La dérivabilité - Exercice corrigé 1bsx
بسم الله الرحمن الرحيم
Exercice 1 :
Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=3 x^{2}+4 x-5$.
Démontrer que $f$ est dérivable en 3 et calculer $f^{\prime}(3)$
Pour tout $h \neq 0$, on calcule : $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$
$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$
$=\frac{3(3+h)^{2}+4(3+h)-5-\left(3 \times 3^{2}+4 \times 3-5\right)}{h}$
$=\frac{3\left(9+6 h+h^{2}\right)+12+4 h-5-34}{h}$
$=\frac{27+18 h+3 h^{2}+12+4 h-5-34}{h}$
$=\frac{3 h^{2}+22 h}{h}$
$=3 h+22$
Puisque $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} 3 h+22=22$, on en conclut que $f$ est dérivable en 3 et $f^{\prime}(3)=22$
Exercice 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-1 & \text { si } x<0 \\ x-1 & \text { si } x \geq 0\end{array}\right.$
La fonction $f$ est-elle dérivable sur $I\!R$ ?
$f$ est dérivable sur $]-\infty ; 0[$ en tant que fonction polynôme et sur $[0 ;+\infty[$ en tant que fonction affine.
• Pour tout $x \in ]-\infty ; 0[$, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^{2}-1-(-1)}{x}=x$
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$
donc $f$ est dérivable à gauche en 0 et $f_{g}^{\prime}(0)=0$.
• De plus, pour tout $x \in] 0 ;+\infty[$, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x-1-(-1)}{x}=1$
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$
donc $f$ est dérivable à droite en 0 et $f_{d}^{\prime}(0)=1$.
• Mais comme $f_{g}^{\prime}(0) \neq f_{d}^{\prime}(0)$,
on conclut que $f$ n'est pas dérivable en 0 (Point anguleux)
Exercice 3 :
$f$ est la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\sqrt{x^{2}+3}$
a) Pour tout réel $h \neq 0$, démontrer que : $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}}$
b) En déduire que $f$ est dérivable en 0 et donner le nombre dérivé de $f$ en 0 .
a) On met en œuvre la technique dite de la « multiplication par la quantité conjuguée » :
Pour tout réel $h \neq 0$,
$\begin{aligned}\frac{f(h)-f(0)}{h}&=\frac{\sqrt{h^{2}+3}-\sqrt{3}}{h}\\&=\frac{\left(\sqrt{h^{2}+3}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}\right)}{h\left(\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}\right)}\\&=\frac{\left(\sqrt{h^{2}+3}\right)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{h\left(\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}\right)}\\&=\frac{h^{2}+3-3}{h\left(\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}\right)}\\&=\frac{h^{2}}{h\left(\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}\right)}\\&=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}}\end{aligned}$
b) Puisque $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} h=0$ et $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \sqrt{h^{2}+3}=\sqrt{3}$, on aura
$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}&=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{\sqrt{h^{2}+3}+\sqrt{3}}\\&=\frac{0}{2 \sqrt{3}}=0\end{aligned}$
La fonction $f$ est dérivable en 0 et $f^{\prime}(0)=0$.
Exercice 4 :
1) Etudier la dérivabilité à droite en 0 de la fonction numérique définie par $g(x)= x \sqrt{x}$
2) Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=(1-x) \sqrt{1-x^{2}}$
a) Déterminer l'ensemble de définition de $f$
b) Etudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et en $-1$
1) $g(x)= x \sqrt{x}$
Pour tout $h > 0$, on calcule : $\frac{g(0+h)-g(0)}{h}$
$\begin{aligned}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}&=\frac{g(h)-g(0)}{h}\\&=\frac{h \sqrt{h}-0}{h}\\&=\frac{h \sqrt{h}}{h}\\&=\sqrt{h}\end{aligned}$
Puisque $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0 \atop h>0} \frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0\atop h>0} \sqrt{h}=0$,
on en conclut que $g$ est dérivable à droite en 0 et $g_d^{\prime}(0)=0$
2) $f(x)=(1-x) \sqrt{1-x^{2}}$
a) $f$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles
$\begin{aligned}1-x^{2} \geq 0 &\Leftrightarrow x^{2} \leq 1 \\&\Leftrightarrow-1 \leq x \leq 1 \end{aligned}$
donc $D_{f}=[-1 ; 1]$
b)
• Pour tout $x \in [-1 ; 1[$,
$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\frac{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}-0}{x-1}\\&=-\sqrt{1-x^{2}}\end{aligned}$,
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x<1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x<1} -\sqrt{1-x^{2}}=0$,
donc $f$ est dérivable (à gauche) en 1 et $f_{g}^{\prime}(1)=1$
• De plus, pour tout $x \in]-1 ; 1]$,
$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}&=\frac{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}-0}{x+1}\\&=\frac{(1-x) \sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}{1+x}\\&=\frac{(1-x) \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\end{aligned}$
Puisque $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1}(1-x) \sqrt{1-x}=2 \sqrt{2}$ et
on en conclut par quotient, que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=+\infty$, donc
que $f$ n'est pas dérivable en $-1$
Exercice 5 :
1) $f$ est la fonction définie sur $[0 ;+\infty[$ par $f(x)=x+\sqrt{x}$
a) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0
b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant $f$ admet-elle une tangente au point d'abscisse $0$?
