58exercices corrigés: les nombres complexes
بسم الله الرحمن الرحيم
I. Définition
Exercice 1 :
Compléter le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|} \hline \begin{aligned}&Nombre\\& complexe\\& z\end{aligned} & \begin{aligned}&Partie\\& réelle\\& de\ z\end{aligned} & \begin{aligned}&Partie\\& imaginaire \\& de\ z\end{aligned}& \begin{aligned}&opposé\\& de\ z\end{aligned} & \begin{aligned}&conjugué \\& de\ z\end{aligned}& \begin{aligned}&nombre\\& réel:\\& oui/non\end{aligned} &\begin{aligned}&imaginaire\\& pur:\\& oui/non\end{aligned}\\ \hline 2-3 i & & & & & \\ \hline -6 & & & & & & \\ \hline -2-5 i & & & & & \\ \hline 3 i & & & & & \\ \hline i-1 & & & & & \\ \hline i^{2} & & & & & \\ \hline i^{3} & & & & & \\ \hline \end{array}$
Réponse :
Le tableau complété est le suivant:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&Nombre\\& complexe\\& z\end{aligned} & \begin{aligned}&Partie\\& réelle\\& de\ z\end{aligned} & \begin{aligned}&Partie\\& imaginaire \\& de\ z\end{aligned} & \begin{aligned}&opposé\\& de\ z\end{aligned} & \begin{aligned}&conjugué \\& de\ z\end{aligned}& \begin{aligned}&nombre\\& réel:\\& oui/non\end{aligned} & \begin{aligned}&imaginaire\\& pur:\\& oui/non\end{aligned}\\ \hline 2-3 i & 2 & -3 & -2+3 i & 2+3 i & non & non \\ \hline -6& -6 & 0 & 6 & -6 & oui & non\\ \hline -2-5i & -2 & -5 & 2+5i & -2+5i & non& non\\ \hline 3i & 0 & 3 & -3i & -3i & non & oui\\ \hline i-1 & -1 & 1 & 1-i & -1-i & non & non \\ \hline i^{2} & -1 & 0 & 1 & -1 & oui & non \\ \hline i^{3} & 0 & -1 & i & i & non & oui \\ \hline \end{array}$
Exercice 2 :
Les phrases suivantes sont fausses.
Rectifier chacune d'elle (sans donner la simple négation de la phrase !):
قم بتصحيح العبارات التالية دون أن تعطي نفي أي منها
a) 2 n'est pas un nombre complexe.
b) La partie imaginaire de $1+i$ est $i$.
c) $2 i$ n'a pas de partie réelle.
d) La partie réelle de $1+i^{2}$ est 1 .
e) La partie réelle de $(1+i)^{2}$ est 1 .
Réponse :
a) 2 est le nombre complexe de partie réelle 2 et de partie imaginaire $0 .$
b) $1+i=1+1 \times i:$ la partie imaginaire de $1+i$ est 1 .
c) $2 i=0+2 i:$ la partie réelle de $2 i$ est 0 .
d) $1+i^{2}=1-1=0:$ la partie réelle de $1+i^{2}$ est 0 .
e) $(1+i)^{2}=1^{2}+2 \times 1 \times i+i^{2}=1+2 i-1=2 i:$ la partie réelle de $(1+i)^{2}$ est 0 .
II. Représentation
Exercice 3 :
1) Placer dans un repère (unité: $2 \mathrm{~cm}$ sur chaque axe) les points $A, B, C$ et $D$ d'affixes respectives:
$z_{A}=1+i$, $z_{B}=i+2$, $z_{C}=i-2$ et $z_{D}=2 i$
2) Représenter les points $E$, $F$, $G$ d'affixes respectives : $-1$,$2+2 i$, $1-i$.
Réponse :
1) Le point $A$ a pour coordonnées $(1 ; 1)$, le point $B(2 ; 1)$, le point $C(-2 ; 1)$ et le point $D(0 ; 2)$.
2) Les points $E, F$ et $G$ ont pour coordonnées respectives : $E(-1 ; 0), F(2 ; 2)$ et $G(1 ;-1)$.
Exercice 4:
Tracer dans un repère l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ dans chacun des cas suivants:
a) $\operatorname{Im}(z)=0$
b) $\operatorname{Re}(z)=1$
c) $\operatorname{Im}(z)=1$ et $-2<\operatorname{Re}(z)<2$
Réponse :
a) $Im(z)=0$
En posant $z=x+i y$ ; avec $x$ et $y$ réels
$Im(z)=0$ équivaut à $y=0 .$
L'ensemble des points $M$ est l’axe des abscisses.
b) $\operatorname{Re}(z)=1$
En posant $z=x+i y,$ avec $x$ et $y$ réels
$Re(z)=1$ équivaut à $x=1 .$
L'ensemble des points $M$ est la droite d'équation $x=1 .$
c) $Im(z)=1$ et $-2<Re(z)<2$
En posant $z=x+i y$ ; avec $x$ et $y$ réels
les conditions s'écrivent :
$\left\{\begin{array}{l}y=1 \\-2<x<2 \end{array}\right.$
L'ensemble des points $M$ est le segment $[A ; B] .$
III. Calculs
Exercice 5 :
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$a=1+i-2(2-i)$ ,
$b=1+i-2 i(2-i)$
$c=(1+i)(2-i)$,
$d=(2-i)^{2}$
$e=(2-i)^{2}-(2+i)^{2}$
Réponse :
$\begin{aligned}a&=1+i-2(2-i)\\&=1+i-4+2 i\\&=-3+3 i \end{aligned}$
$\begin{aligned}b&=1+i-2 i(2-i)\\&=1+i-4 i+2 i^{2}\\&=1-3 i+2 \times(-1)\\&=-1-3 i\end{aligned}$
$\begin{aligned}c&=(1+i)(2-i)\\&=2+2 i-i-i^{2}\\&=2+i+1\\&=3+i\end{aligned}$
$\begin{aligned}d&=(2-i)^{2}\\&=4-4 i+i^{2}\\&=3-4 i\end{aligned}$
$\begin{aligned}e&=(2-i)^{2}-(2+i)^{2}\\&=4-4 i+i^{2}-\left(4+4 i+i^{2}\right)\\&=3-4 i-(3+4 i)\\&=-8 i\end{aligned}$
Exercice 6 :
Soit $f$ la fonction définie sur ℂ par $f(z)=(1+i) z^{2}-z+i$
Calculer $f(2)$, $f(i)$, $f(2-i)$ (donner le résultat sous forme algébrique).
Réponse :
Soit $f$ la fonction définie sur ℂ par $f(z)=(1+i) z^{2}-z+i$
$\begin{aligned}f(2)&=(1+i) \times 2^{2}-2+i\\&=4+4 i-2+i\\&=2+5 i\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(i)&=(1+i) \times i^{2}-i+i\\&=(1+i) \times(-1)\\&=-1-i\end{aligned}$
$\begin{aligned} f(2-i) &=(1+i)(2-i)^{2}-(2-i)+i\\&=(1+i)\left(4-4 i+i^{2}\right)-2+2 i \\ &=(1+i)(3-4 i)-2+2 i\\&=3+3 i-4 i+4-2+2 i\\&=5+i \end{aligned}$
Exercice 7 :
Le nombre complexe $i$ est-il solution de l'équation $z^{3}-(4+i) z^{2}+(13+4 i) z-13 i=0 ?$
Réponse :
$i^{3}-(4+i) i^{2}+(13+4 i) i-13 i$$=-i+4+i+13 i-4-13 i=0$
donc le nombre complexe $i$ est solution de l'équation $z^{3}-(4+i) z^{2}+(13+4 i) z-13 i=0$
Exercice 8 :
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$a=\frac{1}{i}$
$b=-\frac{1}{i}$
$c=\frac{1}{1+i}$
$d=\frac{i}{1+i}$
$e=\frac{1-i}{1+i}$
$f=\frac{1}{1+i}-\frac{i}{1-i}$
$g=\frac{1}{i-2}$
$h=\frac{i+2}{i-2}$
$k=\frac{2 i}{-1+3 i}$
Réponse :
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{i}\\&=\frac{i}{i^{2}}\\&=\frac{i}{-1}\\&=-i\end{aligned}$
$\begin{aligned}b&=-\frac{1}{i}\\&=-\frac{i}{i^{2}}\\&=-\frac{i}{-1}\\&=i\end{aligned}$
$\begin{aligned}c&=\frac{1}{1+i}\\&=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{1-i}{1^{2}+1^{2}}\\&=\frac{1-i}{2}\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i\end{aligned}$
$\begin{aligned}d&=\frac{i}{1+i}\\&=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{i-i^{2}}{1^{2}+1^{2}}\\&=\frac{i+1}{2}\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i\end{aligned}$
$\begin{aligned}e&=\frac{1-i}{1+i}\\&=\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{1-2 i+i^{2}}{1^{2}+1^{2}}\\&=\frac{-2 i}{2}\\&=-i\end{aligned}$
$\begin{aligned}f&=\frac{1}{1+i}-\frac{i}{1-i}\\&=\frac{(1-i)-i(1+i)}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{1-i-i-i^{2}}{1^{2}+1^{2}}\\&=\frac{2-2 i}{2}\\&=1-i\end{aligned}$
$\begin{aligned}g&=\frac{1}{i-2}\\&=\frac{1}{-2+i}\\&=\frac{-2-i}{(-2+i)(-2-i)}\\&=\frac{-2-i}{(-2)^{2}+1^{2}}\\&=\frac{-2-i}{5}\\&=-\frac{2}{5}-\frac{1}{5} i\end{aligned}$
$\begin{aligned}h&=\frac{i+2}{i-2}\\&=\frac{2+i}{-2+i}\\&=\frac{(2+i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}\\&=\frac{-4-2 i-2 i-i^{2}}{(-2)^{2}+1^{2}}\\&=\frac{-3-4 i}{5}\\&=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5} i\end{aligned}$
$\begin{aligned}k&=\frac{2 i}{-1+3 i}\\&=\frac{2 i(-1-3 i)}{(-1+3 i)(-1-3 i)}\\&=\frac{-2 i-6 i^{2}}{(-1)^{2}+3^{2}}\\&=\frac{-2 i+6}{10}\\&=\frac{3}{5}-\frac{1}{5} i\end{aligned}$
Exercice 9 :
On considère les nombres complexes $z_{1}=2+i \sqrt{2}$ et $z_{2}=2-i \sqrt{2}$.
Déterminer la forme algébrique de $\frac{z_{1}-3}{z_{2}}$.
Réponse :
$z_{1}=2+i \sqrt{2}$ et $z_{2}=2-i \sqrt{2}$.
$\begin{aligned}\frac{z_{1}-3}{z_{2}}&=\frac{2+i \sqrt{2}-3}{2-i \sqrt{2}}\\&=\frac{(-1+i \sqrt{2})(2+i \sqrt{2})}{(2-i \sqrt{2})(2+i \sqrt{2})}\\&=\frac{-2+2 i \sqrt{2}-i \sqrt{2}+2 i^{2}}{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\\&=\frac{-4+i \sqrt{2}}{6}\\&=-\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6} i\end{aligned}$
IV. Conjugués
Exercice 10 :
Soit $z_{1}=1-i$, $z_{2}=2$, $z_{3}=3 i$, $z_{4}=2 i-2$, $z_{5}=\frac{1-i}{1+i}$, $z_{6}=\frac{1+i}{1-i} .$
a) Donner la forme algébrique du conjugué de chacun de ces nombres.
b) Sans faire de calcul, pourquoi peut-on affirmer que $z_{5}+z_{6}$ est un réel et que $z_{5}-z_{6}$ est un imaginaire pur?
