystyle\frac{\pi}{2}$

2) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $I\!R$ par $f(x)= e ^{3 x+1}$, qui s'annule en $x=-1$

3) Déterminer la primitive de la fonction $f$, définie sur $I\!R$ par $f(x)=x e ^{-x^{2}},$ dont la courbe représentative passe par le point $A(\sqrt{\ln 2}, 1)$

Réponse : 

1) Les primitives de la fonction cosinus sont de la forme $F(x)=\sin x+C$, $C \in I\!R .$

On cherche alors $C$ tel que $F(\displaystyle\frac{\pi}{2})=0 .$

On a $F(\displaystyle\frac{\pi}{2})=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+C=1+C$

Il faut donc que $C=-1$ et la primitive cherchée est $F(x)=\sin x-1$

2) On a $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3} \times 3 e ^{3 x+1}$ .

La fonction est de la forme $\displaystyle\frac{1}{3} \times u'e^{u}$ avec $u(x)=3 x+1$

Les primitives de la fonction $f$ sont donc de la forme $F(x)= e ^{3 x+1}+C$,  $C \in I\!R$

On cherche alors $C$ tel que $F(-1)=0$ . 

On a 

$\begin{aligned}F(-1)&= e ^{3 \times(-1)+1}+C\\&= e ^{-2}+C\\&=\displaystyle\frac{1}{ e ^{2}}+C\end{aligned}$

Il faut donc que $C=-\displaystyle\frac{1}{ e ^{2}}$ et la primitive cherchée est $F(x)= e ^{3 x+1}-\displaystyle\frac{1}{ e^{2}}$

3) On a $f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(-2 x) e ^{-x^{2}}$ .

La fonction est de la forme $-\displaystyle\frac{1}{2} \times u^{\prime} e ^{u}$ avec $u(x)=-x^{2}$

Les primitives de la fonction $f$ sont donc de la forme $F(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-x^{2}}+C$, $C \in I\!R$

On cherche alors $C$ tel que $F(\sqrt{\ln 2})=1$

On a

$\begin{array}{ll}F(\sqrt{\ln 2})&=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-\sqrt{\ln 2}^{2}}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-\ln 2}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{2 e ^{\ln 2}}+C\\&=-\displaystyle\frac{1}{4}+C=1\end{array}$

Il faut donc que $C=\displaystyle\frac{5}{4}$ et la primitive cherchée est $F(x)=-\displaystyle\frac{1}{2} e ^{-x^{2}}+\displaystyle\frac{5}{4}$

Exercice 8 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\frac{3}{e^{-x}+1}$

1) Vérifiez que pour tout $x$ de $I\!R$, on a $f(x)=\frac{3 e^{x}}{e^{x}+1}$

2) Déduisez en la primitive $F$ de $f$ qui s'annule pour $x=0$

Réponse : 

1) Pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}f(x)&=\frac{3}{e^{-x}+1}\\&=\frac{3 \times e^{x}}{\left(e^{-x}+1\right) \times e^{x}}\\&=\frac{3 e^{x}}{e^{-x} \times e^{x}+1 \times e^{x}}\\&=\frac{3 e^{x}}{1+e^{x}}\end{aligned}$

2) . $f$ est définie et continue sur $I\!R$ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s'annulant pas (car $x \in I\!R \Rightarrow 1+e^{x}>0$ donc $\neq 0$ ) donc admet des primitives sur $I\!R$, et en utilisant l'écriture $f(x)=\frac{3 e^{x}}{e^{x}+1}=3 \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ ou $u(x)=e^{x}+1$, 

on obtient 

$\begin{aligned}F(x)&=3 \ln (|u(x)|)+k\\&=3 \ln \left(\left|e^{x}+1\right|\right)+k\\&=3 \ln \left(e^{x}+1\right)+k\end{aligned}$ 

car $e^{x}+1>0$ sur $I\!R$

Exercice 9 :

On considère la fonction $f$ définie sur $] 2 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{2 x^{2}-3 x-4}{x-2}$.

a) Écrire $f$ sous la forme $f(x)=a x+b+\displaystyle\frac{c}{x-2}$

b) Déterminer alors une primitive de $f$

Réponse : 

$f$ est la fonction définie sur $] 2 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{2 x^{2}-3 x-4}{x-2}$.

a)

$\begin{array}{ll} a x+b+\displaystyle\frac{c}{x-2}&=\displaystyle\frac{(a x+b)(x-2)+c}{x-2}\\&=\displaystyle\frac{a x^{2}-2 a x+b x-2 b+c}{x-2}\\&=\displaystyle\frac{a x^{2}+(b-2 a) x+c-2 b}{x-2} \end{array}$

Pour que ce quotient soit égal à $f(x)$, il suffit que :

$\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b-2 a=-3 \\ c-2 b=-4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-3+2 \times 2=1 \\ c=-4+2 \times 1=-2\end{array}\right.\right.$

On en déduit que $f(x)=2 x+1-\displaystyle\frac{2}{x-2}$

b) Comme 

$\begin{aligned}f(x)&=2 x+1-\displaystyle\frac{2}{x-2}\\&=2 x+1-2 \times \displaystyle\frac{1}{x-2}\end{aligned}$,

une primitive de $f$ sur $] 2 ;+\infty[$ est $F(x)=x^{2}+x-2 \ln (x-2)$ 

II. Calcul d’intégrales à l’aide des primitives :

Exercice 10 :

Calculer les intégrales suivantes:

a) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(t^{2}+4 t+3\right) dt$

b) $\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2 t}-\displaystyle\frac{3}{t^{2}}\right) dt$

c) $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} e ^{x} dx$

d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{t} dt$

e) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin x) dx$

f) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{ dx}{\cos ^{2} x}$

Réponse : 

$\begin{array}{ll} a)\ \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(t^{2}+4 t+3\right) dt&=\left[\displaystyle\frac{t^{3}}{3}+4 \times \displaystyle\frac{t^{2}}{2}+3 t\right]_{-1}^{1}\\&=\left[\displaystyle\frac{t^{3}}{3}+2 t^{2}+3 t\right]_{-1}^{1}\\&=\left(\displaystyle\frac{1}{3}+2+3\right)-\left(\displaystyle\frac{-1}{3}+2-3\right)\\&=\displaystyle\frac{20}{3} \end{array}$

