46Exercices corrigés : fonction exponentielle

بسم الله الرحمن الرحيم 

Définition:

La fonction exponentielle notée exp est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. 

Pour tout réel $x$ et pour tout $y \in ]0, +∞[$ : 

$y = exp x=e^{x}$ si, et seulement si $x = ln y$.

calculs d'images

Exercice 1 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=(2-x) \mathrm{e}^{x}+1$. 

Calculer les valeurs exactes de $f(0), f(1), f(-2), f(-1)$ et $f(2)$.

Réponse :

$f(x)=(2-x) \mathrm{e}^{x}+1$

$\begin{aligned}f(0)&=(2-0) \mathrm{e}^{0}+1\\&=2 \times 1+1\\&=3\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(1)&=(2-1) \mathrm{e}^{1}+1\\&=\mathrm{e}+1\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(-2)&=[2-(-2)] \mathrm{e}^{-2}+1\\&=4 \mathrm{e}^{-2}+1\\&=\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}+1\\&=\frac{4+\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(-1)&=[2-(-1)] \mathrm{e}^{-1}+1\\&=3 \mathrm{e}^{-1}+1\\&=\frac{3}{\mathrm{e}}+1\\&=\frac{3+\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\end{aligned}$

$f(2)=(2-2) \mathrm{e}^{2}+1=1$

Exercice 2 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=(2 x+1) \mathrm{e}^{-x}$. 

Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A(0 ; 1)$

Réponse :

$f(x)=(2 x+1) \mathrm{e}^{-x}$

$f\left(x_{A}\right)=f(0)=(2 \times 0+1) \mathrm{e}^{-0}=1 \mathrm{e}^{0}=1=y_{A}$

donc la courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A(0 ; 1)$.

Propriété algébrique:

Pour tout nombre réels $x, y$ et pour tout nombre entier relatif $n$ on a:

$•\ e^{a+b}=e^{a} \times e^{b}$

$•\  e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}}$

$•\ e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}$

$•\ \left(e^{a}\right)^{n}=e^{n \times a}$

Exemple:

$•\ e^{4+2}=e^{4} \times e^{2}$

$•\ e^{4-2}=\frac{e^{4}}{e^{2}}$

$•\ e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}$

$•\ \left(e^{3}\right)^{2}=e^{2 \times 3}$

Exercice 3 :

Donner une écriture simplifiée au maximum des nombres réels suivants.

1. $X=e^{5} \times\left(e^{3} \times e^{-5}\right) \times e^{-3}$

2. $Y=\frac{\left(e^{4}\right)^{2}}{e^{-2}}$

3. $Z=\frac{e^{-3} \times e^{8}}{e^{3}}$

4. $W=\frac{\left(e^{-2}\right)^{3} \times e^{3}}{\left(e^{2} \times e\right)^{2}}$

Réponse :

Donnons une écriture simplifiée au maximum des nombres réels suivants.

$\begin{aligned}1.\  X &=e^{5} \times\left(e^{3} \times e^{-5}\right) \times e^{-3} \\ &=e^{5} \times e^{3-5} \times e^{-3} \\ &=e^{5} \times e^{-2} \times e^{-3} \\ &=e^{5-2} \times e^{-3} \\ &=e^{3} \times e^{-3} \\ &=e^{3-3} \\ &=e^{0} \end{aligned}$

D'où $X =1$

$\begin{aligned}2.\ Y&=\frac{\left(e^{4}\right)^{2}}{e^{-2}}\\ &=\frac{e^{4 \times 2}}{e^{-2}} \\ &=e^{8} \times e^{2} \\ &=e^{8+2} \\ &=e^{10} \end{aligned}$

   

$\begin{aligned}3.\ Z&=\frac{e^{-3} \times e^{8}}{e^{3}} \\ &=\frac{e^{-3+8}}{e^{3}} \\ &=\frac{e^{5}}{e^{3}} \\ &=e^{5-3} \\&=e^{2} \end{aligned}$

 

$\begin{aligned} 4.\ W&=\frac{\left(e^{-2}\right)^{3} \times e^{3}}{\left(e^{2} \times e\right)^{2}} \\&=\frac{\left(e^{-2}\right)^{3} \times e^{3}}{\left(e^{2} \times e\right)^{2}} \\ &=\frac{e^{-2 \times 3} \times e^{3}}{\left(e^{2+1}\right)^{2}} \\ &=\frac{e^{-6} \times e^{3}}{e^{3 \times 2}} \\ &=\frac{e^{-6+3}}{e^{6}} \\ &=e^{-3} \times e^{-6} \\ &=e^{-3-6} \\&=e^{-9}\end{aligned}$

Exercice 4 :

Donner une écriture simplifiée au maximum des expressions suivantes où $x$ est un réel quelconque.