2) $g$ est la fonction définie sur $\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.$ par $g(x)=x^{2} \sqrt{x}$
a) Etudier la dérivabilité de $g$ à droite en 0
b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant $g$ admet-elle une tangente au point d'abscisse 0
1) $f(x)=x+\sqrt{x}$
a) Pour tout $x>0$,
$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(0)}{x}&=\frac{x+\sqrt{x}-0}{x}\\&=1+\frac{\sqrt{x}}{x}\\&=1+\frac{1}{\sqrt{x}} \end{aligned}$
Puisque $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \sqrt{x}=0^{+}$, on en déduit par limite du quotient, que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} 1+\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$
La fonction $f$ n'est donc pas dérivable à droite en 0
b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant $f$ admet en son point d'abscisse 0 une demi-tangente verticale.
2) $g(x)=x^{2} \sqrt{x}$
a) Pour tout $x>0$,
$\begin{aligned}\frac{g(x)-g(0)}{x}&=\frac{x^{2} \sqrt{x}-0}{x}\\&=x \sqrt{x}\end{aligned}$
Puisque $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x > 0} x \sqrt{x}=0^{+}$, on en déduit que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \frac{g(x)-g(0)}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x \sqrt{x}=0$
La fonction $g$ est donc dérivable à droite en 0 et $g^{\prime}_d(0)=0$
b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant de la fonction $g$ admet en son point d'abscisse 0 une demi-tangente horizontale.
Exercice 6 :
On considère la fonction définie sur $I\!R$ par: $f(x)=\left|x^{2}-1\right|$
a) Donner, suivant la valeur de $x$, l'expression de $f(x)$
b) Etudier la dérivabilité de $f$ en 1
a) $f(x)=\left|x^{2}-1\right|$
Pour tout $x \in]-\infty ;-1] \cup [1 ;+\infty[, x^{2}-1 \geq 0$ donc $f(x)=\left|x^{2}-1\right|=x^{2}-1$
Pour tout $x \in[-1 ; 1], x^{2}-1 \leq 0$ donc $f(x)=\left|x^{2}-1\right|=-\left(x^{2}-1\right)=1-x^{2}$
b) • On détermine $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} \frac{x^{2}-1}{x-1}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} x+1=2\end{aligned}$
La fonction $f$ est donc dérivable à droite en 1 et $f_{d}^{\prime}(1)=2$
• On détermine $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x<1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x<1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x<1} \frac{-\left(x^{2}-1\right)}{x-1}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x<1} \frac{-(x-1)(x+1)}{x-1}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x<1}-(x+1)=-2\end{aligned}$
La fonction $f$ est donc dérivable à gauche en 1 et $f_{g}^{\prime}(1)=-2$
Cependant, puisque $f_{d}^{\prime}(1) \neq f_{g}^{\prime}(1)$, $f$ n'est pas dérivable en 1 .
Exercice 7 :
$f$ est la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=(x-1)|x-1|$
a) Dans un repère, tracer la courbe représentative $C$ de $f$
b) Démontrer que la fonction $f$ est dérivable en 1 .
Donner le nombre dérivé de $f$ en 1
c) Déterminer une équation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 1 .
a) $f(x)=(x-1)|x-1|$
$\begin{aligned}•\ Pour\ tout\ x \geq 1 &\Leftrightarrow x-1 \geq 0\\&\Leftrightarrow|x-1|=x-1\end{aligned}$
donc $f(x)=(x-1)(x-1)=(x-1)^{2}$
$\begin{aligned}•\ Pour\ tout\ x \leq 1 &\Leftrightarrow x-1 \leq 0\\&\Leftrightarrow|x-1|=-(x-1)\end{aligned}$
donc $f(x)=(x-1) \times(-(x-1))=-(x-1)^{2}$
b) • Pour tout $x>1$,
$\begin{aligned}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\frac{(x-1)^{2}-0}{x-1}\\&=x-1\end{aligned}$,
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1 \atop x>1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x>1} x-1=0$.
La fonction $f$ est donc dérivable à droite en 1 et $f_{d}^{\prime}(1)=0$
• De plus, pour tout $x<1$,
$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\frac{-(x-1)^{2}-0}{x-1}\\&=-(x-1)\end{aligned}$,
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x<1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1\atop x<1}-(x-1)=0$.
La fonction $f$ est donc dérivable à gauche en 1 et $f_{g}^{\prime}(1)=0$
• Puisque $f_{d}^{\prime}(1)=f_{g}^{\prime}(1)=0$, on conclut que $f$ est dérivable en 1 et $f^{\prime}(1)=0$
c) L'équation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 1 est de la forme $y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$,
c'est-à-dire $y=0$. Il s'agit donc de l'axe des abscisses
Exercice 8 :
$f$ est la fonction définie sur $I\!R^{*}$ par $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
a) Pour tout réel $h$ tel que $-1+h \neq 0$ et $h \neq 0$,
exprimer en fonction de $h$ le rapport $\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$
b) En déduire que $f$ est dérivable en $-1$ et donner le nombre dérivé de $f$ en $-1$
a) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
Pour tout réel $h$ tel que $-1+h \neq 0$ et $h \neq 0$,
$\begin{aligned} \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}&=\frac{\frac{1}{(-1+h)^{2}}-\frac{1}{(-1)^{2}}}{h}\\&=\frac{\frac{1}{(-1+h)^{2}}-\frac{(-1+h)^{2}}{(-1+h)^{2}}}{h}\\&=\left(\frac{1}{(-1+h)^{2}}-\frac{1-2 h+h^{2}}{(-1+h)^{2}}\right) \times \frac{1}{h}\\&=\frac{2 h-h^{2}}{(-1+h)^{2}} \times \frac{1}{h}\\&=\frac{2-h}{(-1+h)^{2}}\end{aligned}$
b) Puisque $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} 2-h=2$
et $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0}-1+h=-1$ donc $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0}(-1+h)^{2}=1$,
on en déduit, par application des règles sur le quotient, que :
$\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2-h}{(-1+h)^{2}}=2$,
donc que fest dérivable en $-1$ et que le nombre dérivé de $f$ en $-1$ vaut 2
Exercice 9 :
En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer la limite des fonctions suivantes en $a$
1) $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ en $a=0$
2) $f(x)=\frac{\cos x-1}{x}$ en $a=0$
3) $f(x)=\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}$ en $a=\frac{\pi}{2}$
4) $f(x)=\frac{\sin x-1}{\cos x}$ en $a=\frac{\pi}{2}$
1) Si on pose $g(x)=\sin x$,
alors $g(0)=\sin 0=0$, et ainsi, pour tout $x \neq 0$,
$\begin{aligned} f(x)&=\frac{\sin x}{x}\\&=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}\\&=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\end{aligned}$
La fonction $g$ étant dérivable en 0, le quotient $f(x)=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ admet donc une limite finie en 0 égale à $g^{\prime}(0)$.