$\begin{array}{ll}b)\ \displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2 t}-\displaystyle\frac{3}{t^{2}}\right) dt&=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{t}+3 \times\left(-\displaystyle\frac{1}{t^{2}}\right)\right) dt\\&=\left[\displaystyle\frac{1}{2} \ln t+3 \times \displaystyle\frac{1}{t}\right]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \ln 2+\displaystyle\frac{3}{2}-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1+3\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \ln 2-\displaystyle\frac{3}{2}\end{array}$

$c)\ \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} e ^{x} dx=\left[ e ^{x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3}= e ^{\ln 3}- e ^{\ln 2}=1$

$\begin{array}{ll}d)\ \displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{t} dt&=\displaystyle\int_{1}^{2} t^{\frac{1}{2}} dt\\&=\left[\displaystyle\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}\\&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{2}{3}\left(2^{\frac{3}{2}}-1\right)\\&=\displaystyle\frac{2}{3}(2 \sqrt{2}-1) \end{array}$

$\begin{array}{ll}e)\ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin x) dx&=[\sin x+\cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\&=1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$f)\ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{ dx}{\cos ^{2} x}=[\tan x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-1$

Exercice 11 :

Calculer les intégrales suivantes:

a) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e ^{-t} dt$

b) $\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} dx$

c) $\displaystyle\int_{0}^{-1} \displaystyle\frac{ dt}{\sqrt{1-2 t}}$

d) $\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{3 x+2}$

e) $\displaystyle\int_{\frac{1}{ e }}^{ e } \displaystyle\frac{\ln t}{t} dt$

f) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{2-t} dt$

g) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+1} dt$

h) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 t) dt$

i) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \cos (3 x) dx$

Réponse : 

$\begin{array}{ll} a)\ \displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e ^{-t} dt&=\left[- e ^{-t}\right]_{0}^{\ln 3}\\&=- e ^{-\ln 3}-\left(- e ^{0}\right)\\&=-\displaystyle\frac{1}{3}+1\\&=\displaystyle\frac{2}{3}\end{array}$

Pour toute la suite, on note $f$ la fonction à intégrer, $F$ une primitive de $f$ et $I$ l'intégrale à calculer.

$b)\ \displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} dx:$ 

soit $u(x)=x^{2}+1 ;$ alors $u^{\prime}(x)=2 x$

$\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{(u(x))^{2}}\end{aligned}$ 

donc

$\begin{aligned}F(x)&=\displaystyle\frac{1}{2} \times\left(-\displaystyle\frac{1}{u(x)}\right)\\&=-\displaystyle\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}I&=\left[-\displaystyle\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}\right]_{0}^{2}\\&=-\displaystyle\frac{1}{10}-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\&=\displaystyle\frac{2}{5}\end{aligned}$

$c)\ \displaystyle\int_{0}^{-1} \displaystyle\frac{ dt}{\sqrt{1-2 t}}$: 

soit $u(t)=1-2 t$ ; alors $u^{\prime}(t)=-2$

$\begin{aligned}f(t)&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-2 t}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{-2}{\sqrt{1-2 t}}\\&=-\displaystyle\frac{u^{\prime}(t)}{2 \sqrt{u(t)}}\end{aligned}$ 

donc

$F(t)=-\sqrt{u(t)}=-\sqrt{1-2 t}$

$\begin{aligned}I&=[-\sqrt{1-2 t}]_{0}^{-1}\\&=-\sqrt{3}-(-1)\\&=1-\sqrt{3}\end{aligned}$

$d)\ \displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{3 x+2}:$ 

soit $u(x)=3 x+2 ;$ alors $u^{\prime}(x)=3$

$\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle\frac{1}{3 x+2}\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{3}{3 x+2}\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\end{aligned}$ 

donc

$\begin{aligned}F(x)&=\displaystyle\frac{1}{3} \ln (u(x))\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \ln (3 x+2)\end{aligned}$

$\begin{aligned}I&=\left[\displaystyle\frac{1}{3} \ln (3 x+2)\right]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{1}{3}(\ln 8-\ln 5)\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \ln \displaystyle\frac{8}{5}\end{aligned}$

$e)\ \displaystyle\int_{\frac{1}{ e }}^{ e } \displaystyle\frac{\ln t}{t} dt:$ 

soit $u(t)=\ln t ;$ alors $u^{\prime}(t)=\displaystyle\frac{1}{t}$

$\begin{aligned}f(t)=\displaystyle\frac{\ln t}{t}&=\ln t \times \displaystyle\frac{1}{t}\\&=u(t) \times u^{\prime}(t)\end{aligned}$ 

donc

$\begin{aligned}F(t)&=\displaystyle\frac{(u(t))^{2}}{2}\\&=\displaystyle\frac{(\ln t)^{2}}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}I&=\left[\displaystyle\frac{(\ln t)^{2}}{2}\right]_{\frac{1}{ e }}^{ e }\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left((\ln e )^{2}-\left(\ln \displaystyle\frac{1}{ e }\right)^{2}\right)\\&=0\end{aligned}$

$f)\ \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{2-t} dt:$ 

soit $u(t)=2-t ;$ alors $u^{\prime}(t)=-1$

$f(t)=\sqrt{2-t}=(2-t)^{\frac{1}{2}}=-(u(t))^{\frac{1}{2}} \times u^{\prime}(t)$ 

donc

$\begin{aligned}F(t)&=-\displaystyle\frac{2}{3}(u(t))^{\frac{3}{2}}\\&=-\displaystyle\frac{2}{3}(2-t)^{\frac{3}{2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}I&=\left[-\displaystyle\frac{2}{3}(2-t)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\\&=-\displaystyle\frac{2}{3}-\left(-\displaystyle\frac{2}{3} \times 2^{\frac{3}{2}}\right)\\&=\displaystyle\frac{2}{3}(2 \sqrt{2}-1) \end{aligned}$