1. $f_{1}(x)=e^{3 x} \times\left(e^{x+1}\right)^{3} \times e^{-6 x}$

2. $f_{2}(x)=\frac{2 e^{x^{2}}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

3. $f_{3}(x)=\frac{2 e^{x-1} \times e^{4 x+1}}{e^{3 x}}$

4. $f_{4}(x)=\frac{e^{-3 x} \times e^{x+1}}{e^{-2 x-2}}$

Réponse :

Donnons une écriture simplifiée au maximum des expressions suivantes où $x$ est un réel quelconque.

$\begin{aligned}1.\ f_{1}(x) &=e^{3 x} \times\left(e^{x+1}\right)^{3} \times e^{-6 x} \\ &=e^{3 x} \times e^{3(x+1)} \times e^{-6 x} \\ &=e^{3 x} \times e^{3 x+3} \times e^{-6 x} \\ &=e^{3 x+3 x+3} \times e^{-6 x} \\ &=e^{6 x+3} \times e^{-6 x} \\ &=e^{6 x+3-6 x} \\  &=e^{3}\end{aligned}$

$\begin{aligned}2.\  f_{2}(x) &=\frac{2 e^{x^{2}}}{\left(e^{x}\right)^{2}}\\ &=\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{2 x}} \\ &=2 e^{x^{2}-2 x} \\ &=2 e^{x(x-2)}\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}3.\ f_{3}(x)&=\frac{2 e^{x-1} \times e^{4 x+1}}{e^{3 x}}\\&=\frac{2 e^{x-1+4 x+1}}{e^{3 x}} \\ &=\frac{2 e^{5 x}}{e^{3 x}} \\ &=2 e^{5 x-3 x} \\  &=2 e^{2 x} \end{aligned}$

$\begin{aligned} f_{4}(x) &=\frac{e^{-3 x} \times e^{x+1}}{e^{-2 x-2}} \\ &=\frac{e^{-3 x+x+1}}{e^{-2 x-2}} \\ &=\frac{e^{-2 x+1}}{e^{-2 x-2}} \\ &=e^{-2 x+1-(-2 x-2)} \\ &=e^{-2 x+1+2 x+2} \\ &=e^{3} \end{aligned}$

Exercice 5 :

Donner une écriture simplifiée au maximum des expressions suivantes où $t$ est un réel quelconque.

1. $u(t)=e^{2 t} \times\left(e^{3-4 t}\right)^{2} \times e^{2 t+1}$

2. $v(t)=\frac{e^{2 t+5}}{e^{4 t+3}}$

3. $w(t)=\frac{e^{2 t-1} \times e^{5(t+1)}}{e^{4 t+2}}$

Réponse :

Donnons une écriture simplifiée au maximum des expressions suivantes où $t$ est réel quelconque.

$\begin{aligned} u(t) &=e^{2 t} \times\left(e^{3-4 t}\right)^{2} \times e^{2 t+1} \\ &=e^{2 t} \times e^{2(3-4 t)} \times e^{2 t+1} \\ &=e^{2 t} \times e^{6-8 t} \times e^{2 t+1} \\ &=e^{2 t+6-8 t} \times e^{2 t+1} \\ &=e^{6-6 t+2 t+1} \\&=e^{7-4 t} \end{aligned}$

$\begin{aligned}  v(t) &=\frac{e^{2 t+5}}{e^{4 t+3}} \\ &=e^{2 t+5-(4 t+3)} \\ &=e^{2 t+5-4 t-3} \\ &=e^{2-2 t} \\ &=e^{2(1-t)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} w(t) &=\frac{e^{2 t-1} \times e^{5(t+1)}}{e^{4 t+2}} \\ &=\frac{e^{2 t-1+5(t+1)}}{e^{4 t+2}} \\ &=\frac{e^{2 t-1+5 t+5}}{e^{4 t+2}} \\ &=\frac{e^{7 t+4}}{e^{4 t+2}} \\&=e^{7 t+4-(4 t+2)} \\ &=e^{7 t+4-4 t-2} \\  &=e^{3 t+2} \end{aligned}$

Exercice 6 :

Simplifier l'écriture de chacun des nombres suivants, où $x$ désigne un nombre réel.