Or, pour tout réel $x, g^{\prime}(x)=\cos x$
donc $g^{\prime}(0)=1$, et on conclut que
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
2) Si on pose $g(x)=\cos x$,
alors $g(0)=\cos 0=1$, et ainsi, pour tout $x \neq 0$,
$\begin{aligned}f(x)&=\frac{\cos x-1}{x}\\&=\frac{\cos x-\cos 0}{x-0}\\&=\frac{g(x)-g(0)}{x-0} \end{aligned}$
La fonction $g$ étant dérivable en 0, le quotient $f(x)=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ admet donc une limite finie en 0 égale à $g^{\prime}(0)$.
Or, pour tout réel $x, g^{\prime}(x)=-\sin x$
donc $g^{\prime}(0)=-\sin 0=0$, et on conclut que
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}=0$
3) Si on pose $g(x)=\cos x$,
alors $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$, et ainsi, pour tout $x \neq \frac{\pi}{2}$,
$\begin{aligned}f(x)&=\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}\\&=\frac{\cos x-\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}\\&=\frac{g(x)-g\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}\end{aligned}$
La fonction $g$ étant dérivable en $\frac{\pi}{2}$, le quotient $f(x)=\frac{g(x)-g\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}$ admet donc une limite finie en $\frac{\pi}{2}$ égale à $g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Or, pour tout réel $x, g^{\prime}(x)=-\sin x$ donc $g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$, et on conclut que
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=-1$
4) Pour trouver cette limite, il faut « séparer » en deux la fraction Pour tout $x \neq \frac{\pi}{2}$,
$f(x)=\frac{\sin x-1}{\cos x}=\frac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}} \times \frac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}$
On doit étudier séparément l'existence des deux limites $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}}$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}$
Si on pose $g(x)=\sin x$, alors $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1$, et ainsi, pour tout $x \neq \frac{\pi}{2}$,
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}=g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
tandis que la deuxième limite $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2}{\cos x}$ est l'inverse de celle trouvée dans la question $\left.\mathrm{c}\right)$, donc vaut $-1$ Par produit des limites, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}} \times \frac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}=0 \times(-1)=0$, et ainsi
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-1}{\cos x}=0$
Exercice 10 :
Déterminer la dérivée de la fonction $f$
1. $f(x)=3 x+2$ donc $f^{\prime}(x)=3$
2. $f(x)=x^{5}$
3. $f(x)=-7 x+2$
4. $f(x)=-5 x+7$
5. $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
6. $f(x)=3$
7. $f(x)=x$
8. $f(x)=-x+5$
9. $f(x)=5 x-5$
10. $f(x)=x^{4}$
11. $f(x)=\frac{1}{x^{7}}$
12. $f(x)=-x$
13. $f(x)=\frac{1}{x^{3}}$
14. $f(x)=x^{7}$
15. $f(x)=0$
16. $f(x)=3-12 x$
17. $f(x)=\frac{1}{x^{3}}$
18. $f(x)=\frac{1}{x^{8}}$
19. $f(x)=\frac{1}{x^{5}}$
20. $f(x)=\sqrt{x}$
21. $f(x)=\frac{1}{x^{11}}$
22. $f(x)=-7$
23. $f(x)=8+x$
24. $f(x)=\frac{1}{x}$
Exercice 11 :
Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
1. $f(x)=x^{5}+x^{3}$
2. $f(x)=5 x^{7}$
3. $f(x)=3 \times \frac{1}{x^{2}}$
4. $f(x)=3 x-\frac{1}{x}$
5. $f(x)=7 x^{5}+3 x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+x-1$
6. $f(x)=\frac{3}{x^{4}}+\frac{7}{x^{2}}-\frac{4}{x}$
7. $f(x)=\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x^{4}}+\frac{4}{x^{5}}-\frac{5}{x^{6}}$
8. $f(x)=3 x^{7}-\frac{8}{x^{2}}+\frac{2}{x}-7 x^{3}+5$
$(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$
$(k u)^{\prime}=k u^{\prime}$
$(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$
$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$
$(u^{n})^{\prime}=n u^{n-1} u^{\prime}$
Exercice 12 :
Pour calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, on doit utiliser l'une des formules ci-dessus.