$g)\ \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+1} dt:$ 

soit $u(t)=e^{2 t}+1 ;$ alors $u^{\prime}(t)=2 e^{2 t}$

$\begin{aligned}f(t)&=\displaystyle\frac{ e ^{2 t}}{ e ^{2 t}+1}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2 e ^{2 t}}{ e ^{2 t}+1}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{u^{\prime}(t)}{u(t)} \end{aligned}$ 

donc

$F(t)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln (u(t))=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left(e^{2 t}+1\right)$

$\begin{aligned}I&=\left[\displaystyle\frac{1}{2} \ln \left( e ^{2 t}+1\right)\right]_{0}^{\ln 2}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\ln \left( e ^{2 \ln 2}+1\right)-\ln \left( e ^{0}+1\right)\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{5}{2}\end{aligned}$

$h)\ \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 t) dt:$ 

soit $u(t)=2 t ;$ alors $u^{\prime}(t)=2$

$\begin{aligned}f(t)&=\sin (2 t)\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(-\sin (2 t)) \times 2\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \times(\cos )^{\prime}(u(t)) \times u^{\prime}(t) \end{aligned}$ 

donc

$\begin{aligned}F(t)&=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (u(t))\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (2 t) \end{aligned}$

$\begin{aligned}I&=\left[-\displaystyle\frac{1}{2} \cos (2 t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \cos \pi-\left(-\displaystyle\frac{1}{2} \cos 0\right)\\&=1\end{aligned}$

$i)\ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \cos (3 x) dx:$ 

soit $u(x)=3 x$ ; alors $u^{\prime}(x)=3$

$\begin{aligned}f(x)&=\cos (3 x)\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \cos (3 x) \times 3\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times(\sin )^{\prime}(u(x)) \times u^{\prime}(x)\end{aligned}$ 

donc

$F(x)=\displaystyle\frac{1}{3} \sin (u(x))=\displaystyle\frac{1}{3} \sin (3 x)$

$\begin{array}{ll} I&=\left[\displaystyle\frac{1}{3} \sin (3x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}}\\&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\sin \displaystyle\frac{9 \pi}{4}-\sin \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)\right)\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+2}{6} \end{array}$

Exercice 12 :

Calculez les intégrales suivantes:

1) $\int_{2}^{5} e^{x} d x$

2) $\int_{2}^{5}-e^{-x} d x$

3) $\int_{0}^{2} 2 e^{2 x-1} d x$

4) $\int_{2}^{1}\left(e^{2 t}+2 e^{t}-3\right) d t$

5) $\int_{-1}^{1} e^{3 x+1} d x$

6) $\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x$

7) $\int_{\ln 3}^{\ln 10} e^{x}\left(e^{x}-3\right) d x$

8) $\int_{0}^{1} \frac{e^{-x}-2}{e^{x}} d x$

Réponse : 

$\begin{aligned}1)\ \int_{0}^{5} e^{x} d x&=\left[e^{x}\right]_{2}^{5}\\&=e^{5}-e^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}2)\ \int_{2}^{5}-e^{-x} d x&=\int_{2}^{5} u^{\prime}(x) e^{u(x)} d x\\&=\left[e^{u(x)}\right]_{2}^{5}\\&=\left[e^{-x}\right]_{2}^{5}\\&=e^{-5}-e^{-2}\\&=\frac{1}{e^{5}}-\frac{1}{e^{2}}\\&=\frac{e^{2}-e^{5}}{e^{7}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}3)\ \int_{0}^{2} 2 e^{2 x-1} d x&=\int_{0}^{2} u^{\prime}(x) e^{u(x)} d x\\&=\left[e^{u(x)}\right]_{0}^{2}\\&=\left[e^{2 x-1}\right]_{0}^{2}\\&=e^{3}-e^{-1}\\&=e^{3}-\frac{1}{e}\\&=\frac{e^{4}-1}{e} \end{aligned}$

$\begin{aligned}4)\ \int_{2}^{1}\left(e^{2 t}+2 e^{t}-3\right) d t&=\left[\frac{1}{2} e^{2 t}+2 e^{t}-3 t\right]_{2}^{1}\\&=\left(\frac{1}{2} e^{2}+2 e^{1}-3\right)-\left(\frac{1}{2} e^{4}+2 e^{2}-6\right)\\&=-\frac{1}{2} e^{4}+\frac{5}{2} e^{2}+2 e+3 \end{aligned}$

5) $\int_{1}^{1} e^{3 x+1} d x=F(1)-F(-1)$ où $F$ est une primitive de $f(x)=e^{3 x+1}=\frac{1}{3} u^{\prime}(x) e^{u(x)}$, donc $F(x)=\frac{1}{3} e^{u(x)}=\frac{1}{3} e^{3 x+1}$. 

Ainsi

$\begin{aligned}\int_{-1}^{1} e^{3 x+1} d x&=\frac{1}{3} e^{3 x \mid+1}-\frac{1}{3} e^{3 \times(-1)+1}\\&=\frac{1}{3}\left(e^{4}-e^{-2}\right)\\&=\frac{1}{3}\left(e^{4}-\frac{1}{e^{2}}\right)\\&=\frac{e^{6}-1}{3 e^{2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}6)\ \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x&=\int_{0}^{1} \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} d x\\&=[\ln (|u(x)|)]_{0}^{1}\\&=\left[\ln \left(\left|e^{x}+1\right|\right)\right]_{0}^{1}\\&=\left[\ln \left(e^{x}+1\right)\right]_{0}^{1}\\&=\ln (e+1)-\ln (2)\\&=\ln \left(\frac{e+1}{2}\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned}7)\ \int_{\ln 3}^{\ln 10} e^{x}\left(e^{x}-3\right) d x&=\int_{1}^{e} u^{\prime}(x) u(x) d x\\&=\left[\frac{u^{2}(x)}{2}\right]_{\ln 3}^{\ln 10}\\&=\left[\frac{\left(e^{x}-3\right)^{2}}{2}\right]_{\ln 3}^{\ln 10}\\&=\frac{\left(e^{\ln 10}-3\right)^{2}}{2}-\frac{\left(e^{\ln 3}-3\right)^{2}}{2}\\&=\frac{(10-3)^{2}}{2}=\frac{49}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}8)\ \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}-2}{e^{x}} d x&=\int_{0}^{1} e^{-x}\left(e^{-x}-2\right) d x\\&=\int_{0}^{1}-u^{\prime}(x) u(x) d x\\&=-\left[\frac{u(x)^{2}}{2}\right]_{0}^{1}\\&=-\left[\frac{\left(e^{-x}-2\right)^{2}}{2}\right]_{0}^{1}\\&-\frac{\left(e^{-1}-2\right)^{2}}{2}+\frac{\left(e^{0}-2\right)^{2}}{2}\\&=-\frac{\left(e^{-1}-2\right)^{2}}{2}+\frac{1}{2} \end{aligned}$