Réponse :
a) $\bar{z}_{1}=1+i$ ; $\bar{z}_{2}=2$ ; $\bar{z}_{3}=-3 i$ ; $z_{4}=-2+2 i$, donc $\bar{z}_{4}=-2-2 i ;$
$\begin{aligned}z_{5}&=\frac{1-i}{1+i}\\&=\frac{(1-i)}{(1+i)} \times \frac{(1-i)}{(1-i)}\\&=\frac{(1-i)^{2}}{1^{2}-i^{2}}\\&=\frac{1-2 i+i^{2}}{1+1}\\&=\frac{-2 i}{2}\\&=-i \end{aligned}$
donc $\bar{z}_{5}=i$
D'après les propriétés des conjugués,
$\begin{aligned} z_{6}&=\frac{1+i}{1-i}\\&=\frac{\overline{(1-i)}}{\overline{(1+i)}}\\&=\overline{\left(\frac{1-i}{1+i}\right)}\\&=\bar{z}_{5}\end{aligned}$
donc
$\begin{aligned}\bar{z}_{6}&=\overline{\bar{z}}_{5}\\&=z_{5}\\&=-i \end{aligned}$.
b) Si on pose $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels
alors $\bar{z}=x-i y .$
Alors $z+\bar{z}=2 x$ et $z-\bar{z}=2 i y$.
Or $z_{6}=\bar{z}_{5} .$
Donc $z_{5}+z_{6}=z_{5}+\bar{z}_{5}=2 \times \operatorname{Re}\left(z_{5}\right)$ et: $z_{5}-z_{6}=z_{5}-\bar{z}_{5}=2 \times \operatorname{Im}\left(z_{5}\right)$.
Exercice 11 :
Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe et donner sa forme algébrique.
1) $z = (3+i)(-13 – 2i)$
2) $z=i(1-i)^3$
3) $z = \dfrac{2 – 3i}{8 + 5i}$
4) $z=\dfrac{2}{i + 1}-\dfrac{3}{1-i}$
$\begin{array}{ll}1)\ \overline{z} &= \overline{(3+i)(-13 – 2i)} \\\\&= (3 – i)(-13 + 2i) \\\\&=-39 +6i + 13i + 2 \\\\&=-37 + 19i\end{array}$
$\begin{array}{ll}2)\ \overline{z}& = \overline{i(1-i)^3}\\\\ &= -i(1 + i)^3 \\\\ &=-i(1+ i)(1 + i)^2 \\\\ &= -i(1 + i)(1 + 2i – 1) \\\\ &= (-i + 1)(2i) \\\\ &=2 + 2i \end{array}$
$\begin{array}{ll}3)\ \overline{z} &= \overline{\left(\dfrac{2 – 3i}{8 + 5i}\right)} \\\\ & = \dfrac{2 + 3i}{8 – 5i} \\\\ & = \dfrac{2 + 3i}{8 – 5i} \times \dfrac{8 + 5i}{8 + 5i}\\\\ & = \dfrac{16 + 10i + 24i – 15}{8^2 + 5^2} \\\\ & =\dfrac{1 + 34i}{89} \end{array}$
$\begin{array}{ll}4)\ \overline{z} &= \overline{\dfrac{2}{i + 1}-\dfrac{3}{1-i}} \\\\ &=\overline{\left(\dfrac{2(1 – i) – 3(i + 1)}{(i + 1)(1 – i)}\right)} \\\\ &=\overline{\left(\dfrac{2 – 2i – 3i – 3}{1^2 + 1^2}\right)} \\\\ &=\overline{\dfrac{-1 – 5i}{2}}\\\\ &=\dfrac{-1 + 5i}{2} \end{array}$
Exercice 12 :
a) Démontrer qu'un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z}=-z$.
b) Démontrer qu'un nombre complexe est réel si et seulement si $\bar{z}=z$.
Réponse :
Posons $z=x+i y .$ avec $x$ et $y$ réels
Alors $\bar{z}=x-i y .$
a) $z$ est un imaginaire pur, si et seulement si, $x=0$ .
$z$ s'écrit alors $z=i y .$
D'où $\bar{z}=-i y$ et $\bar{z}=-z$.
b) $z$ est un réel, si et seulement si, $y=0$ .
$z$ s'écrit alors $z=x .$
D'où $\bar{z}=x$ et $\bar{z}=z$.
V. Equations
Exercice 13 :
Résoudre dans ℂ les équations suivantes (donner les solutions sous forme algébrique)
1) $3 z-1=2-i$
2) $(1-i) z=1-i z$
3) $z^{2}-(1+i) z=0$
4) $i z+1=2-i$
5) $(1+i) z=2$
6) $i z+3=z+i$
7) $(1+i) z=2 z-i$
8) $(1+i) z^{2}=z$
Réponse :
$\begin{aligned} 1)\ 3 z-1=2-i &\Leftrightarrow 3 z=3-i \\&\Leftrightarrow z=\frac{3-i}{3}\end{aligned}$
donc $S=\left\{1-\frac{1}{3} i\right\}$.
$\begin{aligned}2)\ (1-i) z=1-i z &\Leftrightarrow z-i z=1-i z \\&\Leftrightarrow z=1\end{aligned}$
donc $S=\{1\}$
$\begin{aligned}3)\ z^{2}-(1+i) z=0 &\Leftrightarrow z(z-(1+i))=0 \\&\Leftrightarrow z=0\ ou\ z=1+i\end{aligned}$
donc $S=\{0 ; 1+i\}$
$\begin{aligned}4)\ i z+1=2-i &\Leftrightarrow i z=1-i \\&\Leftrightarrow z=\frac{1-i}{i}\end{aligned}$
et on a :
$\begin{aligned}\frac{1-i}{i}&=\frac{(1-i) \times(-i)}{i \times(-i)}\\&=\frac{-i+i^{2}}{1}\\&=-1-i\end{aligned}$
donc $S=\{-1-i\}$.
5) $(1+i) z=2 \Leftrightarrow z=\frac{2}{1+i}$ et on a :
$\begin{aligned}\frac{2}{1+i}&=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{2-2 i}{1^{2}-i^{2}}\\&=\frac{2-2 i}{2}\\&=1-i\end{aligned}$
donc $S=\{1-i\}$
$\begin{aligned}6)\ i z+3=z+i &\Leftrightarrow i z-z=-3+i \\&\Leftrightarrow(-1+i) z-3+i \\&\Leftrightarrow z=\frac{-3+i}{-1+i}\end{aligned}$
et on a :
$\begin{aligned}\frac{-3+i}{-1+i}&=\frac{(-3+i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}\\&=\frac{3+3 i-i-i^{2}}{(-1)^{2}-i^{2}}\\&=\frac{3+2 i+1}{2}\\&=\frac{4+2 i}{2}\\&=2+i \end{aligned}$
donc $S=\{2+i\}$
$\begin{aligned}7)\ (1+i) z=2 z-i &\Leftrightarrow z+i z-2 z=-i \\&\Leftrightarrow z(-1+i)=-i \\&\Leftrightarrow z=\frac{-i}{-1+i}\end{aligned}$
et on a :
$\begin{aligned}\frac{-i}{-1+i}&=\frac{-i(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}\\&=\frac{i+i^{2}}{(-1)^{2}-i^{2}}\\&=\frac{i-1}{2}\end{aligned}$
donc $S=\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i\right\} .$
$\begin{aligned}8)\ (1+i) z^{2}=z &\Leftrightarrow(1+i) z^{2}-z=0 \\&\Leftrightarrow z[(1+i) z-1]=0 \\&\Leftrightarrow z=0\ ou\ (1+i) z-1=0 \\&\Leftrightarrow z=0\ ou\ z=\frac{1}{1+i}\end{aligned}$
et on a :
$\begin{aligned}\frac{1}{1+i}&=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{1-i}{1^{2}-i^{2}}\\&=\frac{1-i}{2}\end{aligned}$
donc $S=\left\{0 ; \frac{1}{2}-\frac{1}{2} i\right\}$
Exercice 14 :
Résoudre dans ℂ les équations suivantes:
1) $z^{2}+1=0$
2) $z^{2}-2 z+5=0$
3) $z^{2}-4 z+6=0$
4) $\frac{z-2}{z-1}=z$
Réponse :
$\begin{aligned}1)\ z^{2}+1=0 &\Leftrightarrow z^{2}=-1 \\&\Leftrightarrow z=i\ ou\ z=-i\end{aligned}$
donc $S=\{i ;-i\}$.
$2)\ z^{2}-2 z+5=0$
$\begin{aligned}\Delta&=(-2)^{2}-4 \times 1 \times 5\\&=-16\\&=(4 i)^{2}\end{aligned}$
Il y a donc deux solutions complexes
$\begin{aligned}z_1&=\frac{2-4 i}{2}\\&=1-2 i\end{aligned}$
$\begin{aligned}et\ z_2&=\frac{2+4 i}{2}\\&=1+2 i\end{aligned}$
donc $S=\{1-2 i ; 1+2 i\}$
$3)\ z^{2}-4 z+6=0$
$\begin{aligned}\Delta&=(-4)^{2}-4 \times 1 \times 6\\&=16-24\\&=-8\\&=(i \times 2 \sqrt{2})^{2}\end{aligned}$
Il y a donc deux solutions complexes
$\begin{aligned}z_1&=\frac{4+i \times 2 \sqrt{2}}{2}\\&=2+i \sqrt{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}et\ z_2&=\frac{4-i \times 2 \sqrt{2}}{2}\\&=2-i \sqrt{2}\end{aligned}$
donc $S=\{2+i \sqrt{2} ; 2-i \sqrt{2}\}$
4) Pour tout $z \neq 1$,
$\begin{aligned}\frac{z-2}{z-1}=z &\Leftrightarrow z-2=z(z-1) \\&\Leftrightarrow z-2=z^{2}-z \\&\Leftrightarrow z^{2}-2 z+2=0\end{aligned}$.
$\begin{aligned}\Delta&=(-2)^{2}-4 \times 1 \times 2\\&=-4\\&=(2 i)^{2}\end{aligned}$
Il y a donc deux solutions complexes
$\begin{aligned}z_1&=\frac{2-2 i}{2}\\&=1-i\end{aligned}$
$\begin{aligned}et\ z&=\frac{2+2 i}{2}\\&=1+i\end{aligned}$
donc $S=\{1-i ; 1+i\}$
Exercice 15 :
Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $z$ (donner les solutions sous forme algébrique)
1) $2 \bar{z}=1+i$
2) $\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1}=i$
3) $i z-\bar{z}+2=0$
4) $\bar{z}-3 i z+6 i=0$
(Pour les équations 3 ) et 4 ), on posera $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels).
Réponse :
$\begin{aligned}1)\ 2 \bar{z}=1+i &\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1+i}{2} \\&\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i \\&\Leftrightarrow z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i \end{aligned}.$
L'équation a une solution: $z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
$\begin{aligned}2)\ \frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1}=i & \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\bar{z}-1=i(\bar{z}+1) \\ \bar{z} \neq-1\end{array}\right. \\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\bar{z}-1=i \bar{z}+i \\ \bar{z} \neq-1\end{array} \right.\\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\bar{z}(1-i)=1+i \\ \bar{z} \neq-1\end{array}\right.\end{aligned}$
D'où : $\bar{z}=i$ et $z=-i$.
L'équation a une solution: $z=-i$.
$3)\ i z-\bar{z}+2=0\quad(3)$.
Posons $z=x+i y$ avec $x$ et $y$ réels
alors $\bar{z}=x-i y .$
L'équation (3) est équivalente à (3'): $-x-y+2+i(x+y)=0$.
$-x-y+2+i(x+y)$ est le nombre complexe nul,
donc sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
On résout donc le système :
$\left\{\begin{array}{c}-x-y+2=0 \\ x+y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=2 \\ x+y=0\end{array}\right.\right.$
C'est un système impossible.
L'équation (3) n'a pas de solution.
$4)\ \bar{z}-3 i z+6 i=0(4)$.