Choisir la bonne formule en précisant qui est $u, v$ ou $k$. (On ne demande pas le calcul de $\left.f^{\prime}(x)\right)$.
a) $f(x)=2 x+\sqrt{x}$
b) $f(x)= x \sin(x)$
c) $f(x)=5\left(x^{2}+5 x\right)$
d) $f(x)=\frac{5\left(x^{2}+1\right)}{3}$
e) $f(x)=-3 x^{2}(x+1)$
f) $f(x)=\frac{-3 x}{x+1}$
g) $f(x)=\sin ^{2} x=(\sin x)^{2}$
h) $f(x)=\cos x-5 x^{2}$
i) $f(x)=\frac{1}{4}\left(2 x^{2}+3 x\right)$
j) $f(x)=2 x+1+\frac{1}{x}$
k) $f(x)=(2 x+5)^{3}$
l) $f(x)=\frac{\cos x}{x+1}$
Exercice 13 :
Calculer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle proposé.
a) sur $] 0 ;+\infty[$, $f(x)=\frac{1}{5}\left(x^{2}+2 x+3\right)$
b) sur $I\!R$, $f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)(2-x)$
c) sur $I\!R$, $f(x)=\left(x^{2}-2 x+5\right)^{3}$
Exercice 14 :
Calculer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle proposé.
a) sur $f(x)=\frac{x^{2}-4 x+7}{1-x}$
b) sur $]-1 ;+\infty[$, $f(x)=\frac{1-x}{1+x^{3}}$
c) sur $I\!R$, $f(x)=\frac{3}{2 x^{2}+1}$
d) sur $] 0 ;+\infty[$, $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{3 x}$
e) sur $]-5 ;+\infty[$, $f(x)=1-\frac{1}{x+5}$
f) sur $] 0 ;+\infty[$, $f(x)=(2 x+1) \sqrt{x}$
RAPPEL :
L'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_{0}$ est donnée par :
$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$
Exercice 15 :
Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle I et un point $x_{0}\in I .$
On note $C$ la courbe représentative de $\mathrm{f}$ dans un repère orthonormal $(\mathrm{O}, \vec{\ i}, \vec{\ j})$.
On demande de déterminer :
a. la valeur de $f$ en $x_{0}$;
b. la fonction dérivée de $\mathrm{f}$;
c. le nombre dérivé de $\mathrm{f}$ en $x_{0}$;
d. l'équation de la tangente.
1) $f(x)=2 x^{2}-6 x+4$,
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=3$
a. $f\left(x_{0}\right)=$
b. $f^{\prime}(x)=$
c. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=$
d. $y=$
2) $f(x)=\frac{4}{x-2}$
avec $\mathrm{I}=]-\infty ; 2\left[\right.$ et $x_{0}=0$
3) $f(x)=3 x^{3}-6 x^{2}-7 x+10$,
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=2$
4) $f(x)=\frac{2}{x-3}$,
avec $\left.\mathrm{I}=\right] 3 ;+\infty\left[\right.$ et $x_{0}=4$
5) $f(x)=(2 x+1)^{2}$
, avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=3$
6) $f(x)=\frac{5 x-2}{3 x-4}$
$\mathrm{I}=]-\frac{4}{3} ;+\infty[$ et $x_{0}=2$
7) $f(x)=\sqrt{x} \quad$, avec $\mathrm{I}=]-4 ;+\infty\left[\right.$ et $x_{0}=4$
8) $f(x)=\frac{1}{x^{2}+2 x+2}$,
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=0$
9) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=1$
10) $f(x)=3 \sqrt{x}-1$,
avec $\mathrm{I}=] \frac{1}{2} ;+\infty\left[\right.$ et $x_{0}=9$
Réponse :
1. $f(x)=2 x^{2}-6 x+4$,
avec $I=I\!R$ et $x_{0}=3$
$\begin{aligned} a.f(3)&=2 \times 3^{2}-6 \times 3+4\\&=2 \times 9-18+4\\&=18-18+4\\&=4\end{aligned}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=2 \times 2 x-6\\&=4 x-6 \end{aligned}$
$\begin{aligned} c.f^{\prime}(3)&=4 \times 3-6\\&=12-6\\&=6 \end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(3)(x-3)+f(3)\\&=6 \times(x-3)+4\\&=6 x-18+4\\&=6 x-14 \end{aligned}$
2. $f(x)=\frac{4}{x-2}$
avec $\mathrm{I}=]-\infty ; 2[$ et $x_{0}=0$
$\begin{aligned}a.f(0)&=\frac{4}{0-2}\\&=\frac{4}{-2}\\&=-2 \end{aligned}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=4 \times \frac{-1}{(x-2)^{2}}\\&=\frac{-4}{(x-2)^{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(0)&=\frac{-4}{(0-2)^{2}}\\&=\frac{-4}{4}\\&=-1 \end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\\&=-1 \times(x-0)-2\\&=-x-2\end{aligned}$
3. $f(x)=3 x^{3}-6 x^{2}-7 x+10$,
avec $I=I\!R$ et $x_{0}=2$
$\begin{aligned}a. f(2)&=3 \times 2^{3}-6 \times 2^{2}-7 \times 2+10\\&=3 \times 8-6 \times 4-14+10\\&=24-24-14+10\\&=-4\end{aligned}$
$\begin{aligned}b.f^{\prime}(x)&=3 \times 3 x^{2}-6 \times 2 x-7\\&=9 x^{2}-12 x-7 \end{aligned}$
$\begin{aligned}c.f^{\prime}(2)&=9 \times 2^{2}-12 \times 2-7\\&=9 \times 4-24-7\\&=36-24-7\\&=5\end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2)\\&=5 \times(x-2)-4\\&=5 x-10-4\\&=5 x-14\end{aligned}$
4. $f(x)=\frac{2}{x-3}$
avec $\mathrm{I}=] 3 ;+\infty\left[\right.$ et $x_{0}=4$