Exercice 13 :

Calculez l'intégrale $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}+1} d x$ (indication : $\frac{1}{e^{x}+1}=1-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ )

Réponse :

Puisque pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}1-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}&=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\\&=\frac{e^{x}+1-e^{x}}{e^{x}+1}\\&=\frac{1}{e^{x}+1}\end{aligned}$, 

on utilise cette dernière écriture pour calculer l'intégrale $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}+1} d x$

En effet 

$\begin{aligned}I&=\int_{0}^{1} 1-\frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x\\&=\int_{0}^{1} 1-\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} d x\\&=[x-\ln (|u(x)|)]_{0}^{1}\\&=\left[x-\ln \left(\left|e^{x}+1\right|\right)\right]_{0}^{1}\\&=\left[x-\ln \left(e^{x}+1\right)\right]_{0}^{1}\end{aligned}$ 

car pour tout$x \in[0,1]$, $e^{x}+1>0 .$ 

On conclut donc que 

$\begin{aligned}I&=1-\ln \left(e^{1}+1\right)-\left(1-\ln \left(e^{0}+1\right)\right)\\&=-\ln (e+1)+\ln 2\\&=\ln \left(\frac{2}{e+1}\right)\end{aligned}$

Exercice 14 :

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$ par: $f(x)=\displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}.$

1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : 

pour tout $x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$, $f(x)=a+\displaystyle\frac{b}{2 x+1}+\displaystyle\frac{c}{2 x-1}.$

2) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(x) dx$

Réponse : 

$f$ est la fonction définie sur $]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$ par : $f(x)=\displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}.$

1) $\forall  x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[$, $f(x)=a+\displaystyle\frac{b}{2 x+1}+\displaystyle\frac{c}{2 x-1}$

$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, f(x)=\displaystyle\frac{a\left(4 x^{2}-1\right)+b(2 x-1)+c(2 x+1)}{(2 x+1)(2 x-1)}$

$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, \displaystyle\frac{8 x^{2}-4}{4 x^{2}-1}=\displaystyle\frac{4 a x^{2}+(2 b+2 c) x-a-b+c}{(2 x+1)(2 x-1)}$

$\Leftrightarrow \forall x \in]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}[, 8 x^{2}-4=4 a x^{2}+(2 b+2 c) x-a-b+c$

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

L'égalité précédente équivaut à :

$\left\{\begin{array}{l}4 a=8 \\ 2 b+2 c=0 \\ -a-b+c=-4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ c=-b \\ -2-2 b=-4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ c=-1\end{array}\right.$

D'où :pour tout  $x \in\left]-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{1}{2}\right[$, $f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{2 x+1}-\displaystyle\frac{1}{2 x-1}$

2) $f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2}{2 x+1} \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{2}{2 x-1}$ 

donc

$F(x)=2 x+\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x+1|-\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x-1|$

$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(x) dx&=\left[2 x+\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x+1|-\displaystyle\frac{1}{2} \ln |2 x-1|\right]_{0}^{\frac{1}{4}}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{1}{2}-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1-\displaystyle\frac{1}{2} \ln 1\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2} \ln 3 \end{array}$

Exercice 15 :

Soient $a$ et $b$ deux réels.

On considère les fonctions $f$ et $F$ définies sur $I\!R$ par $f(x)=(x-1) e ^{-x}$ et $F(x)=(a x+b) e ^{-x}$

1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $F$ soit une primitive de $f$

2) En déduire $\displaystyle\int_{0}^{\ln (3)}(x-1) e^{-x} dx$

Réponse : 

$F(x)=(a x+b) e^{-x}$

$\begin{array}{ll} F^{\prime}(x)&=a \times e ^{-x}+(a x+b) \times\left(- e ^{-x}\right)\\&=(a-a x-b) e ^{-x}\\&=(a-b-a x) e ^{-x} \end{array}$

On identifie avec l'expression de $f(x)=(x-1) e ^{-x}$:

$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1 \\ -a=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=0\end{array}\right.\right.$

Donc $F(x)=-x e ^{-x}$ et

$\begin{array}{ll} \displaystyle\int_{0}^{\ln 3} f(x) dx&=F(\ln 3)-F(0)\\&=-\ln 3 e ^{-\ln 3}\\&=-\ln 3 e ^{\ln \displaystyle\frac{1}{3}}\\&=-\displaystyle\frac{\ln 3}{3}\end{array}$

III. Intégration par parties:

Théorème :

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I,$ dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$

Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, $\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) dx=[u(x) v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx$

Preuve :

$\bullet$ $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ donc $u v$ est dérivable sur $I$, et $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime},$ donc

$u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v$

$\bullet$ $u, v, u$ ' et $v$ ' sont continues sur $I$, donc $u v^{\prime}, u$ 'v et $(u v)$ ' le sont aussi alors

$\begin{array}{ll} \int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) dx &=\int_{a}^{b}[(u v)^{\prime}(x)-u^{\prime}(x) v(x)] dx \\ &=\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) dx-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx \\ &=[u v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) dx \end{array}$