Posons $z=x+i y$ ; avec $x$ et $y$ réels
alors $\bar{z}=x-i y .$
L'équation (4) est équivalente à $\left(4^{\prime}\right): x+3 y+i(-3 x-y+6)=0$.
D'où
$\begin{aligned}\left\{\begin{array}{l}x+3 y=0 \\ 3 x+y=6\end{array}\right. &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3 y \\ 3(-3 y)+y=6\end{array}\right. \\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3 y \\ -8 y=6\end{array}\right. \\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4} \\ x=\frac{9}{4}\end{array}\right.\end{aligned}$
L'équation (4) a une solution : $z=\frac{9}{4}-\frac{3}{4} i$.
Exercice 16 :
Soit $z = x + i y$, $x $et $y$ étant deux réels
tels que $ (x;y) \ne (1;0) $.
On pose $Z = \dfrac{z + 2i}{z – 1}$.
Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que :
1) $Z$ soit un nombre réel.
2) $Z$ soit un imaginaire pur.
Réponse :
$\begin{array}{ll}1)\ Z &= \dfrac{z + 2i}{z – 1} \\\\ &= \dfrac{x + i y+ 2i}{x + i y – 1} \\\\ &= \dfrac{x + i(y + 2)}{x – 1 + i y} \\\\ &= \dfrac{x + i(y + 2)}{x – 1 + i y} \times \dfrac{x – 1 – i y}{x – 1 – i y} \\\\ &= \dfrac{x(x – 1) -i xy + i (y + 2)(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2}\\\\ &=\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2) + i\left((y + 2)(x – 1) – xy\right)}{(x – 1)^2 + y^2} \end{array}$
2) On veut que $Z$ soit un nombre réel.
Il faut donc que sa partie imaginaire soit nulle.
Cela signifie donc que :
$\dfrac{(y + 2)(x – 1) – xy}{(x – 1)^2 + y^2} = 0 $
$ \Leftrightarrow xy – y + 2x – 2 – xy = 0 $et $ (x;y) \ne (1;0) $
$\Leftrightarrow 2x – y – 2 = 0 $et $ (x;y) \ne (1;0) $
L’ensemble des points tel que $Z$ soit un nombre réel est donc la droite d’équation $2x – y – 2 = 0 $privée du point de coordonnées $ (1;0) $.
3) On veut que $Z$ soit un imaginaire pur.
Il faut donc que sa partie réelle soit nulle.
Cela signifie donc que :
$\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$
$\Leftrightarrow x^2 – x + y^2 + 2y = 0 \ et\ (x;y) \ne (1;0) $
$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0 \ et\ (x;y) \ne (1;0) $
$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4} et (x;y) \ne (1;0) $
L’ensemble des points tel que $Z$ soit un imaginaire pur est donc le cercle de centre $\left(\dfrac{1}{2};-1\right) $ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point de coordonnées $ (1;0) $.
Exercice 17 :
1) On considère un réel $b$.
Développer $\left(z^2+bz+4\right)\left(z^2-bz+4\right) $.
2) En déduire les solutions complexes de l’équation $z^4+16=0$.
Réponse :
$\begin{array}{ll}1)\ &\left(z^2+bz+4\right)\left(z^2-bz+4\right)\\&=z^4-bz^3+4z^2+bz^3-b^2z^2+4bz+4z^2-4bz+16 \\&=z^4+\left(8-b^2\right)z^2+16 \end{array}$
2) Posons $b=2\sqrt{2}$ alors $b^2=8$.
Ainsi, d’après la question précédente, $\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right)\left(z^2-2\sqrt{2}z+4\right)=z^4+16$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulementsi, un des facteurs au moins est nul.
Donc $z^4+16=0 \Leftrightarrow z^2+2\sqrt{2}z+4=0 $ou $z^2-2\sqrt{2}z+4=0$.
$\color{red}{\bullet\quad Pour\ z^2+2\sqrt{2}z+4=0}$
$\Delta=-8$ Il y a donc deux solutions complexes :
$z_1=\dfrac{-2\sqrt{2}-i\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
$\color{red}{\bullet\quad Pour\ z^2-2\sqrt{2}z+4=0}$
$\Delta=-8 < 0$
Il y a donc deux solutions complexes :
$z_3=\dfrac{2\sqrt{2}-i\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $z_4=\overline{z_3}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
Les solutions de l’équation $z^4+16=0$ sont donc$-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
Exercice 18 :
Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z)=z^4-1$.
1) Factoriser $P(z) $.
2) En déduire les solutions dans ℂ de l’équation $P(z)=0$.
3) En déduire les solutions dans ℂ de l’équation $\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1$
Réponse :
$\begin{array}{ll}1)\ z^4-1&=\left(z^2\right)^2-1^2 \\&=(z^2-1)(z^2+1) \\&=(z-1)(z+1)\left(z^2+1\right). \end{array}$
2) Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Donc
$\begin{array}{ll}P(z)=0 &\Leftrightarrow z-1=0 \ ou \ z+1=0 \ ou \ z^2+1=0 \\&\Leftrightarrow z=1 \ ou\ z=-1 \ ou\ z^2=-1\end{array}$
Les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont donc $-1;1;i et -i$.
3) Si on pose $Z=\dfrac{2z+1}{z-1}$
L’équation $\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1 $ est équivalente à $P(Z)=0$
$P(Z)=0\Leftrightarrow Z=1 \ ou\ Z=-1 \ ou\ Z=i \ ou\ Z=-i$.
Soit $a\in ℂ$
$\begin{array}{ll} Z=a &\Leftrightarrow \dfrac{2z+1}{z-1}=a \\&\Leftrightarrow 2z+1=a(z-1) \ et\ z\neq 1 \\&\Leftrightarrow 2z+1=az-a \ et\ z\neq 1 \\&\Leftrightarrow (2-a)z=-1-a \ et\ z\neq 1 \\&\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-a}{2-a}\ et\ z\neq 1 \end{array}$
Par conséquent
$Z=1 \Leftrightarrow z=-2$
$Z=-1\Leftrightarrow z=0$
$Z=i \Leftrightarrow z=\dfrac{-1-i}{2-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-3i}{5}$
$Z=-i \Leftrightarrow z=\dfrac{-1+i}{+-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-1+3i}{5}$
Les solutions de l’équation initiale sont donc$-2;0;\dfrac{-1-3i}{5} $ et $ \dfrac{-1+3i}{5}$
Exercice 19 :
On considère dans ℂ l’équation $(E):z^3-(1-i)z^2+(1-i)z+i=0$.
1) Montrer que $ (E) $ possède une unique solution imaginaire pure.
2) Résoudre dans ℂ l’équation $(E) $.
Réponse :
1) Soit $y\in I\!R$ alors $i y $ est un imaginaire pur.
Supposons que $i y$ soit une solution de $ (E) $.
Par conséquent :
$\begin{array}{ll} &iy \ solution\ de\ (E)\\&\Leftrightarrow (i y)^3-(1-i)(iy)^2+(1-i)iy+i =0 \\&\Leftrightarrow-i y^3-(1-i)\times \left(-y^2\right)+iy+y+i =0 \\&\Leftrightarrow -iy^3+y^2-i y^2+i y+y+i =0 \\&\Leftrightarrow y^2+y+i\left(1+y-y^2-y^3\right)=0 \\&\Leftrightarrow\begin{cases}y(y+1)=0 \\1+y-y^2-y^3=0 \end{cases} \\&\Leftrightarrow\begin{cases}y=0 \ ou\ y=-1 \\1+y-y^2-y^3=0 \end{cases} \end{array}$
0 n’est pas solution de l’équation $1+y-y^2-y^3=0$
-1 est solution de l’équation $1+y-y^2-y^3=0$.
Par conséquent la seule solution imaginaire pure possible est $-i$
Vérifions que $-i $ est bien solution de $ (E) $
$(-i)^3-(1-i)(-i)^2+(1-i)(-i)+i$$=i+1-i-i-1+i=0$
Donc $-i $ est l’unique solution imaginaire pure de l’équation $ (E) $.
2) Puisque $-i$ est solution de $ (E) $ on peut factoriser le polynôme par $ (z+i) $.
On cherche donc les nombres complexes $ a $ et $ b $ tels que :
$ (z+i)\left(z^2+az+b\right)=z^3-(1-i)z+(1-i)z+i $
$ \begin{array}{ll} (z+i)\left(z^2+az+b\right)&=z^3+az^2+bz+i z^2+ai z+bi \\&=z^3+(a+i)z^2+(b+ai)z+bi \end{array} $
Par identification on a donc $ a=-1 $ et $ b=1 $
Ainsi $ (E) \Leftrightarrow (z+i)\left(z^2-z+1\right)=0 $
On considère l’équation $ z^2-z+1=0 $
$\Delta = -3 < 0$
Il y a donc deux solutions complexes :
$z_1=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$.
Les solutions de $(E)$ sont donc $-i, \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$.
VI. Modules et distances
Exercice 20 :
Calculer le module des nombres complexes suivants:
$a=-5$, $b=3 i$, $c=-2 i$, $d=1-i$, $e=1+i$, $f=2+2 i$, $g=2 i-1$, $h=\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$, $k=3 \times \frac{\sqrt{2}-i \sqrt{2}}{2}$ ,$l=(1+i)^{2}$, $m=\frac{2}{1+i}$, $n=\frac{2+2 i}{1-i}$.
Réponse :
$\begin{aligned}|a|=|-5|=\sqrt{(-5)^{2}}=5\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}| b|=| 3 i|=\sqrt{3^{2}}=3\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}| c|=|-2 i \mid=\sqrt{(-2)^{2}}=2\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}|d|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}|e|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}|f|&=|2+2 i|\\&=\sqrt{2^{2}+2^{2}}\\&=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}|g|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}|h|&=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1\end{aligned}$
$\begin{aligned}|k|&=\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}\\&=3\end{aligned}$
$\begin{aligned}|l|&=\left|(1+i)^{2}\right|\\&=|1+i|^{2}\\&=\sqrt{1^{2}+1^{2}}^{2}\\&=\sqrt{2}^{2}\\&=2\end{aligned}$
$\begin{aligned}|m|&=\left|\frac{2}{1+i}\right|\\&=\frac{|2|}{|1+i|}\\&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}|n|&=\left|\frac{2+2 i}{1-i}\right|\\&=\frac{|2+2 i|}{|1-i|}\\&=\frac{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\\&=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\\&=2\end{aligned}$
Exercice 21 :
$a=3+i$, $b=-1+3 i$, $c=-\sqrt{5}-i \sqrt{5}$ sont les affixes respectives de trois points $A$, $B$, $C .$
Calculer les distances $O A$, $O B$, $O C$ et vérifier que le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$.
Réponse :
$OA=|a|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$
$OB=|b|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$
$O C=|c|=\sqrt{(-\sqrt{5})^{2}+(-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{10}$
$O A=O B=O C .$
Donc $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C .$
Exercice 22 :
On considère les points:
$A$ d'affixe $z_{A}=-5+6 i$, $B$ d'affixe $z_{B}=-7-2 i$, $C$ d'affixe $z_{C}=3-2 i$ et $F$ d'affixe $z_{F}=-2+i$.
Calculer les distances $A F$, $B F$ et $C F$ et montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Réponse :
$\begin{aligned}A F&=\left|z_{F}-z_{A}\right|\\&=|-2+i-(-5+6 i)|\\&=|3-5 i|\\&=\sqrt{3^{2}+(-5)^{2}}\\&=\sqrt{9+25}\\&=\sqrt{34}\end{aligned}$
$\begin{aligned}B F&=\left|z_{F}-z_{B}\right|\\&=|-2+i-(-7-2 i)|=|5+3 i|\\&=\sqrt{5^{2}+3^{2}}\\&=\sqrt{9+25}\\&=\sqrt{34}\end{aligned}$
$\begin{aligned}C F&=\left|z_{F}-z_{C}\right|\\&=|-2+i-(3-2 i)|\\&=|-5+3 i|=\sqrt{(-5)^{2}+3^{2}}\\&=\sqrt{25+9}\\&=\sqrt{34}\end{aligned}$
$A F=B F=C F=\sqrt{34}$,
donc les points $A, B$ et $C$ sont sur le même cercle de centre $F$ et de rayon $\sqrt{34}$.