$\begin{aligned}a. f(4)&=\frac{2}{4-3}\\&=\frac{2}{1}\\&=2 \end{aligned}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=2 \times \frac{-1}{(x-3)^{2}}\\&=\frac{-2}{(x-3)^{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(4)&=\frac{-2}{(4-3)^{2}}\\&=\frac{-2}{1^{2}}\\&=-2\end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(4)(x-4)+f(4)\\&=-2 \times(x-4)+2\\&=-2 x+8+2\\&=-2 x+10\end{aligned}$
5. $f(x)=(2 x+1)^{2}$,
avec $I=I\!R$ et $x_{0}=3$
$\begin{aligned}a.f(3)&=(2 \times 3+1)^{2}\\&=7^{2}\\&=49 \end{aligned}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=2 \times(2 x+1) \times 2\\&=4(2 x+1)\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(3)&=4(2 \times 3+1)\\&=4 \times 7\\&=28\end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(3)(x-3)+f(3)\\&=28 \times(x-3)+49\\&=28 x-84+49\\&=28 x-35\end{aligned}$
6. $f(x)=\frac{5 x-2}{3 x-4}$,
avec $\left.I=\right]-\frac{4}{3} ;+\infty[$ et $x_{0}=2$
$\begin{aligned}a. f(2)&=\frac{5 \times 2-2}{3 \times 2-4}\\&=\frac{10-2}{6-4}\\&=\frac{8}{2}\\&=4 \end{aligned}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=\frac{5 \times(3 x-4)-(5 x-2) \times 3}{(3 x-4)^{2}}\\&=\frac{15 x-20-15 x+6}{(3 x-4)^{2}}\\&=\frac{-14}{(3 x-4)^{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(2)&=\frac{-14}{(3 \times 2-4)^{2}}\\&=\frac{-14}{2^{2}}\\&=-\frac{7}{2} \end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2)\\&=-\frac{7}{2} \times(x-2)+4\\&=-\frac{7}{2} x+7+4\\&=-\frac{7}{2} x+11\end{aligned}$
7. $f(x)=\sqrt{x} \quad$,
avec $\mathrm{I}=]-4 ;+\infty[$ et $x_{0}=4$
$a. f(4)=\sqrt{4}=2$
$b. f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$\begin{aligned} c. f^{\prime}(4)&=\frac{1}{2 \sqrt{4}}\\&=\frac{1}{2 \times 2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
d. Equation de la tangente:
$\begin{aligned}y&=f^{\prime}(4)(x-4)+f(4)\\&=\frac{1}{4} \times(x-4)+2\\&=\frac{1}{4} x-1+2\\&=\frac{1}{4} x+1\end{aligned}$
8. $f(x)=\frac{1}{x^{2}+2 x+2}$,
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=0$
$f(0)=\frac{1}{0^{2}+2 \times 0+2}=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}b. f^{\prime}(x)&=\frac{-(2 x+2)}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\\&=\frac{-2 x-2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(0)&=\frac{-2 \times 0-2}{\left(0^{2}+2 \times 0+2\right)^{2}}\\&=\frac{-2}{4}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\\&=-\frac{1}{2} \times(x-0)+\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\end{aligned}$
9. $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$
avec $\mathrm{I}=I\!R$ et $x_{0}=1$
$\begin{aligned}a.f(1)&=\frac{1}{1^{2}+1}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}b.f^{\prime}(x)&=\frac{1 \times\left(x^{2}+1\right)-x \times 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\frac{x^{2}+1-2 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned} c. f^{\prime}(1)&=\frac{1-1^{2}}{\left(1^{2}+1\right)^{2}}\\&=\frac{0}{4}\\&=0\end{aligned}$
d. Equation de la tangente:
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\\&=0 \times(x-1)+\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
10. $f(x)=3 \sqrt{x}-1$,
avec $I=] \frac{1}{2} ;+\infty\left[\right.$ et $x_{0}=9$
$\begin{aligned}a.f(9)&=3 \sqrt{9}-1\\&=3 \times 3-1\\&=8\end{aligned}$
$\begin{aligned}b.f^{\prime}(x)&=3 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}\\&=\frac{3}{2 \sqrt{x}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}c. f^{\prime}(9)&=\frac{3}{2 \sqrt{9}}\\&=\frac{3}{2 \times 3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
d. Equation de la tangente :
$\begin{aligned} y&=f^{\prime}(9)(x-9)+f(9)\\&=\frac{1}{2} \times(x-9)+8\\&=\frac{1}{2} x-\frac{9}{2}+\frac{16}{2}\\&=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}\end{aligned}$
Exercice 16 :
Soit $g$ la fonction définie sur $I\!R$ par $g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$.
Calculer $g^{\prime}(x)$, étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ et faire le tableau de variation de $g$ sur $I\!R$.
Réponse :
Soit $g$ la fonction définie sur $I\!R$ par $g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$
$g^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x-1$ qui est un trinôme du second degré.