1. $A=\left(e^{x}\right)^{5} \times e^{-x}$

2. $B=\frac{e^{2 x-5}}{e^{2 x-7}}$

3. $C=\frac{e^{3 x}}{\left(e^{x}\right)^{6} \times e}$

4. $D=\frac{e \times e^{2 x-1}}{2 e^{-x-2}}$

Réponse :

Simplifions l'écriture de chacun des nombres suivants, où $x$ désigne un nombre

$\begin{aligned}  A&=\left(e^{x}\right)^{5} \times e^{-x}\\&=e^{5 x} \times e^{-x}\\&=e^{5 x-x}=e^{4 x} \end{aligned}$

$\begin{aligned}  B&=\frac{e^{2 x-5}}{e^{2 x-7}}\\&=e^{2 x-5-(2 x-7)}\\&=e^{2 x-5-2 x+7}\\&=e^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} C&=\frac{e^{3 x}}{e^{6x}  \times e}\\&=\frac{e^{3 x}}{e^{6x+1} }\\&=e^{3 x-(6 x+1)}\\&=e^{3 x-6 x-1}\\&=e^{-3 x-1}\\&=e^{-(3 x+1)}  \end{aligned}$

 

$\begin{aligned}4.\ D &=\frac{e \times e^{2 x-1}}{2 e^{-x-2}} \\ &=\frac{e^{1+2 x-1}}{2 e^{-x-2}} \\ &=\frac{e^{2 x}}{2 e^{-x-2}} \\ &=\frac{e^{2 x-(-x-2)}}{2} \\ &=\frac{e^{2 x+x+2}}{2} \\ &=\frac{e^{3 x+2}}{2} \end{aligned}$

Exercice 7 :

Prouver que, pour tout réel $x$, on a : $e^{-x}+e^{-3 x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{3 x}}$.

Réponse :

Prouvons que, pour tout réel $x$, on a : $e^{-x}+e^{-3 x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{3 x}}$. 

On a: 

$\begin{aligned} e^{-x}+e^{-3 x}&=e^{-x}+\frac{1}{e^{3 x}}\\&=\frac{e^{-x} \times e^{3 x}+1}{e^{3 x}}\\&=\frac{e^{-x+3 x}+1}{e^{3 x}}\\&=\frac{e^{2 x}+1}{e^{3 x}} \end{aligned}$

D'où le résultats.

Exercice 8 :

Montrer que pour tout réel $x$, on a : $\frac{\mathrm{e}^{1-3 x}}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}=\frac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}^{3 x}}$.

Réponse :

Pour tout réel $x$, 

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{e}^{1-3 x}}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}&=\frac{\mathrm{e}^{1} \times \mathrm{e}^{-3 x}}{1+\frac{1}{\mathrm{e}^{3 x}}}\\&=\frac{\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{3 x}}}{\frac{\mathrm{e}^{3 x}+1}{\mathrm{e}^{3 x}}}\\&=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{3 x}} \times \frac{\mathrm{e}^{3 x}}{\mathrm{e}^{3 x}+1}\\&=\frac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}^{3 x}}\end{aligned}$.

(NB: On peut aussi raisonner par équivalences, à l'aide d'un produit en croix).

Exercice 9 :

Vérifier que pour tout réel $x$, $\frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$.

Réponse :

Partons du membre de droite de l'égalité :

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}&=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\\&=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)-\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\\&=\frac{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\\&=\frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\end{aligned}$

Exercice 10 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$

1) Calculer $f(0)$.

2) Exprimer $f(-x)$ à l'aide de $f(x)$; que peut-on en déduire ?

3) Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+1}$.

Réponse :

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$

1) $f(0)=\frac{1}{\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{-0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

2) Pour tout réel $x$, $f(-x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}}=f(x)$: 

la fonction $f$ est donc paire, et dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3) Pour tout réel $x$, 

$\begin{aligned}f(x)&=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}\\&=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}}\\&=\frac{1}{\frac{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+1}{\mathrm{e}^{x}}}\\&=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+1}\end{aligned}$.