Exercice 23 :
$A, B, C, D$ et $K$ sont cinq points du plan, d'affixes respectives:
$a=2-2 i$, $b=-1+7 i$, $c=4+2 i$, $d=-4-2 i$ et $k=-1+2 i$
Prouver que $A, B, C$ et $D$ sont sur un même cercle de centre $K$ dont on déterminera le rayon.
Réponse :
$\begin{aligned}A K&=|k-a|\\&=|(-1+2 i)-(2-2 i)|\\&=|-3+4 i |=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}=5\end{aligned}$
$\begin{aligned}B K&=|k-b|\\&=|(-1+2 i)-(-1+7 i)|\\&=|-5 i|\\&=\sqrt{(-5)^{2}}=5\end{aligned}$
$\begin{aligned}C K&=|k-c|\\&=|(-1+2 i)-(4+2 i)|\\&=|-5|\\&=\sqrt{(-5)^{2}}=5\end{aligned}$
$\begin{aligned}D K&=|k-d|\\&=|(-1+2 i)-(-4-2 i)|\\&=|3+4 i|\\&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}=5\end{aligned}$.
Les points $A, B, C$ et $D$ sont sur le cercle de centre $K$ et de rayon 5 .
VII. Géométrie
Figures géométriques
Exercice 24 :
Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_{A}=-1+i$, $z_{B}=2+i$ et $z_{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
a) Quelles sont les affixes des vecteurs $\vec{\ A B}, \vec{\ A C}$ et $\vec{\ B C}$ ?
b) Calculer les longueurs $A B$, $A C$ et $B C$.
c) Quelle est la nature du triangle $A B C$ ?
Réponse :
Soient $A, B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_{A}=-1+i$, $z_{B}=2+i$ et $z_{C}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
a) Notons $z_{\vec{\ A B}}$ l'affixe du vecteur $\vec{\ A B}$. On a :
$\begin{aligned} z_{\vec{\ \ A B}} &=z_{B}-z_{A} \\&=2+i-(-1+i) \\&=2+i+1-i=3\end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{\vec{\ \ A C}}&=z_{C}-z_{A}\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i-(-1+i)\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i+1-i \\&=\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{\vec{\ \ B C}}& =z_{C}-z_{B} \\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i-(2+i)\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i-2-i \\&=-\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i \end{aligned}$
b) $A B=\left|z_{B}-z_{A}\right|=|3|=3$
$\begin{aligned}A C&=\left|z_{C}-z_{A}\right|\\&=\left|\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\right|\\&=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}\\&=\sqrt{\frac{18}{4}}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}B C&=\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|-\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\right|\\&=\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}\\&=\sqrt{\frac{18}{4}}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}}\end{aligned}$
c) Nature du triangle $A B C$ :
On constate que $A C=B C$.
Le triangle $A B C$ est donc isocèle en $C$.
D'autre part,
$\begin{aligned}A C^{2}+B C^{2}&=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\\&=\frac{18}{2}\\&=9\\&=A B^{2}\end{aligned}$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est aussi rectangle en $C$.
Exercice 25 :
Soit $A$ le point d'affixe $a=3$, $B$ le point d'affixe $b=5-2 i$ et $C$ le point d'affixe $c=5+2 i$.
Montrer que le triangle $A B C$ est un triangle rectangle et isocèle.
Réponse :
$a=3$ ; $b=5-2 i$; $c=5+2 i$
Calculons les distances $A B$, $A C$ et $B C$
$\begin{aligned}A B&=\left|z_{B}-z_{A}\right|\\&=|b-a|\\&=|5-2 i-3|\\&=|3-2 i|\\&=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\\&=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\end{aligned}$
$\begin{aligned}A C&=\left|z_{C}-z_{A}\right|\\&=|c-a|\\&=|5+2 i-3|\\&=|2+2 i|\\&=\sqrt{2^{2}+2^{2}}\\&=\sqrt{8}\end{aligned}$
$\begin{aligned}B C&=\left|z_{C}-z_{B}\right|\\&=|c-b|\\&=|5+2 i-(5-2 i)|\\&=|5+2 i-5+2 i|\\&=|0+4 i|\\&=\sqrt{(0)^{2}+4^{2}}\\&=\sqrt{16}=4\end{aligned}$
On constate que $A B=A C .$
Le triangle $A B C$ est donc isocèle en $A$.
D'autre part
$\begin{aligned}A B^{2}+A C^{2}&=8+8\\&=16\\&=B C^{2}\end{aligned}$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est aussi rectangle en $A$.
Exercice 26:
A,B et C sont les points d’affixes respectives :
$z_A=-1+i$, $z_B=2+i$, $z_C=-\dfrac{1}{2}–\dfrac{1}{2}i$.
1) Placer les points $A$, $B$ et $C$.
2) Calculer les affixes des vecteurs $\vec{\ AB}$, $\vec{\ AC}$ et $\vec{\ BC}$.
3) En déduire les longueurs AB, AC et BC.
Le triangle ABC est-il rectangle en C?
Réponse :
1)
2)
$\begin{array}{ll}z_{\vec{\ AB}} &= z_B – z_A \\&= 2 + i – (-1 + i) =3 \end{array}$
$\begin{array}{ll}z_{\vec{\ AC}} &= z_C – z_A \\&= -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}i – (-1 + i) \\&=\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}i \end{array}$
$\begin{array}{ll}z_{\vec{\ BC}} &= z_C – z_B \\&= -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}i – (2 + i) \\&= -\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}i\end{array}$
3) On a donc $AB = |3| = 3$
$\begin{array}{ll} AC &= \left|\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}i \right| \&= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}} \\&=\sqrt{\dfrac{5}{2}} \end{array}$
$\begin{array}{ll}BC &= \left|-\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}i \right| \\&= \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4}} \\&=\sqrt{\dfrac{17}{2}}\end{array}$
Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
Or $AB^2 + AC^2 = 9 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{23}{2}$ et $BC^2 = \dfrac{17}{2}$.
Par conséquent $AB^2+AC^2 \neq BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exercice 27:
Placer dans un repère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :
$a=3 i$, $b=7+2 i$, $c=2-3 i$ et $d=-5-2 i$
Déterminer par le calcul la nature du quadrilatère $A B C D$.
Réponse :
D'après la figure, $A B C D$ paraît être un parallélogramme.
Il semblerait aussi que tous ses côtés aient la même longueur (on peut s'en rendre compte en comparant ces longueurs avec un compas).
Montrons d'abord que $A B C D$ est un parallélogramme en montrant que $\vec{\ A B}=\vec{\ D C}$
$\begin{aligned}z_{\vec{\ A B}}&=z_{B}-z_{A}\\&=7+2 i-3 i\\&=7-i\end{aligned}$ et
$\begin{aligned}z_{\vec{\ D C}}&=z_{C}-z_{D}\\&=2-3 i+5+2 i\\&=7-i\end{aligned}$
Les vecteurs $\vec{\ A B}$ et $\vec{\ D C}$ ont la même affixe.
Ces vecteurs sont donc égaux.
$A B C D$ est bien un parallélogramme.
Montrons maintenant que $A B=A D$.
$\begin{aligned}A B&=|b-a|\\&=|7+2 i-3 i|\\&=|7-i|\\&=\sqrt{7^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{50}\end{aligned}$
$\begin{aligned}A D&=|d-a|\\&=|-5-2 i-3 i|\\&=|-5-5 i|\\&=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{50}\end{aligned}$
On a bien : $A B=A D$.
$A B C D$ est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
$A B C D$ est un losange.
Exercice 28 :
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=4+3 i$, $b=8-5 i$ et $c=12+7 i$.
a) Prouver que $A B C$ est un triangle isocèle rectangle.
b) Déterminer par le calcul l'affixe du point $D$ tel que $A B D C$ soit un carré.
Réponse :
$a=4+3 i$ ; $b=8-5 i$ ; $c=12+7 i$
a) Calculons les distances $A B$, $A C$ et $B C$
$\begin{aligned}A B&=|b-a|\\&=|8-5 i-4-3 i|\\&=|4-8 i|\\&=\sqrt{4^{2}+(-8)^{2}}\\&=\sqrt{16+64}\\&=\sqrt{80}\end{aligned}$
$\begin{aligned}A C&=|c-a|\\&=|12+7 i-4-3 i|\\&=|8+4 i|\\&=\sqrt{8^{2}+4^{2}}\\&=\sqrt{64+16}\\&=\sqrt{80}\end{aligned}$
$\begin{aligned}B C&=|c-b|\\&=|12+7 i-8+5 i|\\&=|4+12 i|\\&=\sqrt{4^{2}+12^{2}}\\&=\sqrt{16+144}\\&=\sqrt{160}\end{aligned}$
On remarque que $A B=A C$.
Le triangle $A B C$ est isocèle en $A$.
D'autre part $A B^{2}+A C^{2}=80+80=160=B C^{2}$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est aussi rectangle en $A$.
b) Déterminons le point $D$ pour que $A B D C$ soit un parallélogramme.
Nous verrons après que $A B D C$ sera alors en fait un carré.
Soit $d$ l'affixe (inconnue pour l'instant) du point $D$.
La phrase « $A B D C$ est un parallélogramme » se traduit successivement par $\vec{\ A B}=\vec{\ C D}$
$z_{\vec{\ A B}}=z_{\vec{\ C D}}$
$b-a=d-c$
$d=c+b-a$
$d=12+7 i+8-5 i-4-3 i$
$d=16-i$
$A B D C$ est un parallélogramme si et seulement si le point $D$ a pour coordonnées $(16 ;-1) .$
Or nous avons montré que le triangle $A B C$ est un triangle rectangle en $A$.
Le parallélogramme $A B D C$ a un angle droit (c'est donc un rectangle) et deux côtés consécutifs de même longueur; c'est un carré.
$A B D C$ est un donc un carré si et seulement si le point $D$ a pour coordonnées $(16 ;-1)$.
Transformations
Exercice 29
Déterminer la traduction complexe de la transformation $f $ dans chacun des cas suivants:
1) $f $ est la translation de vecteur $\vec{\ u}(-5 ; 2) $
2) $f $ est I'homothétie de rapport $\frac{-1}{2} $ et de centre $\Omega(-4+i) $
3) $f$ est la rotation d’angle $\frac{3 \pi}{4}$ et de centre 0
4) $f$ est la rotation d’angle $\frac{4 \pi}{3}$ et de centre $\Omega(-4+i) $
Réponse :
1) La traduction complexe de la translation f de vecteur $ \vec{\ u}(-5 ; 2) $ est: $z^{\prime}=z-5+2 i$
2) La traduction complexe de l'homothétie $f$ de rapport $\frac{-1}{2}$ et de centre $\Omega(-4+i) $ est :
$\begin{array}{ll} z^{\prime}&=-\frac{1}{2}[z-(-4+i)]+(-4+i) \\&=-\frac{1}{2} z-6+i \frac{3}{2}\end{array}$
3) La traduction complexe de la rotation $f $ d'angle $ \frac{3 \pi}{4}$ et de centre O est: $z^{\prime}=e^{3 i \pi / 4} z $
4) La traduction complexe de la rotation $f$ d'angle $\frac{4 \pi}{3}$ et de centre $\Omega(-4+i) $ est:
$z^{\prime}=e^{4 i \pi / 3}(z+4-i)-4+i $
Exercice 30
On considère les points $A(1+ i) $ et $B(-1+ 2i) $.
1) Déterminer l'affixe de C tel que le quadrilatère OACB soit un parallélogramme.
2) Déterminer l'affixe du point D, image de C par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ .
3) Déterminer l'affixe du point E antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{6}$.
4) Démontrer que D est l'image de E par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$.
En déduire la nature du triangle ODE.
Réponse :
On considère les points $A(1+ i) $ et $B(-1 + 2i) $.
1) Le quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si $\vec{\ OA}=\vec{\ BC}$ .
En termes complexes, cela se traduit par :
$\begin{array}{ll} \vec{\ OA}=\vec{\ BC} &\Leftrightarrow z_\vec{\ OA}=z_\vec{\ BC} \\&\Leftrightarrow z_A=z_C-z_B \\&\Leftrightarrow z_C=3i \end{array}$
Donc, le quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si l'affixe du point C est $3i$.
2) La traduction complexe de la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ est :
$z’=e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}}(z-z_B)+z_B$
Soit: $z’=e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}}(z+1-2i)-1+2i$
Comme D est l'image de C, on obtient facilement maintenant l'affixe de D :
$\begin{array}{ll} z_D&=(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i \dfrac{1}{2})(1+i)-1+2i \\&=\dfrac{\sqrt{3}-3}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}+5}{2} \end{array}$
L'affixe du point D est donc :
$z_D=\dfrac{\sqrt{3}-3}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}+5}{2}$
3) E est l'antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ si et seulement si E est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{6}$ .
Eh oui, c'est la rotation inverse.
La traduction complexe de la rotation de centre A et l'angle $-\dfrac{\pi}{6}$ est la suivante:
$z’=e^{-i\tiny{\dfrac{\pi}{6}}}(z-z_A)+z_A$
Soit : $z’=e^{-i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}}(z-1-i)+1+i $
On obtient donc facilement l'affixe du point E :
$\begin{array}{ll} z_E&=(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - i \dfrac{1}{2})(2i-1)+1+i\\&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2+i (\sqrt{3}+\dfrac{3}{2})\end{array}$
L'affixe du point E est donc la suivante :
$z_E =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2+i (\sqrt{3}+\dfrac{3}{2}) $
4) La tradcution complexe de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ est : $ z’=e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}}z$
L'image de E par cette rotation a pour affixe :
$e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}} z_E=(\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i \dfrac{1}{2})[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2+i (\sqrt{3}+\dfrac{3}{2})]$
$e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}} z_E =-\dfrac{3}{4} +\sqrt{3} -\dfrac{1}{2} (\sqrt{3}+\dfrac{1}{2})+i(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}+1+\dfrac{{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{4})$
$e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}} z_E =-\dfrac{\sqrt{3}-3}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}+5}{2}$
Soit en fait : $e^{i \tiny{\dfrac{\pi}{6}}} z_E =z_D$
Donc, les rotations sont des isométries.
On en déduit que OE = OD et donc que ODE est isocèle.
Exercice 31 :
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :
1) $z'= z+2-3i$
2) $z'= -4 z+2-3i$
3) $z'=i z+2+i$
4) $z'=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} z+2-i$
Réponse :
1) $ z'=z+2-3i$
C'est du cours, f est la translation de vecteur d'afflixe $2-3 i $
2) $ z’=-4 z+2 - 3i$.
Ici, $f$ est l'homothétie de rapport -4 et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est un point invariant par $f$, donc:
$\begin{array}{ll}\omega=-4 \omega+2-3i &\Leftrightarrow \omega+4 \omega=2-3i \\&\Leftrightarrow \omega =\frac{2}{5}-\frac{3}{5} i\end{array}$
3) $ z’=i z+2+i$
est la rotation d'angle $arg(i)\equiv \frac{\pi}{2}$ et centre $\Omega$ d'aftixe $\omega$ est un point invariant par $f$, donc:
$\begin{array}{ll} \omega=i \omega+2+i&\Leftrightarrow \omega-i \omega=2+i \\&\Leftrightarrow \omega =\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2} I \end{array} $
4) $z’=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} z+2-i$
on a : $| \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} |=1$
Et: $\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \neq 1$
Donc $f $ est la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega $ et d'angle : $\arg \left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)\equiv \frac{2 \pi}{3}[2 \pi]$
$\Omega$ est un point invariant par $f$, donc:
$\begin{array}{ll} \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \omega+2-i &\Leftrightarrow 2\omega=(-1+i \sqrt{3}) \omega + 2(2-i ) \\&\Leftrightarrow 2\omega-(-1+i \sqrt{3}) \omega = 2(2-i ) \\&\Leftrightarrow \omega =\frac{2(2-1)}{3-I \sqrt{3}} =1+\frac{\sqrt{3}}{6}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}\right) \end{array}$
Du coup, $f $ est la rotation d'angle $\frac{2 \pi}{3}$ et de centre $\Omega$ d'affixe : $1+\frac{\sqrt{3}}{6}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}\right) $
Exercice 32 :
Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $z^{\prime}=(2-2 i) z+1$.
Déterminer l'affixe du point $B’$ , l’image par $f$ du point $B$ d'affixe $b=3+5 i$.
Réponse :
Soit $b^{\prime}$ l'affixe du point $B^{\prime} .$
On a :
$\begin{aligned}b^{\prime}&=(2-2 i)b+1\\&=(2-2 i)(3+5 i)+1\\&=6+10 i-6 i-10 i^{2}+1\\&=7+4 i+10\end{aligned}$
Donc $b^{\prime}=17+4 i$
Exercice 33 :
On note $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $z^{\prime}=(1+2 i) z-2-4 i .$
On considère les points $A$ d'affixe $4+i$ et $B$ d'affixe $1+i$
a) Préciser les images par $f$ de $A$ et $B$.
b) Montrer que $f$ admet un unique point invariant (c'est-à-dire tel que $f(M)=M$ ).
Réponse :
a) • Soit $a$ l'affixe de $A ;$
on a : $a=4+i$.
Soit $a^{\prime}$ l'affixe de l'image de $A$ par $f$.
On a
$\begin{aligned} a^{\prime}&=(1+2 i)(4+i)-2-4 i\\&=4+i+8 i+2 i^{2}-2-4 i\\&=2+5 i-2\\&=5 i \end{aligned}$
Donc $a^{\prime}=5 i$
Soit $b$ l'affixe de $B$;
on a : $b=1+i$.
• Soit $b^{\prime}$ l'affixe de l'image de $B$ par $f$
$\begin{aligned} b^{\prime}&=(1+2 i)(1+i)-2-4 i\\&=1+i+2 i+2 i^{2}-2-4 i\\&=-1-2-i\\&=-3-i \end{aligned}$
Donc : $b^{\prime}=-3-i$
b) $M(z)$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(M)=M$.
$f(M)=M$ équivaut à $z^{\prime}=2$
$\begin{aligned} &(1+2 i) z-2-4 i=z \\&\Leftrightarrow(1+2 i) z-z=2+4 i \\&\Leftrightarrow 2 i z=2+4 i \end{aligned}$
d'où
$\begin{aligned} z&=\frac{2+4 i}{2 i}\\&=\frac{1+2 i}{i}\\&=\frac{(1+2 i) \times(-i)}{i \times(-i)}\\&=\frac{-i-2 i^{2}}{1}\\&=2-i \end{aligned}$
La transformation $f$ admet un unique point invariant : le point d'affixe $2-i$.
Exercice 34 :
Déterminer les éventuels points invariants de la transformation $f$ qui à tout point d'affixe $z$ distincte de $3 i$ associe le point d'affixe $z^{\prime}=\frac{3 i z-7}{z-3 i}$.
Réponse :
$\frac{3 i z-7}{z-3 i}=z$ et $z \neq 3 i$
$\Leftrightarrow 3 i z-7=z(z-3 i)$ et $z \neq 3 i$
$\Leftrightarrow 3 i z-7=z^{2}-3 i z$ et $z \neq 3 i$
$\Leftrightarrow z^{2}-6 i z+7=0$ et $z \neq 3 i$
$M(z)$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(M)=M$.
$f(M)=M$ équivaut à $z^{\prime}=z$
On pose $z=x+i y$ ; avec $x$ et $y$ réels
$(x+i y)^{2}-6 i(x+i y)+7=0$
$x^{2}+2 i x y+i^{2} y^{2}-6 i x-6 i^{2} y+7=0$
$x^{2}-y^{2}+6 y+7+i(2 x y-6 x)=0$
$\left\{\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+6 y+7=0 \\&2 x y-6 x =0 \end{aligned}\right.$
$\left\{\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+6 y+7=0 \\&2 x(y-3) =0 \end{aligned}\right.$
$\left\{\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+6 y+7=0 \\&x=0\ ou\ y=3 \end{aligned}\right.$
$\left\{\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+6 y+7=0 \\&x=0 \end{aligned}\right.\ ou \ \left\{\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+6 y+7=0 \\& y=3 \end{aligned}\right.$
$\left\{\begin{aligned}&-y^{2}+6 y+7=0 \\&x=0 \end{aligned}\right.\ ou \ \left\{\begin{aligned}&x^{2}+16=0 \\& y=3 \end{aligned}\right.$
$\left\{\begin{aligned}&y=-1\ ou\ y=7 \\&x=0 \end{aligned}\right.\ ou \ \left\{\begin{aligned}&x^{2}+16=0 \\& y=3 \end{aligned}\right.$
L'équation $x^{2}+16=0$ n'a pas de solution réelle.
La transformation $f$ a donc deux points invariants : les points d'affixes $z_{1}=-i$ et $z_{2}=7 i$.
Ensembles de points
Exercice 35:
1) Placer dans un repère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+i, b=-2$ et $c=2 i-1$.
2) Décrire dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant la condition donnée :
a) $|z-1-i|=|z+2|$
b) $|z+2|=\sqrt{3}$
c) $|z-2 i+1| \leqslant 2$
Réponse :
1) Le point $A$ a pour coordonnées $A(1 ; 1)$, le point $B(-2 ; 0)$ et le point $C(-1 ; 2)$
2) Soit $M(z)$
a) $|z-1-i|=|z+2|$ équivaut à $|z-a|=|z-b|$,
c'est à dire $A M=B M$.
L'ensemble des points $M$ cherché est la médiatrice du segment $[A B]$.
b) $|z+2|=\sqrt{3}$ équivaut à $|z-b|=\sqrt{3}$,
c'est à dire $B M=\sqrt{3}$.
L'ensemble des points $M$ cherché est le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{3}$.
c) $|z-2 i+1| \leq 2$ équivaut à $|z-c| \leq 2$,
c'est à dire $C M \leq 2$.
L'ensemble des points $M$ cherché est le disque fermé (bord compris) de centre $C$ et de rayon $2 .$
Exercice 36 :
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
a) $|z-i|=|z+1|$
b) $|z-1-i|=|3-4 i|$
c) $|z|=1$
Réponse :
a) Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $|z-i|=|z+1|$.
$(E)=\{M(z)\ tels\ que\ |z-i|=|z-(-1)|\}$.
On pose $A$ le point d'affixe $z_{A}=i$ et $B$ celui d'affixe $z_{B}=-1$
$\begin{aligned}(E)&=\left\{M(z)\ tels\ que\ |z-z_{A}|=|z-z_{B}|\right\}\\&=\left\{M(z)\ tels\ que\ A M=B M\right\}\end{aligned}$.
L'ensemble $(E)$ est la médiatrice de $[A B]$
b) Soit $(F)$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $|z-1-i|=|3-4 i|$.
$\begin{aligned}(F)&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-1-i|=|3-4 i|\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-(1+i)|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-(1+i)|=5\}\end{aligned}$
On pose $C$ le point d'affixe $z_{C}=1+i$
$\begin{aligned}(F)&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-z_{C}|=5\}\\&=\{M\ tels\ que\ C M=5\}\end{aligned}$
L'ensemble $(F)$ est le cercle de centre $C$ et de rayon 5.
c) Soit $(G)$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $|z|=1$
$\begin{aligned}(G)&=\{M(z)\ tels\ que\ |z|=1\}\\&= \{M(z)\ tels\ que\ |z-z_{O} |=1\}\\&=\{M\ tels\ que\ O M=1\}\end{aligned}$
L'ensemble $(G)$ est le cercle de centre $O$, l'origine du repère, et de rayon $1 .$
Exercice 37 :
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \neq-2$ tels que $\left|\frac{z-4 i}{z+2}\right|=1$.