$\Delta=2^{2}-4 \times 3 \times(-1)=16$.
Les racines de $g^{\prime}(x)$ sont $\frac{-2-\sqrt{16}}{2 \times 3}=-1$ et $\frac{-2+\sqrt{16}}{2 \times 3}=\frac{1}{3}$.
$g^{\prime}(x)$ est du signe contraire de 3 (coefficient de $x^{2}$ ) entre ses racines, c'est-à-dire entre $-1$ et $\frac{1}{3}$.
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & \frac{1}{3} & &+\infty \\ \hline g^{\prime}(x) && + & 0& - & 0 & + \\ \hline g && & 0 & & & &+\infty \\ &-\infty& \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow} & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow} & -\frac{32}{27} & \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow} \\ \hline \end{array}$
Exercice 17 :
Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=x^{3}-18 x^{2}+108 x-80$.
Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$.
En déduire la variation de $f$
Réponse :
Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=x^{3}-18 x^{2}+108 x-80$.
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3 x^{2}-36 x+108\\&=3\left(x^{2}-12 x+36\right)\\&=3(x-6)^{2}\end{aligned}.$
$\forall x \in I\!R ; 3(x-6)^{2} \geqslant 0$
Donc $f$ est croissante sur $I\!R$.
Exercice 18 :
Soit $f$ la fonction définie et dérivable, de dérivée $f^{\prime}$ sur $I\!R \backslash\left\{-\frac{2}{3}\right\}$.
On donne $f^{\prime}(x)=\frac{5 x}{3 x+2}$.
Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$.
Réponse :
Soit $f$ la fonction définie et dérivable, de dérivée $f^{\prime}$ sur $\left.I\!R \backslash \{-\frac{2}{3}\right\}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{5 x}{3 x+2}$.
Le signe de $f^{\prime}(x)$ dépend de celui du numérateur et du dénominateur.
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & -\frac{2}{3} & & 0 & &+\infty \\ \hline 5 x & - & |& - & 0 & + \\ \hline 3 x+2 & - & 0 & + & |& + \\ \hline f^{\prime}(x) & + & || & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$
Exercice 19 :
Soit $f$ la fonction définie et dérivable, de dérivée $f^{\prime}$ sur $I\!R \backslash \{1\}$.
On donne $f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+2 x+6}{x-1}$.
Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ selon les valeurs de $x$.
Réponse :
On sait que $f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+2 x+6}{x-1}$.
Le signe de $f^{\prime}(x)$ dépend de celui du numérateur et du dénominateur.
$x^{2}+2 x+6$ est un trinôme du second degré ;
$\Delta=2^{2}-4 \times 1 \times 6=-20<0$
donc $x^{2}+2 x+6$ n'a pas de racines réelles : il est du signe de 1 (coefficient de $x^{2}$ ) pour tout réel $x$, donc strictement positif sur $I\!R$.
$x-1$ s'annule pour $x=1$.
$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -\infty && 1 & & +\infty \\ \hline x^{2}+2 x+6 && + & |& + & \\ \hline x-1 && - & 0 & + \\ \hline f^{\prime}(x) & & - & || & + & \\ \hline \end{array}$
Exercice 20 :
Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathrm{D}=]-\infty ;-2[\cup]-2 ;+\infty\left[\right.$, définie par $f(x)=\frac{-x^{3}}{2(x+2)}$.
Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $D$.
Réponse :
Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathrm{D}=]-\infty ;-2[\cup]-2 ;+\infty\left[\right.$, définie par $f(x)=\frac{-x^{3}}{2(x+2)}$.
$f=\frac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{ll}u(x)=-x^{3} \\ v(x)=2(x+2) \end{array}\right.$ ;
donc $\left\{\begin{array}{ll}u^{\prime}(x)=-3 x^{2} \\ v^{\prime}(x)=2 \end{array}\right.$ ;
D’où :
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\\&=\frac{-3 x^{2} \times 2(x+2)-2\left(-x^{3}\right)}{[2(x+2)]^{2}}\\&=\frac{2 x^{2}(-3 x-6+x)}{4(x+2)^{2}}\\&=\frac{x^{2}(-2 x-6)}{2(x+2)^{2}}\\&=\frac{x^{2}(-x-3)}{(x+2)^{2}}\end{aligned}$
Sur D, $(x+2)^{2}>0$ et $x^{2} \geqslant 0$ .
$f^{\prime}(x)$ a donc le même signe que $(-x-3)$.
$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -\infty && -3 & & -2 & & 0 && +\infty \\ \hline x^{2} && + &|& + &|& + & 0 & + \\ \hline -x-3 & & + & 0 & - &|& - & |& - \\ \hline (x+2)^{2} & & + & |& + & 0 & + &| & + \\ \hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & - &||& - & 0 & - \\ \hline \end{array}$
Exercice 21 :
Soit $f$ la fonction dérivable sur $[0 ; \pi]$, définie par $f(x)=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+\cos (x)+\frac{3}{2}$.
Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $[0 ; \pi]$.
Réponse :
Soit $f$ la fonction dérivable sur $[0 ; \pi]$, définie par $f(x)=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+\cos (x)+\frac{3}{2}$.
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\frac{1}{2}[-\sin (2 x) \times 2]+[-\sin (x)]\\&=\sin (2 x)-\sin (x)\\&=2 \sin (x) \cos (x)-\sin (x)\\&=\sin (x)[2 \cos (x)-1]\end{aligned}$
Sur$[0 ; \pi], \sin (x) \geqslant 0$,
et $\sin (x)=0 \Leftrightarrow x=0\ ou\ x=\pi$.