Exemples:

Calculer $J=\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$

Soit $x$ un réel strictement positif. Calculer $\int_{1}^{x} \ln t dt$

Calculer $J=\int_{0}^{\pi} x e^{x} dx$

On note $I=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \sin x dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \cos x dx$

a. Démontrer que $I=-J$ et que $I=J+1+ e ^{\pi}$

b. En déduire les valeurs exactes de $I$ et de $J$

Exercice 16 :

À l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:

a) $\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$

b) $\int_{0}^{2}(2-x) e ^{x} dx$

c) $\int_{1}^{ e } \ln (x) dx$

Réponse : 

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$

Posons: $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=\sin x$

 On a : $u^{\prime}(x)=1$ et $v(x)=-\cos x$

Les fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}]$

Appliquons la formule d'intégration par parties :

$\begin{array}{ll} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx &=[-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) dx \\ &=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-(-0 \cos 0)+[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}-\sin 0=1 \end{array}$

b) $\int_{0}^{2}(2-x) e^{x} dx$

Posons : $u(x)=2-x$ et $v^{\prime}(x)=e^{x}$

 On a : $u^{\prime}(x)=-1$ et $v(x)=e^{x}$

Les fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[0 ; 2]$

Appliquons la formule d'intégration par parties :

$\begin{array}{ll} \int_{0}^{2}(2-x) e^{x} dx&=[(2-x) e^{x}]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\left(-e^{x}\right) dx\\&=-2 e^{0}+[e^{x}]_{0}^{2}\\&=-2+e^{2}-e^{0}\\&=e^{2}-3\end{array}$

c) $\int_{1}^{e} \ln (x) dx$

Posons : $u(x) =\ln x$ et $v^{\prime}(x)=1$ 

On a : $u^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$

Les  fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $[1 ; e]$

Appliquons la formule d'intégration par parties :

$\begin{array}{ll}\int_{1}^{e} \ln (x) dx &=[x \ln (x)]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \displaystyle\frac{1}{x} x dx\\&= e \ln (e)-1 \ln (1)-\int_{1}^{e} 1 dx\\&=e-[x]_{1}^{e}=e-(e-1)=1\end{array}$

Exercice 17 :

À l'aide d'une intégration par parties, donner une primitive sur $] 0 ;+\infty[$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ;+\infty[$ par $f(x)=x^{2} \ln (x)$

Réponse : 

$f(x)=x^{2} \ln (x)$ pour $x \in] 0 ;+\infty[$

Posons : $u(x)=\ln x$ et $v^{\prime}(x)=x^{2}$

on a : $u^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ et $v(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{3}$

les fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur $] 0 ;+\infty[$

Appliquons la formule d'intégration par parties :

$\begin{array}{ll}\int x^{2} \ln (x) dx &=[\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x)]-\int \frac{x^{2}}{3} dx \\&=\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x)-[\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{x^{3}}{3}] \end{array}$

Une primitive sur $] 0 ;+\infty[$ de $f$ est la fonction $F$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $F(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{3} \ln (x) \displaystyle\frac{x^{3}}{3}$

Exercice  18 :

Calculez l'intégrale $I$ en utilisant la formule d'intégration par parties:

1) $I=\int_{-1}^{0} x e^{x} d x$

2) $I=\int_{-1}^{0}(x+2) e^{x} d x$

3) $I=\int_{-1}^{0}(x+2) e^{x+1} d x$

Réponse : 

$\begin{aligned}1)\ I&=\int_{-1}^{0} x e^{x} d x\\&=\int_{-1}^{0} u(x) v^{\prime}(x) d x\end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=e^{x}$

on a : $u^{\prime}(x)=1$ et $v(x)=e^{x}$

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues 

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}I&=[u(x) v(x)]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[x e^{x}\right]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} 1 \times e^{x} d x\\&=0-(-1) e^{-1}-\left[e^{x}\right]_{-1}^{0}\\&=\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{e}\right)\\&=\frac{2}{e}-1\end{aligned}$

$\begin{aligned}2)\ I&=\int_{-1}^{0}(x+2) e^{x} d x\\&=\int_{-1}^{0} u(x) v^{\prime}(x) d x\end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=x+2$ et $v^{\prime}(x)=e^{x}$

on a : $u^{\prime}(x)=1$ et $v(x)=e^{x}$

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues  

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}I&=[u(x) v(x)]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[(x+2) e^{x}\right]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} 1 \times e^{x} d x\\&=2-(1) e^{-1}-\left[e^{x}\right]_{-1}^{0}\\&=2-\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{e}\right)\\&=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}3)\ I&=\int_{-1}^{0}(x+2) e^{x+1} d x\\&=\int_{-1}^{0} u(x) v^{\prime}(x) d x \end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=x+2$ et $v^{\prime}(x)=e^{x+1}$

on a : $u^{\prime}(x)=1$ et $v(x)=e^{x+1}$

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues 

D'après la formule d'intégration par parties,

$\begin{aligned}I&=[u(x) v(x)]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[(x+2) e^{x+1}\right]_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0} 1 \times e^{x+1} d x\\&=2 e-(1) e^{1}-\left[e^{x+1}\right]_{-1}^{0}\\&=e-(e-1)=1\end{aligned}$

Exercice 19 :

Calculez l'intégrale $I$ en utilisant deux fois le théorème de l'intégration par parties:

1) $I=\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x$

2) $I=\int_{0}^{\pi} e^{2 x} \cos x d x$

Réponse :

$\begin{aligned}1)\ I&=\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x\\&=\int_{0}^{\pi} u(x) v^{\prime}(x) d x\end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=e^{x}$ et $v^{\prime}(x)=\sin x$ 

on a : $u^{\prime}(x)=e^{x}$ et $v(x)=-\cos x$ 

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues  

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}I&=[u(x) v(x)]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[-e^{x} \cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} e^{x} \times(-\cos x) d x\\&=e^{\pi}+1+\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x d x\end{aligned}$