Réponse :
Soit $(E)$ l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|\frac{z-4 i}{z+2}|=1$.
$\begin{aligned}(E)&=\{M(z)\ tels\ que\ |\frac{z-4 i}{z+2}|=1\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ \frac{|z-4 i|}{|z+2|}=1\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-4 i|=|z+2|\}\end{aligned}$
Soient $A$ et $B$ deux points du plan d'affixes respectives $z_{A}=4 i$ et $z_{B}=-2$
$\begin{aligned}(E)&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-z_{A}|=|z-z_{B}|\}\\&=\{M\ tels\ que\ A M=B M\}\end{aligned} .$
L'ensemble $(E)$ est donc la médiatrice du segment $[A B]$.
Exercice 38:
1) Démontrer que, pour tout nombre complexe $Z$, on a l'égalité : $Z \bar{Z}=|Z|^{2}$.
2) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $\left(z+\frac{1}{2}\right) \overline{\left(z+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{4}$.
Réponse :
1) Soit $Z=x+i y$ un nombre complexe ; $(x;y) \in I\!R^2$
On sait alors que $\bar{Z}=x-i y$.
$\begin{aligned} Z \bar{Z}&=(x+i y)(x-i y)\\&=x^{2}+y^{2}\\&=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}\\&=(|Z|)^{2}\end{aligned}$
Remarque :
la démonstration peut se faire aussi avec l'écriture exponentielle mais nécessite de prendre en compte le cas particulier de zéro qui n'admet pas d'écriture exponentielle.
2) Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que $\left(z+\frac{1}{2}\right) \overline{\left(z+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{4}$.
$\begin{aligned}(E)&=\{M(z)\ tels\ que\ \left(z+\frac{1}{2}\right) \overline{\left(z+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{4}\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ |z+\frac{1}{2}|^{2}=\frac{1}{4}\}\end{aligned}$
(on applique le résultat de la question 1) avec $Z=z+\frac{1}{2}$ )
$(E)=\{M(z)\ tels\ que\ |z+\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\} .$
On pose $A$ le point du plan complexe d'affixe $z_{A}=-\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}(E)&=\{M(z)\ tels\ que\ |z-z_{A}|=\frac{1}{2}\}\\&=\{M(z)\ tels\ que\ A M=\frac{1}{2}\}\end{aligned}$
L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $\frac{1}{2}$.
Exercice 39 :
On considère l'application $f$ qui, à tout nombre complexe $z$, associe le nombre complexe $f(z)=\frac{2-i z}{1-z}$.
On pose $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels.
1) Écrire $f(z)$ sous forme algébrique.
2) En déduire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit réel.
Réponse :
On considère l'application $f$ qui, à tout nombre complexe $z$, associe le nombre complexe $f(z)=\frac{2-i z}{1-z}$
On pose $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels.
$\begin{aligned}1)\ f(z) &=\frac{2-i z}{1-z}\\&=\frac{2-i(x+i y)}{1-(x+i y)}\\&=\frac{2-i x+y}{1-x-i y}\\&=\frac{(2+y-i x)(1-x+i y)}{(1-x-i y)(1-x+i y)} \\ &=\frac{2-2 x+2 i y+y-x y+i y^{2}-i x+i x^{2}+x y}{(1-x)^{2}+y^{2}} \\ &=\frac{2-2 x+y+i\left(2 y+y^{2}-x+x^{2}\right)}{(1-x)^{2}+y^{2}}\end{aligned}$
$Re(f(z))=\frac{2-2 x+y}{(1-x)^{2}+y^{2}}$ et $Im(f(z))=\frac{x^{2}+y^{2}-x+2 y}{(1-x)^{2}+y^{2}}$
2) Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que $f(z)$ soit réel.
$\begin{aligned}(E)&=\{M\ tels\ que\ \frac{x^{2}+y^{2}-x+2 y}{(1-x)^{2}+y^{2}}=0\}\\&=\{M\ tels\ que\ x^{2}+y^{2}-x+2 y=0\ et\ (1-x)^{2}+y^{2} \neq 0\}\\&=\{M\ tels\ que\ x^{2}+y^{2}-x+2 y=0\ et\ \left[(1-x)^{2} \neq 0\ ou\ y^{2} \neq 0\right]\}\\&=\{M\ tels\ que\ x^{2}+y^{2}-x+2 y=0\ et\ (x, y) \neq(1,0)\}\\&=\{M\ tels\ que\ (x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(y+1)^{2}-1=0\ et\ (x, y) \neq(1,0)\}\\&=\{M\ tels\ que\ (x-\frac{1}{2})^{2}+(y+1)^{2}=\frac{5}{4}\ et\ (x, y) \neq(1,0)\} \end{aligned}$
L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre le point $\Omega$ de coordonnées $\left(\frac{1}{2} ;-1\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{5}}{2}$, privé du point $A$ de coordonnées $(1 ; 0)$.
VIII. Module et arguments
Exercice 40 :
Indiquer le module et un argument des nombres suivants:
a) $2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right)\right]$
b) $2 i$
c) $-3 i$
d) 1
e) $-2$
Réponse :
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \begin{aligned}nombre\\ complexe\end{aligned} & module & \begin{aligned}argument\\ principal\end{aligned}\\\hline \left.2 [\cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right)\!+\!i \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right)\!\right]& 2& \frac{5 \pi}{12} \\\hline 2 i & 2& \frac{ \pi}{2}\\\hline -3i & 3&- \frac{\pi}{2}\\\hline 1 & 1& 0\\\hline -2 & 2& -\pi\\ \hline \end{array}$
Exercice 41:
Déterminer le module et un argument des nombres complexes $a=1+i \sqrt{3}$, $b=1-i$, $c=\sqrt{3}+i$ et $d=\sqrt{3}-i .$
Réponse :
$•\ a=1+i \sqrt{3}$
On a:
$\begin{aligned} |a|&=|1+i \sqrt{3}|\\&=\sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\sqrt{4}=2 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned}a&=1+i \sqrt{3}\\&=2\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$
Le module de $a$ est 2 et son argument principal est $\frac{\pi}{3}$.
$•\ b=1-i$
On a:
$\begin{aligned} |b|&=|1-i|\\&=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\\&=\sqrt{2} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} b&=1-i\\&=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \end{aligned}$
Le module de $b$ est $\sqrt{2}$ et son argument principal est $-\frac{\pi}{4}$.
$•\ c=\sqrt{3}+i$
On a :
$\begin{aligned} |c|&=|\sqrt{3}+i|\\&=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}\\&=\sqrt{4}=2 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} c&=\sqrt{3}+i\\&=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)\\&=2\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right) \end{aligned}$
Le module de $c$ est 2 et son argument principal est $\frac{5 \pi}{6}$.
$•\ d=\sqrt{3}-i$
On a :
$\begin{aligned} |d|&=|\sqrt{3}-i|\\&=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+(-1)^{2}}\\&=\sqrt{4}=2 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} d&=\sqrt{3}-i\\&=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)\\&=2\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right) \end{aligned}$
Le module de $d$ est 2 et son argument principal est $\frac{-\pi}{6}$
Exercice 42:
Déterminer le module et l'argument principal de chacun des nombres complexes suivants :
$z_{1}=-1+i$
$z_{2}=i$
$z_{3}=-2$
$z_{4}=2-2 i \sqrt{3}$
$z_{5}=1+\frac{1}{i}$
Réponse :
• On a :
$\begin{aligned} \left|z_{1}\right|&=|-1+i|\\&=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\\&=\sqrt{2} \end{aligned}$ et
$\begin{aligned} z_{1}&=-1+i\\&=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\&=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right) \end{aligned}$
Le module de $z_{1}$ est $\sqrt{2}$ et son argument principal est $\frac{3 \pi}{4}$.
• On a :
$\begin{aligned} z_{2}&=i\\&=1 \times(0+1 \times i)\\&=1 \times\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$.
Le module de $z_{2}$ est donc 1 et son argument principal est $\frac{\pi}{2}$
• On a:
$\begin{aligned} z_{3}&=-2\\&=2(-1+0 \times i)\\&=2(\cos \pi+i \sin \pi) \end{aligned}$.
Le module de $z_{3}$ est donc 2 et son argument principal est $\pi$.
• On a :
$\begin{aligned} \left|z_{4}\right|&=|2-2 i \sqrt{3}|\\&=\sqrt{2^{2}+(-2 \sqrt{3})^{2}}\\&=\sqrt{4+4 \times 3}\\&=\sqrt{4 \times 4}\\&=4 \end{aligned}$.
et
$\begin{aligned} z_{4}&=2-2 i \sqrt{3}\\&=4\left(\frac{2}{4}-i \frac{2 \sqrt{3}}{4}\right)\\&=4\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \end{aligned}$
Le module de $z_{4}$ est donc 4 et son argument principal est $-\frac{\pi}{3}$
• Pour le dernier, on transforme d'abord l'écriture :
$\begin{aligned} z_{5}&=1+\frac{1}{i}\\&=1+\frac{1 \times i}{i \times i}\\&=1+\frac{i}{-1}\\&=1-i \end{aligned}$.
On a :
$\begin{aligned}\left|z_{5}\right|&=|1-i|\\&=\sqrt{1^{2}+(-i)^{2}}\\&=\sqrt{2} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} z_{5}&=1-i\\&=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \end{aligned}$
Le module de $z_{5}$ est $\sqrt{2}$ et son argument principal est $-\frac{\pi}{4}$.
Exercice 43:
Déterminer le module et un argument de $z=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(i-1)$.
Réponse :
On a :
$\begin{aligned}|z|&=\left|\frac{1-\sqrt{3}}{2}(i-1)\right|\\&=\left|\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right||-1+i|\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{2} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned}z&=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(i-1)\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\end{aligned}$
Le module de $z$ est $\frac{\sqrt{3}-1}{2} \sqrt{2}$ et son argument principal est $-\frac{\pi}{4}$.
Exercice 44:
Soient $z_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i$ et $z_{2}=-\sqrt{2}-\sqrt{2} i$ deux complexes conjugués.
Donner le module et un argument de chacun d'eux.
Réponse :
$z_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i$ et $z_{2}=-\sqrt{2}-\sqrt{2} i$ sont deux nombres complexes conjugués.
• On a
$\begin{aligned}\left|z_{1}\right|&=\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}^{2}}\\&=\sqrt{2+2}\\&=\sqrt{4}\\&=1 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned}z_{1}&=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right) \end{aligned}$
Le module de $z_{1}$ est donc 2 et son argument principal est $\frac{3 \pi}{4}$.
• Comme $z_{2}$ est le conjugué de $z_{1}$, il a le même module, c'est-à-dire 2 et un argument opposé, c'est-à-dire $-\frac{3 \pi}{4}$.