Étudions le signe de $2 \cos (x)-1$ sur $[0 ; \pi]$ :
$2 \cos (x)-1 \geqslant 0$ équivaut à $\cos (x) \geqslant \frac{1}{2}$, qui équivaut à $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}$.
$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & 0 && \frac{\pi}{3} && \pi \\ \hline \sin (x) & 0 & + &| & + & 0 \\ \hline 2 \cos x-1 & & + & 0 & - & \\ \hline f^{\prime}(x) & 0 & + & 0 & - & 0 \\ \hline \end{array}$
Exercice 22 :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par: $f(x)=x^{2}-7 x+5$
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$
2) Déterminer la fonction dérivée.
3) Etudier le signe de la dérivée
4) Etablir le tableau de variations.
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $2 .$
Réponse :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par: $f(x)=x^{2}-7 x+5$
1) calcul de limites
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} x^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2=+\infty$
2) Déterminer la fonction dérivée.
$f$ est dérivable en tant que fonction polynômiale.
$f^{\prime}(x)=2 x-7$
3) Etudier le signe de la dérivée
$\begin{aligned} f^{\prime}(x)>0 &\Leftrightarrow 2 x-7>0 \\&\Leftrightarrow 2 x>7 \\&\Leftrightarrow x>\frac{7}{2} \end{aligned}$
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty && \frac{7}{2}&&+\infty\\ \hline 2x-7&&-&0&+&\\ \hline \end{array}$
4) Etablir le tableau de variations.
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty && \frac{7}{2}&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline f&+\infty&&&&+\infty\\& &\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-7,25&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\ \hline\end{array}$
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
$y=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2)$ avec $f(2)=-5$ et $f^{\prime}(2)=2 \times 2-7=-3$
$\begin{aligned}y&=-3(x-2)-5\\&=-3 x+6-5\\&=-3 x+1\end{aligned}$
Exercice 23 :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par : $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-24 x+5$
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$
2) Déterminer la fonction dérivée.
3) Etudier le signe de la dérivée
4) Etablir le tableau de variations.
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-2$.
Réponse :
1) calcul de limites
Exercice 24 :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R \backslash\left\{\frac{5}{4}\right\}$ par: $f(x)=\frac{2 x-3}{5-4 x}$
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \frac{5}{4} \atop x > \frac{5}{4}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \frac{5}{4} \atop x < \frac{5}{4}} f(x)$
2) Déterminer la fonction dérivée.
3) Etudier le signe de la dérivée
4) Etablir le tableau de variations.
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3 .
Réponse :
1) calcul de limites
Exercice 25 :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R \backslash\{2\}$ par : $f(x)=\frac{x^{2}+5}{2-x}$
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x > 2} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x < 2} f(x)$
2) Déterminer la fonction dérivée
3) Etudier le signe de la dérivée
4) Etablir le tableau de variations.
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3 .
Réponse :
On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R \backslash\{2\}$ par : $f(x)=\frac{x^{2}+5}{2-x}$
1) calcul de limites
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{-x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} -x=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2}{-x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} -x=-\infty$
$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & -\infty & &2&&+\infty\\ \hline 2-x&&+&0&-&\\ \hline \end{array}$
Donc :
• $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x > 2} 2-x=0^-$
et on a : $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x > 2} x^2+5=9$
d’où par quotient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x > 2} f(x)=-\infty$
• $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x < 2} 2-x=0^+$
et on a : $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x < 2} x^2+5=9$
d’où par quotient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2 \atop x < 2} f(x)=+\infty$
2) Déterminer la fonction dérivée.
$f$ est une fonction rationnelle donc dérivable en tout point de son ensemble de définition $I\!R \backslash\{2\}$
On pose $u(x)=x^{2}+5$ et $v(x)=2-x$
ainsi: $u^{\prime}(x)=2 x$ et $v^{\prime}(x)=-1$
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{2 x(2-x)-\left(x^{2}+5\right) \times(-1)}{(2-x)^{2}}\\&=\frac{4 x-2 x^{2}-\left(-x^{2}-5\right)}{(2-x)^{2}}\\&=\frac{4 x-2 x^{2}+x^{2}+5}{(2-x)^{2}}\\&=\frac{-x^{2}+4 x+5}{(2-x)^{2}} \end{aligned}$
3) Etudier le signe de la dérivée
$\forall x \in I\!R$ ;$(2-x)^{2} \geq 0$
donc le signe de $f^{\prime}(x)$ dépend de celui du numérateur $-x^{2}+4 x+5$
qui est un trinôme du second degré ;
$\begin{aligned}\Delta&=4^{2}-4 \times(-1) \times 5\\&=16+20=36\\&=6^{2}\end{aligned}$
$\Delta>0$ donc deux solutions:
$x_{1}=\frac{-4-6}{2 \times(-1)}=5$ et $x_{2}=\frac{-4+6}{2 \times(-1)}=-1$
donc $f^{\prime}(x)$ est du signe contraire de $a=-1$ (coefficient de $x^{2}$ ) entre ses racines, c'est-à-dire entre $-1$ et $5$.
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 &&2& & 5 & &+\infty \\ \hline f^{\prime}(x) && - & 0& +&||& + & 0 & - \\ \hline \end{array}$
$•\ f^{\prime}(x)>0$ pour tout $\left.x \in\right]-1 ; 2[\cup] 2 ; 5[$
$•\ f^{\prime}(x)<0$ pour tout $\left.x \in\right]-\infty ; -1[\cup] 5 ; +\infty[$
4) Etablir le tableau de variations.