On calcule $J=\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x d x$ en effectuant une deuxième intégration par parties :

$\begin{aligned}J&=\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x d x\\&=\int_{0}^{\pi} u(x) v^{\prime}(x) d x\end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=e^{x}$ et $v^{\prime}(x)=\cos x$

on a : $u^{\prime}(x)=e^{x}$ et $v(x)=\sin x$

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues 

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}J&=[u(x) v(x)]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[e^{x} \sin x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x\\&=0-0-I \end{aligned}$

On aboutit donc à l'équation 

$I=e^{\pi}+1-I$ 

c'est-à-dire $2 I=e^{\pi}+1$ et on conclut ainsi que $I=\frac{e^{\pi}+1}{2}$

$\begin{aligned}2)\ I&=\int_{0}^{\pi} e^{2 x} \cos x d x\\&=\int_{0}^{\pi} u(x) v^{\prime}(x) d x\end{aligned}$ 

Posons : $u(x)=e^{2 x}$ et $v^{\prime}(x)=\cos x$

on a : $u^{\prime}(x)=2 e^{2 x}$ et $v(x)=\sin x$

les fonctions $u$, $v$ , $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ sont continues sur 

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}I&=[u(x) v(x)]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[e^{2 x} \sin x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} 2 e^{2 x} \sin x d x\\&=0-0-\int_{0}^{\pi} 2 e^{2 x} \sin x d x\end{aligned}$

On calcule $J=\int_{0}^{\pi} 2 e^{2 x} \sin x d x$ en effectuant une deuxième intégration par parties:

$J=\int_{0}^{\pi} 2 e^{2 x} \sin x d x=\int_{0}^{\pi} u(x) v^{\prime}(x) d x$ où $u(x)=2 e^{2 x} \Rightarrow u^{\prime}(x)=4 e^{2 x} \quad$ et $\quad v^{\prime}(x)=\sin x \Rightarrow v(x)=-\cos x$ sont continument dérivables. 

D'après la formule d'intégration par parties, 

$\begin{aligned}J&=[u(x) v(x)]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} u^{\prime}(x) v(x) d x\\&=\left[-2 e^{2 x} \cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} 4 e^{2 x}(-\cos x) d x\\&=2 e^{2 \pi}+2+4 \int_{0}^{\pi} e^{2 x} \cos x d x\\&=2 e^{2 \pi}+2+4 I \end{aligned}$

On aboutit donc à l'équation 

$I=-2 e^{2 \pi}-2-4 I$ 

c'est-à-dire $5 I=-2 e^{2 \pi}-2$ et on conclut ainsi que $I=-\frac{2}{5}\left(e^{2 \pi}+1\right)$

Exercice 20 :

On considère les intégrales $I=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \sin (x) dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e ^{x} \cos (x) dx$

a) En intégrant $I$ puis $J$ par parties, démontrer que $I=-J$ puis que $I=J+e^{\pi}+1$

b) Déterminer $I$ et $J$ par résolution d'un système.

Réponse : 

$I=\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin (x) dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos (x) dx$

a) En appliquant à $J$ la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$ avec

$u(x)=\cos x$ et $v^{\prime}(x)=e^{x}$, les fonctions $u$, $v$, $u$ 'et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; \pi]$, on obtient :

$\begin{aligned}J&=[(\cos x) e^{x}]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\sin x) e^{x} dx\\&=-e^{\pi}-1+I\end{aligned}$

donc $I=J+e^{\pi}+1$

b) Pour déterminer $I$ et $J$, on résout le système

$(S):\left\{\begin{array}{l}I=-J \\ I=J+e^{\pi}+1\end{array}\right.$

$(S) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}J=-I \\ I=-I+e^{\pi}+1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}J=-I \\ 2 I=e^{\pi}+1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}I=\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2} \\ J=-\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2}\end{array}\right.$

Exercice 21 :

Soit $n$ un entier naturel et $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e ^{1-x} dx$

a) Calculer $I_{1}$

b) Établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_{n}$

c) En déduire $I_{3}$

Réponse : 

$I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e^{1-x} dx$ pour $n$ entier naturel

$\begin{array}{ll} a)\ I_{1}&=\int_{0}^{1} x e^{1-x} dx\\&=[-x e^{1-x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(-e^{1-x}\right) dx\\&=-1+[-e^{1-x}]_{0}^{1}\\&=-1-1+e=e-2 \end{array}$

$\begin{array}{ll}b)\ I_{n+1}&=\int_{0}^{1} x^{n+1} e^{1-x} dx\\&=[-x^{n+1} e^{1-x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1) x^{n}\left(-e^{1-x}\right) dx\\&=-1+(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{1-x} dx \end{array}$

donc $I_{n+1}=(n+1) I_{n}-1$

c) On calcule d'abord $I_{2}$: 

$I_{2}=3 I_{1}-1=3 e-7$; 

on en déduit $I_{3}$: 

$I_{3}=4 I_{2}-1=12 e-29$

Exercice 22 :

À l'aide d'une double intégration par parties, calculer

a) $I=\int_{0}^{3} x^{2} e ^{-2 x} dx$

b) $I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) dx$

Réponse : 

a) $I=\int_{0}^{3} x^{2} e^{-2 x} dx$

En appliquant la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$

avec $u(x)=x^{2}$ et $v^{\prime}(x)=e^{-2 x},$ les fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; 3],$ on obtient :

$\begin{array}{ll} I&=[x^{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right)]_{0}^{3}-\int_{0}^{3} 2 x\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) dx\\&=-\displaystyle\frac{9}{2} e^{-6}+\int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx \end{array}$

Intégrons de nouveau par parties $\int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx$ avec $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=e^{-2 x}$

$\begin{array}{ll} \int_{0}^{3} x e^{-2 x} dx&=[-\displaystyle\frac{1}{2} x e^{-2 x}]_{0}^{3}-\int_{0}^{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) dx\\&=-\displaystyle\frac{3}{2} e^{-6}+[-\displaystyle\frac{1}{4} e^{-2 x}]_{0}^{3}\\&=-\displaystyle\frac{7}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4} \end{array}$