IX. D'une forme à l'autre
Exercice 45
Mettre sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants $5-5 i$,$-1+i \sqrt{3},-2 i \sqrt{3}$, $3+i \sqrt{3}$, $2+\frac{2}{\sqrt{3}} i$,$-4\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$, $\frac{\sqrt{6}}{1+i}$, $\frac{2}{1-i \sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}$
Réponse :
$•\ 5-5 i$
On a
$\begin{aligned}|5-5 i|&=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}\\&=\sqrt{50}\\&=5 \sqrt{2} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} 5-5 i & =5 \sqrt{2}\left(\frac{5}{5 \sqrt{2}}-i \frac{5}{5 \sqrt{2}}\right)\\&=5 \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\&=5 \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=5 \sqrt{2}^{-} \left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] \end{aligned}$
$•\ -1+i \sqrt{3}$
On a
$\begin{aligned} |-1+i \sqrt{3}|&=\sqrt{(-1)^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\sqrt{4}=2 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} -1+i \sqrt{3}&=2\left(\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=2\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) \end{aligned}$
$•\ -2 i \sqrt{3}$
On a
$\begin{aligned} |-2 i \sqrt{3}|&=\sqrt{0^{2}+(-2 \sqrt{3})^{2}}\\&=\sqrt{12}=2 \sqrt{3} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} -2 i \sqrt{3}&=2 \sqrt{3}(0-i)\\&=2 \sqrt{3}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{aligned}$
$•\ 3+i \sqrt{3}$
On a
$\begin{aligned}|3+i \sqrt{3}|&=\sqrt{3^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\sqrt{12}\\&=2 \sqrt{3} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} 3+i \sqrt{3}&=2 \sqrt{3}\left(\frac{3}{2 \sqrt{3}}+i \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\right)\\&=2 \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)\\&=2 \sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \end{aligned}$
$•\ 2+\frac{2}{\sqrt{3}} i$
On a
$\begin{aligned} \left|2+\frac{2}{\sqrt{3}} i\right|&=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}}\\&=\sqrt{4+\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\&=\frac{4 \sqrt{3}}{3} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} 2+\frac{2}{\sqrt{3}} i&=\frac{4 \sqrt{3}}{3}\left(\frac{3}{2 \sqrt{3}}+i \frac{1}{2}\right)\\&=\frac{4 \sqrt{3}}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)\\&=\frac{4 \sqrt{3}}{3}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \end{aligned}$
$\begin{aligned} •\ -4&\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\\&=-4 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)-4 i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\\&=-4 \frac{\sqrt{2}}{2}-4 i \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} i \end{aligned}$
On a
$\begin{aligned}|-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} i|&=\sqrt{(-2 \sqrt{2})^{2}+(-2 \sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{16}=4 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} -2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} i&=4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=4\left(\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\right) \end{aligned}$
$\begin{aligned}•\ \frac{\sqrt{6}}{1+i}&=\frac{\sqrt{6}(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{6} i}{1^{2}+1^{2}}\\&=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} i \end{aligned}$
On a
$\begin{aligned} \left|\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} i\right|&=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} i&=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\sqrt{3}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \end{aligned}$
$\begin{aligned}•\ \frac{2}{1-i \sqrt{3}}&=\frac{2(1+i \sqrt{3})}{(1-i \sqrt{3})(1+i \sqrt{3})}\\&=\frac{2+2 i \sqrt{3}}{1^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\frac{2}{4}+\frac{2 i \sqrt{3}}{4}\\&=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$
et alors $\begin{aligned}\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$
$\begin{aligned}•\ \frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{i \sqrt{2}}{2} \end{aligned}$
On a
$\begin{aligned} \left|\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{i \sqrt{2}}{2}\right|&=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{2}\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{i \sqrt{2}}{2}&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \end{aligned}$
Exercice 46 :
Mettre chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle:
$z_{1}=1+i \sqrt{3}$
$z_{2}=2-2 i$
$z_{3}=-2 i$
$z_{4}=3$
$z_{5}=-3+i \sqrt{3}$
Réponse :
• On a $z_{1}=1+i \sqrt{3}$
$\begin{aligned}\left|z_{1}\right|&=\sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}$
et
$\begin{aligned} z_{1}&=2\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\\&=2 \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{3}}\end{aligned}$.
• On a $z_{2}=2-2 i$
$\begin{aligned}\left|z_{2}\right|&=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\\&=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned}z_{2}&=2 \sqrt{2}\left(\frac{2}{2 \sqrt{2}}-i \frac{2}{2 \sqrt{2}}\right)\\&=2 \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=2 \sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\\&=2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{-\frac{i}{4}} \end{aligned}$
• On a $z_{3}=-2 i$
$\begin{aligned} \left|z_{3}\right|&=|-2 i|\\&=2|i|\\&=2 \times 1=2\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}z_{3}&=2(0-1 \times i)\\&=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\\&=2 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{2}}\end{aligned}$
• On a $z_{4}=3$
$\begin{aligned}\left|z_{4}\right|=|3|=3 \end{aligned}$ et
$\begin{aligned}z_{4}&=3(1+0 \times i)\\&=3(\cos 0+\sin 0)\\&=3 \mathrm{e}^{i 0} \end{aligned}$.
• On a $z_{5}=-3+i \sqrt{3}$
$\begin{aligned}\left|z_{5}\right|&=\sqrt{(-3)^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\&=\sqrt{9+3}=2 \sqrt{3} \end{aligned}$
et
$\begin{aligned}z_{5}&=2 \sqrt{3}\left(-\frac{3}{2 \sqrt{3}}+i \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\right)\\&=2 \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)\\&=2 \sqrt{3}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)\\&=2 \sqrt{3} \mathrm{e}^{i \frac{5 \pi}{6}} \end{aligned}$
Exercice 47
Déterminer le module et un argument de:
1) $ z = \dfrac{1 + i}{1-i} $
2) $ z= \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i}$
3) $ z = \dfrac{-\sqrt{2}}{1 + i}$
Réponse :
1) $|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$ \begin{array}{ll} 1 + i &= \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \\&= \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \end{array}$
Par conséquent $ arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} [2\pi] $
$|1 – i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$\begin{array}{ll} 1 – i &= \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \\&= \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \end{array}$
Par conséquent $arg(1-i) = -\dfrac{\pi}{4} [2\pi]$
Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
Et $arg(z) = \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$
On pouvait également déterminer la forme algébrique de $z$
(on obtient $i$) et ensuite déterminer le module et un argument.
2) $\left| 1 + i\sqrt{3}\right| = 2$
$\begin{array}{ll} 1 + i \sqrt{3} &= 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right) \\&= 2\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\right) \end{array}$
Par conséquent $ arg\left(1 + i \sqrt{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} [2\pi] $.
$|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$\begin{array}{ll} 1 + i &= \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \end{array}$
Par conséquent $arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} [2\pi] $
Donc $|z| = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Et $ arg(z) = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} [2\pi] $.
3) $-\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\cos \pi + i \sin \pi\right)$ . C’est un réel négatif !
Donc $arg\left(-\sqrt{2} \right) = \pi [2\pi]$.
$|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$\begin{array}{ll} 1 + i &= \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) \\&= \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \end{array}$
Par conséquent $arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} [2\pi]$
Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
Et $arg(z) = \pi – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi]$.
Exercice 48
Mettre chaque nombre complexe sous forme trigonométrique.
1) $ z = (-1 + i)^5$
2) $ z = \left(\sqrt{3}-i\right)^4$
3) $ z = \dfrac{\left(\sqrt{2}-1\right)i}{1 – i}$
Réponse :
1) $|- 1 + i| = \sqrt{2}$
Donc
$\begin{array}{ll} -1 + i &= \sqrt{2} \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\&= \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4}\right). \end{array}$
Donc $arg(-1 + i) = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi]$.
Par conséquent
$arg\left((-1 + i)^5\right) = 5 \times \dfrac{3\pi}{4} [2\pi]= -\dfrac{\pi}{4} [2\pi]$
Ainsi
$\begin{array}{ll} (-1 + i)^5 &= \sqrt{2}^5\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \\\\ &= 4\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \end{array}$
2) $\left|\sqrt{3}-i \right| = 2$.
$\begin{array}{ll} \sqrt{3}-i &= 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right) \\&= 2\left(\cos \dfrac{-\pi}{6} + i \sin \dfrac{-\pi}{6}\right) \end{array}$
Donc $arg\left(\sqrt{3}-i\right) = -\dfrac{\pi}{6} [2\pi]$.
Par conséquent
$arg\left(\left(\sqrt{3}-i\right)^4\right) = 4 \times \dfrac{-\pi}{6} = -\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$.
Ainsi
$\begin{array}{ll} \left(\sqrt{3} – i\right)^4 &= 2^4\left(\cos \dfrac{-2\pi}{3} + i \sin \dfrac{-2\pi}{3} \right) \\\\ & = 16\left(\cos \dfrac{-2\pi}{3} + i \sin \dfrac{-2\pi}{3} \right) \end{array}$
$\left|\left(\sqrt{2}-1\right)i\right| = \sqrt{2}-1 arg\left(\left(\sqrt{2}-1\right)i\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
$|1-i| = \sqrt{2}$
$\begin{array}{ll} 1-i& = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right)\\& = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \end{array}$
Donc $arg (1-i) = -\dfrac{-\pi}{4}$
Ainsi $|z| = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
Et $arg(z) = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$
Donc
$z = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4} \right)$
Exercice 49
Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1) $ z = \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + i \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6$
2) $ arg(i z) = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi]et |z| = 2$
Réponse :
1) On a
$\begin{array}{ll} z &= \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + i \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6 \\\\ & = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6 \\\\ & = \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\right)^6 \end{array}$
Par conséquent $arg(z) = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi [2\pi] = 0 [2\pi]$.
Donc $z = \cos 0 + i \sin 0$ .
2) On a
$\begin{array}{ll} arg(i z) = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi] &\Leftrightarrow arg(i) + arg(z) = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi] \\ &\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{2} + arg(z) = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi] \\&\Leftrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{4} [2\pi] . \end{array}$
Donc $ z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Exercice 50 :
On donne les nombres complexes :
$ z_1 = \dfrac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}$ et $ z_2 = 1-i$.
1) Donner une forme trigonométrique de $ z_1$, $ z_2$ et $ \dfrac{z_1}{z_2}$.
2) Donner la forme algébrique de $ \dfrac{z_1}{z_2}$.
3) En déduire la forme exacte de $ \cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $ \sin \dfrac{\pi}{12}$.
Réponse :
1) $|z_1| = \dfrac{\sqrt{6 + 2}}{2} = \sqrt{2}$
Donc
$\begin{array}{ll} z_1 &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2} \right) \\&= \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{6} + i \sin \dfrac{-\pi}{6}\right)\end{array}$
$|z_2| = 2$
donc
$\begin{array}{ll} z_2 &= 2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{2}\right) \\&= 2\left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \end{array}$
Par conséquent
$arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \dfrac{-\pi}{6}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} [2\pi]$ .
Et $ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$.
Ainsi $\dfrac{z_1}{z_2} = \cos \dfrac{\pi}{12} + i \sin \dfrac{\pi}{12}$
2) On a
$\begin{array}{ll} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} – i \sqrt{2}}{2}}{1 – i} \\\\ & = \dfrac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2(1-i)} \times \dfrac{1 + i}{1 + i} \\\\ & = \dfrac{\sqrt{6} + i \sqrt{6}-i \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} \\\\ &= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} i \end{array}$
3) En identifiant les formes trigonométriques et algébriques de $\dfrac{z_1}{z_2}$ on obtient :
$\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $ \sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Exercice 51 :
On rappelle les formules trigonométriques :
$ \cos(2a) = 2\cos^2 a-1 $ et $ \sin(2a) = 2 \sin a \cos a$
On note $ z_1 = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha$ avec $\alpha \in[0;\pi[$.
1) Démontrer que $ z_1= 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right) $.
2) En déduire le module et un argument de $ z_1$.
3) Reprendre la question précédente lorsque $ \alpha \in ]\pi;2\pi] $.
Réponse :
1) On a
$\begin{array}{ll} z_1 & = 1 + \cos \dfrac{2 \alpha}{2} + i \sin \dfrac{2\alpha}{2} \\\\ & = 2\cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + 2i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \\\\ & = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right) \end{array}$
2) $\alpha \in [0;\pi[ donc \dfrac{\alpha}{2} \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$
Par conséquent
$\cos \dfrac{\alpha}{2} > 0$ et $ \sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
On a donc fournit la forme trigonométrique de $ z_1$.