$f(-1)=\frac{(-1)^{2}+5}{2-(-1)}=\frac{1+5}{2+1}=\frac{6}{3}=2$ et $f(5)=\frac{5^{2}+5}{2-5}=\frac{30}{-3}=-10$
$\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline x & -\infty & &-1&&&2&&&5&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&&||&+&&0&-\\ \hline f&+\infty&&&&+\infty&||&&&-10&&\\& &\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&2&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&||&-\infty &\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-\infty \\ \hline\end{array}$
5) Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3 .
$y=f^{\prime}(3)(x-3)+f(3)$ avec $f(3)=\frac{3^{2}+5}{2-3}=-14$ et $f^{\prime}(3)=\frac{-3^{2}+4 \times 3+5}{(2-3)^{2}}=8$
$\begin{aligned}y&=8(x-3)-14\\&=8 x-24-14\\&=8 x-38\end{aligned}$
Exercice 26 :
Voici la représentation graphique d'une fonction $f$ et $\mathrm{E}\left(\frac{1}{3} ; 2,48\right)$
1) Déterminer :
$f(-1)=\ldots . \ f^{\prime}(-1)=\ldots .$
$f(1)=\ldots . \quad f^{\prime}(1)=\ldots .$
$f(3)=\ldots . \quad f^{\prime}(3)=\ldots .$
$f(4)=\ldots . \quad f^{\prime}(4)=\ldots .$
2) Réaliser sur votre copie double le tableau de variation complet de cette fonction sur l'intervalle $[-1 ; 4] .$
Réponse :
1) On a :
$f(-1)=-7 \quad; f^{\prime}(-1)=16$
$f(1)=1 \quad; f^{\prime}(1)=-4$
$f(3)=-7 \quad; f^{\prime}(3)=0$
$f(4)=-2 \quad; f^{\prime}(4)=11$
2) Tableau de variation :
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -1 & &\frac{1}{3}&&3&&4\\ \hline f&&&2,48&&&&-2\\& -7 &\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-7&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\ \hline \end{array}$
Exercice 27 :
Soit la fonction définie sur $[-6 ; 3]$ par :
$f(x)=-x^{2}-4 x+5$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal
a. Calculer $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ puis étudier son signe.
b. Dresser le tableau de variation de f sur $[-6 ; 3]$.
c. Déterminer les points d'intersection de $\mathrm{f}$ avec les axes $(\mathrm{O} x)$ et $(\mathrm{Oy})$.
d. Déterminer les coefficients directeurs des tangentes $(T_A)$,$(T_B)$ et $(T_C)$ à la courbe $(C)$ aux points $A, B$ et $C$ d'abscisses respectives $-5$,$-2$ et $1 .$
e. Construire dans un même repère $(T_A)$,$(T_B)$ , $(T_C)$ et $(C)$ (Unités: $1 \mathrm{~cm}$ en abscisse et $0,5 \mathrm{~cm}$ en ordonnée).
Réponse :
Soit la fonction définie sur $[-6 ; 3]$ par :
$f(x)=-x^{2}-4 x+5$
a. $f$ est définie,et dérivable sur $[-6 ; 3]$.
$f^{\prime}(x)=-2 x-4$
$-2 x-4>0 \Leftrightarrow x<-2$
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -6 && -2&&3\\ \hline -2x-4&&+&0&-&\\ \hline \end{array}$
ainsi $f^{\prime}(x)>0$ sur $[-6 ;-2[$
et $f^{\prime}(x)<0$ sur $\left.]-2 ; 3\right]$
b. Tableau de variation de $f$ sur [-6 ; 3] :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -6 && -2&&3\\ \hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&\\ \hline f&&&9&&\\& -7&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-16 \\ \hline\end{array}$
c. • Points d'intersection de $(C)$ avec l'axe $(O x)$ :
$f(x)=0 \Leftrightarrow-x^{2}-4 x+5=0$
$\Delta=(-4)^{2}-4 \times(-1) \times 5=36=6^{2}$
$x_{1}=\frac{4-6}{2 \times(-1)}=1$ et $x_{2}=\frac{4+6}{2 \times(-1)}=-5$
On obtient les points $\mathbf{A}(\mathbf{1} ; \mathbf{0})$ et $\mathbf{B}(-5 ; \mathbf{0})$
• Point d'intersection de $(C)$ avec l'axe (Oy) :
$\mathbf{f}(\mathbf{0})=-\mathbf{0}^{2}-4 \times \mathbf{0}+5=\mathbf{5}$
On obtient le point $\mathrm{C}(0 ; 5)$
d. Les coefficients directeurs des tangentes $(T_A)$, $(T_B)$ et $(T_C)$ à la courbe $(C)$ aux points $A, B$ et $C$ d'abscisses respectives $-5$,$-2$ et 1, sont respectivement donnés par les valeurs :
$f^{\prime}(-5)=-2 \times(-5)-4=6$
$f^{\prime}(-2)=-2 \times(-2)-4=0$
$f^{\prime}(1)=-2 \times 1-4=-6$
e. $\left(T_{A}\right): y=f^{\prime}(-5)(x+5)+f(-5)=6 x+30$
$\left(T_{B}\right): y=f^{\prime}(-2)(x+2)+f(-2)=9$
$\left(T_{c}\right): y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=-6 x+6$
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