On en déduit : 

$\begin{aligned}I&=-\displaystyle\frac{9}{2} e^{-6}-\displaystyle\frac{7}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4}\\&=-\displaystyle\frac{25}{4} e^{-6}+\displaystyle\frac{1}{4}\end{aligned}$

b) $I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) dx$

En appliquant la formule d'intégration par parties $\int u v^{\prime}=[u v]-\int u^{\prime} v$ avec

$u(x)=x^{2}$ et $v^{\prime}(x)=\cos x$, les fonctions $u$, $v$, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ étant continues sur $[0 ; \pi],$ on obtient :

$\begin{array}{ll} I&=[x^{2} \sin x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} 2 x \sin x dx\\&=-2 \int_{0}^{\pi} x \sin x dx \end{array}$

Intégrons de nouveau par parties $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$ avec $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=\sin x$

$\begin{aligned}\int_{0}^{\pi} x \sin x dx&=[x \cos x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\cos x) dx\\&=1+[\sin x]_{0}^{\pi}\\&=1\end{aligned}$

On en déduit : $I=-2 \times 1=-2$

III. Calcul d’aires:

Exercice 23 :

Associer chaque intégrale au schéma qui lui correspond (pour cet exercice, les aires des parties du plan situées sous l’axe des abscisses sont comptées négativement).

a)

b)

c)

d)

1) $\int_{-1}^{2} f(x) dx$

2) $\int_{0}^{2} f(x) dx$

3) $\int_{-1}^{2}|f(x)| dx$

4) $\int_{1}^{2} f(x) dx$

Réponse : 

Le schéma a) correspond à l'intégrale 1.

Le schéma b) correspond à l'intégrale 3.

Le schéma c) correspond à l'intégrale 4.

Le schéma d) correspond à l'intégrale 2.

Exercice 24 :

On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$.

On suppose connues les aires $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$ et $A_{5}$.

a) Avec ces valeurs, exprimer les intégrales suivantes:

$I_{1}=\int_{-6}^{-1,5} f(x) dx$ , 

$I_{2}=\int_{-1,5}^{2} f(x) dx$ et 

$I_{3}=\int_{0}^{3} f(x) dx$

b) À l'aide d'intégrales, exprimer la somme $A_{1}+A_{2}+A_{3}$

Réponse : 

a) $I_{1}=-A_{1}+A_{2}$, 

$I_{2}=-A_{3}-A_{4}$ et 

$I_{3}=A_{5}-A_{4}$

b)

$\begin{array}{ll}A_{1}+A_{2}+A_{3}&=\int_{-6}^{0}|f(x)| dx\\&=\int_{-5}^{-1,5} f(x) dx-\int_{-6}^{-5} f(x) dx-\int_{-1,5}^{0} f(x) dx\end{array}$

Exercice 25 :

Les aires $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ et $A_{6}$ sont connues.

a) Exprimer les intégrales suivantes à l'aide de ces valeurs.

$I_{1}=\int_{-1}^{1} f(x) dx$

$I_{2}=\int_{-1}^{3} g(x) dx$

$I_{3}=\int_{-1}^{3}[f(x)-g(x)] dx$ 

$I_{4}=\int_{-1}^{2}|f(x)-g(x)| dx$

b) Exprimer à l'aide d'intégrales la somme $A_{4}+A_{5}$

Réponse : 

a) $I_{1}=A_{1}+A_{3}$  

$I_{2}=A_{3}+A_{4}+A_{5}$  

$I_{3}=A_{1}+A_{2}-A_{6}$  

$I_{4}=A_{1}+A_{2}+A_{6}$

b) $A_{4}+A_{5}=\int_{1}^{2} g(x) dx+\int_{2}^{3} f(x) dx$

Exercice 26 :

On a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ et deux droites d'équations respectives $x=\alpha$ et $x=\beta$

a) Colorier en rouge la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{2}^{3} f(x) dx$

b) Colorier en bleu la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{-2}^{1}|f(x)| dx$

c) Colorier en vert la partie du plan dont l'aire est donnée par $\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-1| dx$

Réponse : 

a) $\int_{2}^{3} f(x) dx$ est l'aire de la partie du plan coloriée en rouge.

b) $\int_{-2}^{1}|f(x)|$ d $x$ est l'aire de la partie du plan coloriée en bleu.

c) $\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-1| dx$ est l'aire de la partie du plan coloriée en vert.

Exercice 27:

On a tracé dans le repère ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par:

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, $g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=\displaystyle\frac{3}{4} x-1$

a) Exprimer avec l'aide des intégrales l'aire rouge $A_{r o u g e}$ et la calculer.

b) Calculer $A_{\text {bleue}}=\int_{2}^{4}\left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{4} x+1\right) dx$

c) En déduire l'aire coloriée sur la figure en unités d'aire.

Réponse : 

a)

$\begin{array}{ll}A_{\text {rouge}}&=\int_{1}^{2}[g(x)-f(x)] dx\\&=\int_{1}^{2}\left[\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}\right] dx\\&=\int_{1}^{2} \sqrt{x} dx-\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{1}{x} dx\end{array}$

Sur l'intervalle $[1 ; 2]$, une primitive de la fonction $g$ est $G(x)=\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

Et une primitive de la fonction $f$ est $F(x)=\ln x$

Donc l'aire est égale à

$\begin{array}{ll}A_{\text {rouge}}&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}-[\ln x]_{1}^{2}\\&=\displaystyle\frac{2}{3} 2^{\frac{3}{2}}-\displaystyle\frac{2}{3}-(\ln 2-\ln 1)\\&=\displaystyle\frac{4 \sqrt{2}-2}{3}-\ln 2\end{array}$

b)

$\begin{array}{ll}A_{\text {bleue }}&=\int_{2}^{4}\left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{4} x+1\right) dx\\&=\int_{2}^{4} \sqrt{x} dx-\int_{2}^{4}\left(\displaystyle\frac{3}{4} x-1\right) dx\end{array}$

Sur l'intervalle $[1 ; 2],$ une primitive de la fonction $h$ est $H(x)=\displaystyle\frac{3}{8} x^{2}-x$

Donc

$\begin{array}{ll}A_{\text {bleue}}&=\left[\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{4}-\left[\displaystyle\frac{3}{8} x^{2}-x\right]_{2}^{4}\\&=\displaystyle\frac{2}{3} \times 8-\displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{8}-\left(\displaystyle\frac{3}{8} \times 16-4-\displaystyle\frac{3}{8} \times 4+2\right)\\&=\displaystyle\frac{17-8 \sqrt{2}}{6}\end{array}$

c) L'aire de la partie coloriée est $A_{\text {rouge}}+A_{\text {bleue}}=\displaystyle\frac{13}{6}-\ln 2$ unités d'aire.