Ainsi $\left|z_1 \right| =2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et $arg(z_1) = \dfrac{\alpha}{2} [2\pi] $ .
3) $\alpha \in ]\pi;2\pi] $ donc $\dfrac{\alpha}{2} \in ]\dfrac{\pi}{2};\pi] $
Par conséquent $\cos \dfrac{\alpha}{2} < 0$ et $\sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
Ainsi, l’expression de $z_1$ n’est donc pas donnée sous sa forme trigonométrique.
$\begin{array}{ll} z_1 &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(-\cos \dfrac{\alpha}{2} – i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right) \\\\ &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right) + i \sin \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right)\right) \end{array}$
Donc $\left|z_1\right| = -2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et $arg\left(z_1\right) = \pi + \dfrac{\alpha}{2} [2\pi]$
Exercice 52 :
1. Mettre chacun des nombres suivants sous forme algébrique
$z_{1}=2(\cos \pi+i \sin \pi)$
$z_{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}$
$z_{3}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$
$z_{4}=\frac{1}{2}(\cos \theta+i \sin \theta)$
$z_{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$
2. Les nombres suivants sont-ils sous forme trigonomćtrique?
$z_{1}=-2(\cos \pi+i \sin \pi)$
$z_{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}-i \sin \frac{2 \pi}{3}$
Réponse :
1. On remet sous forme algébrique
$\begin{aligned}z_{1}&=2(\cos \pi+i \sin \pi)\\&=2(-1+i \times 0)\\&=-2 \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{2}&=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\\&=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{3}&=\sqrt{3}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)\\&=\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)\\&=-\frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{4}&=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$
$\begin{aligned} z_{5}&=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}(0-i \times 1)\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2} i \end{aligned}$
2. • Le nombre $z_{1}=-2(\cos \pi+i \sin \pi)$ n'est pas sous forme trigonométrique car le nombre devant la parenthèse est négatif.
Par contre,
$\begin{aligned}z_{1}&=2(-\cos \pi-i \sin \pi)\\&=2(\cos (-\pi)+i \sin (-\pi)) \end{aligned}$
est son écriture trigonométrique.
• Le nombre $z_{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}-i \sin \frac{2 \pi}{3}$ n'est pas non plus sous forme trigonométrique car c'est une différence et non une somme.
Par contre,
$\begin{aligned} z_{2}&=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right) \end{aligned}$
est son écriture trigonométrique.
Exercice 53 :
Mettre chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique :
$z_{1}=4 \mathrm{e}^{i \frac{i}{2}}$
$z_{2}=2 e^{i \frac{2 \pi}{3}}$
$z_{3}=\mathrm{e}^{-i \frac{3 \pi}{4}}$
$z_{4}=\sqrt{2} \mathrm{e}^{i \pi}$
$z_{5}=3 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{6}}$
Réponse :
On remet sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique :
$\begin{aligned} z_{1}&=4 \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2}}\\&=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)\\&=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\&=2 \sqrt{2}+2 i \sqrt{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} z_{2}&=2 e^{i \frac{2 \pi}{3}}\\&=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)\\&=2\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=-1+i \sqrt{3} \end{aligned}$
$\begin{aligned} z_{3}&=\mathrm{e}^{-i \frac{3 \pi}{4}}\\&=\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} z_{4}&=\sqrt{2} \mathrm{e}^{i \pi}\\&=\sqrt{2} \times(-1)\\&=-\sqrt{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{5}&=3 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{6}}\\&=3\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\&=3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\\&=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-i \frac{3}{2} \end{aligned}$
Exercice 54 :
On considère les nombres complexes $z_{1}=1+i$ et $z_{2}=1-i \sqrt{3}$.
1. Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$.
2. En déduire le module et un argument des nombres complexes suivants : $\bar{z}_{1}$, $z_{1} z_{2}$, $\frac{1}{z_{2}}$, $\frac{z_{1}}{z_{2}}$, $z_{1}{ }^{3}$.
Réponse :
$z_{1}=1+i$ et $z_{2}=1-i \sqrt{3}$.
1. • On a $\left|z_{1}\right|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ et
$\begin{aligned}\frac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+i \times \frac{1}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \end{aligned}$
donc $\frac{\pi}{4}$ est un argument de $z_{1}$.
• On a $\left|z_{2}\right|=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2$ et
$\begin{aligned}\frac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}&=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\end{aligned}$
donc $-\frac{\pi}{3}$ est un argument de $z_{2}$.
2. On a :
$•\ \left|\bar{z_{1}}\right|=\left|z_{1}\right|=\sqrt{2}$ et
$\begin{aligned}\arg \left(\overline{z_{1}}\right)&\equiv -\arg \left(z_{1}\right)+k \times 2 \pi\\&\equiv-\frac{\pi}{4}+k \times 2 \pi \quad(k \in ℤ) \end{aligned}$
$•\ \left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \times\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{2}$ et
$\begin{aligned}\arg \left(z_{1} z_{2}\right)& \equiv \arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right)+k \times 2 \pi\\& \equiv -\frac{\pi}{12}+k \times 2 \pi \quad (k \in ℤ) \end{aligned}$
$\begin{aligned}•\ \left|\frac{1}{z_{2}}\right|=\frac{1}{\left|z_{2}\right|}=\frac{1}{2} \end{aligned}$ et
$\begin{aligned} \arg \left(\frac{1}{z_{2}}\right)&\equiv -\arg \left(z_{2}\right)+k \times 2 \pi\\&\equiv \frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi \quad (k \in ℤ)\end{aligned}$
$\begin{aligned}•\ \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$ et
$\begin{aligned} \arg \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)&\equiv \arg \left(z_{1}\right)-\arg \left(z_{2}\right)+k \times 2 \pi\\&\equiv \frac{7 \pi}{12}+k \times 2 \pi \quad (k \in ℤ) \end{aligned}$
X. Application à la géométrie
Exercice 55 :
Soit $A$ et $B$ les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$ et $z_{B}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-2 i$
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{(\vec{\ u} ; \vec{\ A B})}$
Réponse :
$A$ et $B$ sont les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$ et $z_{B}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-2 i$.
$\overline{(\vec{\ u} ; \vec{\ A B})} \equiv \arg \left(z_{B}-z_{A}\right) [2 \pi]$
$\begin{aligned} z_{B}-z_{A}&=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-2 i-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} i \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} i\right|&=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}\\&=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt{3} \end{aligned}$
$\begin{aligned}z_{B}-z_{A}&=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)\\&=\sqrt{3}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \end{aligned}$
donc $\arg \left(z_{B}-z_{A}\right)\equiv -\frac{\pi}{3}[2 \pi]$
Donc $\overline{(\vec{\ u} ; \vec{\ A B})}\equiv-\frac{\pi}{3} [2 \pi]$
Exercice 56 :
Soit $A, B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=-1+i \sqrt{3}$ et $z_{B}=-1-i \sqrt{3}$ et $z_{c}=-2$
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{(\vec{\ C A} ; \vec{\ C B})}$
Réponse :
$A$, $B$ et $C$ sont les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=-1+i \sqrt{3}$ , $z_{B}=-1-i \sqrt{3}$ et $z_{C}=-2$.
$\overline{(\vec{\ C A}, \vec{\ C B})}\equiv \arg \left(\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}\right) [2 \pi]$
$\begin{aligned} \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}&=\frac{-1-i \sqrt{3}+2}{-1+i \sqrt{3}+2}\\&=\frac{1-i \sqrt{3}}{1+i \sqrt{3}}\\&=\frac{(1-i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}\\&=\frac{1-3-2 i \sqrt{3}}{4}\\&=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$
donc
$\begin{aligned} \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}=\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\end{aligned} .$
D'où $\arg \left(\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}\right)\equiv -\frac{2 \pi}{3} [2 \pi]$ et $(\vec{\ C A} ; \vec{\ C B})\equiv -\frac{2 \pi}{3} [2 \pi]$
Exercice 57 :
Soit $A, B, C$ et $D$ les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=-i$ et $z_{B}=3, z_{C}=2+3 i$ et $z_{D}=-1+2 i$
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{(\vec{\ BD} ; \vec{\ AC})}$
Réponse :
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont les points d'affixes respectives $z_{A}=-i$ , $z_{B}=3$, $z_{C}=2+3 i$ et $z_{D}=-1+2 i$.
$\overline{(\vec{\ B D} ; \vec{\ A C})} \equiv \arg \left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}\right) [2 \pi]$
$\begin{aligned} \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}&=\frac{2+3 i+i}{-1+2 i-3}\\&=\frac{2+4 i}{-4+2 i}\\&=\frac{1+2 i}{-2+i}\\&=\frac{(1+2 i)(-2-i)}{4+1}\\&=\frac{-2+2-i-4 i}{5}\\&=-i \end{aligned}$
On a donc : $(\vec{\ B D} ; \vec{\ A C})\equiv \arg (-i)[2 \pi]\equiv -\frac{\pi}{2}[2 \pi]$
Exercice 58 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct, on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A}, z_{B}$ et $z_{C}$.
Dans chacun des cas suivants:
1. Mettre le nombre complexe $\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
2. En déduire la nature du triangle $A B C$.
a) $z_{A}=2$, $z_{B}=1-3 i$, et $z_{C}=-1+i$
b) $z_{A}=-1$, $z_{B}=1$ et $z_{C}=i \sqrt{3}$
c) $z_{A}=1+\frac{3}{4} i$, $z_{B}=2-\frac{5}{4} i$ et $z_{C}=3+\frac{7}{4} i$
d) $z_{A}=\frac{1}{2}+i$, $z_{B}=\frac{3}{2}-i$ et $z_{C}=1-\sqrt{3}-i \frac{\sqrt{3}}{2}$
Réponse :
$\begin{aligned} a)\ \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}&=\frac{-3+i}{-1-3 i}=\frac{(-3+i)(-1+3 i)}{(-1-3 i)(-1+3 i)}\\&=\frac{-10 i}{10}\\&=-i\\&=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$;
$\begin{aligned} \left|\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right|=1 &\Leftrightarrow\left|z_{C}-z_{A}\right|=\left|z_{B}-z_{A}\right| \\&\Leftrightarrow A C=A B \end{aligned}$
$\arg \left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)\!\equiv -\frac{\pi}{2}\! [2 \pi] \Leftrightarrow\overline{(\vec{\ A B}, \vec{\ A C})}\!\equiv\!-\frac{\pi}{2}[2 \pi]$
Par conséquent, le triangle $A B C$ est rectangle et isocèle en $A$.
$\begin{aligned} b)\ \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}&=\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\\&=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$
De la même façon qu'en a), on montre que : $A B=A C$
$\arg \left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)\equiv\frac{\pi}{3}[2 \pi] \Leftrightarrow\overline{(\vec{\ A B}, \vec{\ A C})}\equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]$
Par conséquent, le triangle $A B C$ est équilatéral.
$\begin{aligned} c)\ \frac{z_{c}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}&=\frac{2+i}{1-2 i}\\&=\frac{(2+i)(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}\\&=i\\&=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\end{aligned}$;
De la même façon qu'en a), on montre que : $A B=A C$
$\arg \left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)\equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi] \Leftrightarrow\overline{(\vec{\ A B}, \vec{\ A C})}\equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]$
Par conséquent, le triangle $A B C$ est rectangle et isocèle en $A$.
$\begin{aligned}d)\ \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}&=\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{3}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)}{1-2 i}\\&=\frac{\left[\frac{1}{2}-\sqrt{3}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\right](1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}\\&=\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{2} i \sqrt{3}}{5}\\&=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
$\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
De la même façon qu'en a), on montre que : $A B=A C$
$\arg \left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)\equiv -\frac{\pi}{3}[2 \pi ]\Leftrightarrow \overline{(\vec{\ A B}, \vec{\ A C})}\equiv -\frac{\pi}{3}[2 \pi]$
Par conséquent, le triangle $A B C$ est équilatéral.
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