Exercice 11 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=x-1+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{x}}$. 

Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)+f(-x)=0$.

Réponse :

$f(x)=x-1+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{x}}$

Pour tout réel $x$, 

$\begin{aligned}f(x)+f(-x)&=x-1+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{x}}-x-1+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\&=-2+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{2}{1+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}}\\&=\frac{-2\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{2}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{2}{\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}}}\\&=\frac{-2-2 e^{x}}{1+e^{x}}+\frac{2}{1+e^{x}}+\frac{2 e^{x}}{1+e^{x}}=0\end{aligned}$

(NB : Ainsi, la fonction $f$ est impaire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère).

ÉQUATIONS AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE

Propriété:

Pour tous nombres réels $a$ et $b$.

$•\ e^{a}=e^{b} \Leftrightarrow a=b$

$•\ e^{a} < e^{b} \Leftrightarrow a<b$

$•\ e^{a}>e^{b} \Leftrightarrow a>b$

Exemple:

$e^{3 x}=e^{x-1} \Leftrightarrow 3 x=x-1 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

$e^{x} \geq 1 \Leftrightarrow e^{x} \geq e^{0} \Leftrightarrow x \geq 0$

Exercice 12 :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes:

1. $e^{2 x-5}=e$

2. $3+e^{2 x}=1$

3. $e^{-x^{2}+2 x}=1$

4. $e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\frac{1}{e}$

Réponse :

Résolvons dans $I\!R$ les équations suivantes:

1. $e^{2 x-5}=e$

$e^{2 x-5}=e \Leftrightarrow 2 x-5=1 \Leftrightarrow x=3$

Soit $S_{1}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{1}=\{3\}$

2. $3+e^{2 x}=1$

$3+e^{2 x}=1 \Leftrightarrow e^{2 x}=-2$ (Absurde) 

car pour tout $x \in I\!R, e^{2 x}>0$

Soit $S_{2}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{2}=\emptyset$

3. $e^{-x^{2}+2 x}=1$

$\begin{aligned} e^{-x^{2}+2 x}=1 &\Leftrightarrow e^{-x^{2}+2 x}=e^{0} \\&\Leftrightarrow-x^{2}+2 x=0 \\&\Leftrightarrow x(-x+2)=0 \\&\Leftrightarrow x=0\ ou\ x=2\end{aligned}$

Soit $S_{3}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{3}=\{0,2\}$

4. $e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\frac{1}{e}$

$\begin{aligned}e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\frac{1}{e} &\Leftrightarrow e^{\frac{-x^{2}}{2}}=e^{-1} \\&\Leftrightarrow-\frac{x^{2}}{2}=-1 \\&\Leftrightarrow x^{2}=2 \\&\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\ ou\ x=-\sqrt{2} \end{aligned}$

Soit $S_{4}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{4}=\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$

Exercice 13 :

Résoudre dans $I\!R$ les équations.

1. $e^{3 x+2}=e^{15 x-1}$

2. $e^{-x^{2}}=\frac{1}{e^{9}}$

3. $e^{3 x^{2}}=e^{12}$

4. $e^{-2 x} \times e^{3 x-2}=e^{4 x-5}$

5. $e^{4 x^{2}-12 x+9}=1$

6. $\frac{e^{4 x+2}}{e^{3 x+1}}=e$

Réponse :

Résolvons dans $I\!R$ les équations.

1. $e^{3 x+2}=e^{15 x-1}$

$\begin{aligned} e^{3 x+2}=e^{15 x-1} &\Leftrightarrow 3 x+2=15 x-1 \\&\Leftrightarrow 12 x=3 \\&\Leftrightarrow x=\frac{1}{4} \end{aligned}$ 

Soit $S_{1}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{1}=\left\{\frac{1}{4}\right\}$

2. $e^{-x^{2}} =\frac{1}{e^{9}}$

$\begin{aligned} e^{-x^{2}}=\frac{1}{e^{9}}& \Leftrightarrow e^{-x^{2}}=e^{-9} \\&\Leftrightarrow-x^{2}=-9 \\&\Leftrightarrow x=3\ ou\ x=-3 \end{aligned}$