Exercice 28:

1. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction

$f(x)= \displaystyle \frac{1}{3} x^{2}-x$

a) Exprimer avec une intégrale l'aire verte $V$. 

Calculer $V$.

b) Exprimer avec une intégrale l'aire bleue $B$. 

Calculer $B$.

2. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g(x)= \displaystyle \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$ .

$m$ désigne un réel strictement positif et $A(m)$ est l'aire de la partie du plan situé entre les droites d'équation $x=-\displaystyle \frac{1}{2}$, $x=m,$ l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $g$. 

Cette aire est fonction de $m$

Calculer l'aire $A(m)$ et déterminer la limite de $A(m)$ lorsque $m$ tend vers l'infini.

Réponse : 

1. a) $V=\int_{-2}^{0} f(x) dx$

Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)=\displaystyle\frac{1}{9} x^{3}-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}$

Donc

$\begin{array}{ll}\int_{-2}^{0} f(x) dx&=[F(x)]_{-2}^{0}\\&=F(0)-F(2)\\&= \displaystyle \frac{8}{9}+\displaystyle\frac{4}{2}\\&=\displaystyle\frac{8}{9}+2\\&=\displaystyle\frac{26}{9}\end{array}$

L'aire verte $V$ est égale à $V=\displaystyle\frac{26}{9} \ u.a$.

b) $B=\int_{0}^{5}|f(x)| dx=\int_{0}^{3}-f(x) dx+\int_{3}^{5} f(x) dx$

Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)= \displaystyle \frac{1}{9} x^{3}-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}$

Donc

$\begin{array}{ll} \int_{0}^{3}-f(x) dx=[-F(x)]_{0}^{3}=-F(3)+F(0)=-\displaystyle \frac{27}{9}+\frac{9}{2}= \frac{3}{2}\end{array}$

Et 

$\begin{array}{ll} \int_{3}^{5} f(x) dx&=[F(x)]_{3}^{5}\\&=F(5)-F(3)\\&=\displaystyle\frac{125}{9}-\displaystyle\frac{25}{2}-\displaystyle\frac{27}{9}+\displaystyle\frac{9}{2}\\&=\displaystyle\frac{26}{9}\end{array}$

Donc l'aire bleue est égale à

$B=\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle\frac{26}{9}=\displaystyle\frac{79}{18}$ u.a

2. $A(m)=\int_{-0,5}^{m} g(x) dx .$

La fonction $g$ est de la forme $g(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u^{2}(x)}$ où $u(x)=x^{2}+1$

La fonction $G(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{3}+1}$ est une primitive de la fonction $g$

$\begin{array}{ll}A(m)&=\int_{-0,5}^{m} g(x) dx\\&=[G(x)]_{-0,5}^{m}\\&=G(m)-G(-0,5)\\&= \displaystyle \frac{-1}{m^{3}+1}+\displaystyle \displaystyle\frac{1}{0,125+1}\\&=\displaystyle \frac{8}{9}-\displaystyle \frac{1}{m^{3}+1}\end{array}$

$A(m)= \displaystyle \frac{8}{9}-\displaystyle \frac{1}{m^{3}+1}$ unités d'aire

$\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty}\left(m^{3}+1\right)=+\infty$

Donc $\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty} A(m)= \displaystyle \frac{8}{9} \text { u.a. }$

Exercice 29 :

Soit la fonction $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+2$ définie sur $[-2 ; 2]$, représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Les unités graphiques sont $2 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O x)$ et $1 \mathrm{cm}$ sur l'axe $(O y)$

Calculer l'aire, en $\mathrm{cm}^{2},$ du domaine $D$ coloré.

Réponse : 

Il faut déterminer les bornes. 

On résout $f(x)=0$ .

Les solutions sont ${-\sqrt{2} ;-1 ; 1 ; \sqrt{2}}$

L'aire du domaine $D$ est

$\begin{array}{ll}A&=\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}|f(x)| dx\\&=-\int_{-\sqrt{2}}^{-1} f(x) dx+\int_{-1}^{1} f(x) dx-\int_{1}^{\sqrt{2}} f(x) dx \ unités d'aire\end{array}$

Une primitive de la fonction $f$ est $F(x)= \displaystyle \frac{1}{5} x^{5}-x^{3}+2 x$ .

$F$ est une fonction impaire.

$\begin{array}{l} A&=-[F(x)]_{-\sqrt{2}}^{-1}+[F(x)]_{-1}^{1}-[F(x)]_{1}^{\sqrt{2}} \\ &=-F(-1)+F(-\sqrt{2})+F(1)-F(-1)-F(\sqrt{2})+F(1)\\&=4 F(1)-2 F(\sqrt{2}) \\ &=4\left(\displaystyle \frac{1}{5}-1+2\right)-2\left(\displaystyle \frac{\sqrt{2}^{5}}{5}-\sqrt{2}^{3}+2 \sqrt{2}\right)\\&= \displaystyle\frac{24-8 \sqrt{2}}{5} \end{array}$

l'unité d'aire est de $2 \mathrm{cm}^{2}$ donc l'aire du domaine $D$ est $\displaystyle \frac{48-16 \sqrt{2}}{5} \approx 5,07 \mathrm{cm}^{2}$