Soit $S_{2}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{2}=\{-3,3\}$

3. $e^{3 x^{2}}=e^{12}$

$\begin{aligned}e^{3 x^{2}}=e^{12} &\Leftrightarrow 3 x^{2}=12\\& \Leftrightarrow x^{2}=4 \\& \Leftrightarrow x=2\ ou\ x=-2 \end{aligned}$

Soit $S_{3}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{3}=\{-2,2\}$

4. $e^{-2 x} \times e^{3 x-2}=e^{4 x-5}$

$\begin{aligned} e^{-2 x} \times e^{3 x-2}=e^{4 x-5} &\Leftrightarrow e^{-2 x+3 x-2}=e^{4 x-5} \\& \Leftrightarrow x-2=4 x-5\\&\Leftrightarrow 3 x=3\\& \Leftrightarrow x=1 \end{aligned}$

Soit $S_{4}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{4}=\{1\}$

5. $e^{4 x^{2}-12 x+9}=1$

$\begin{aligned} e^{4 x^{2}-12 x+9}=1 &\Leftrightarrow e^{4 x^{2}-12 x+9}=e^{0} \\&\Leftrightarrow 4 x^{2}-12 x+9=0 \\&\Leftrightarrow(2 x-3)^{2}=0 \\& \Leftrightarrow 2 x-3=0 \\& \Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \end{aligned}$

Soit $S_{5}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{5}=\left\{\frac{3}{2}\right\}$

6. $\frac{e^{4 x+2}}{e^{3 x+1}}=e$

$\begin{aligned}\frac{e^{4 x+2}}{e^{3 x+1}}=e & \Leftrightarrow e^{4 x+2-3 x-1}=e \\& \Leftrightarrow e^{x+1}=e \\&\Leftrightarrow x+1=1 \\&\Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Soit $S_{6}$ l'ensemble solution de cette équation: $S_{6}=\{0\}$

Exercice 14 :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes:

a) $\mathrm{e}^{x}-1=0$.

b) $(x-1) \mathrm{e}^{x}=0$.

c) $\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}=0$.

d) $\mathrm{e}^{-x}\left(1-x^{2}\right)=0$

e) $\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1}=0$ . 

f) $\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}=0$

g) $x^{2} \mathrm{e}^{x}+3 x \mathrm{e}^{x}=0$.

h) $\mathrm{e}^{2 x}-3 \mathrm{e}^{x}-4=0$ (on posera $X=\mathrm{e}^{x}$)

Réponse :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes

a) $\mathrm{e}^{x}-1=0$

$\begin{aligned}\mathrm{e}^{x}-1=0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=1\\&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=e^0 \\&\Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

L'équation a une solution : 0.

b) $(x-1) \mathrm{e}^{x}=0$.

On sait que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} \neq 0$ 

donc $(x-1) \mathrm{e}^{x}=0$ équivaut à $x-1=0$ soit $x=1$

L'équation a une solution :  1 

c) $\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}=0$.

On sait que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}=0$ équivaut à $x^{2}-5 x+6=0$.

$x^{2}-5 x+6=0$ 

$\Delta=(-5)^{2}-4 \times 1 \times 6=1$

$x_{1}=\frac{5+1}{2}=3$ et $x_{2}=\frac{5-1}{2}=2$

L'équation a deux solutions : 3 et 2 .

d) $\mathrm{e}^{-x}\left(1-x^{2}\right)=0$.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x} \neq 0$ 

donc $\mathrm{e}^{-x}\left(1-x^{2}\right)=0$ équivaut à $1-x^{2}=0$

$1-x^{2}=0$ si et seulement si $x=1$ ou $x=-1$.

L'équation a deux solutions :  -1  et  1 .

e) $\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1}=0$.

Pour tout réel $x, \mathrm{e}^{2 x}+1 \neq 0$ 

donc l'équation est définie sur $I\!R$ (aucune valeur de $x$ n'annule le dénominateur). 

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1}=0 &\Leftrightarrow\mathrm{e}^{2 x}-1=0\\&\Leftrightarrow\mathrm{e}^{2 x}=1\\&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}=\mathrm{e}^{0} \\&\Leftrightarrow2 x=0\\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$

L'équation a une solution : 0 .

f) $\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}=0$.

L'équation $\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}=0$ est définie si et seulement si $1-\mathrm{e}^{-x} \neq 0$ c'est-à-dire ssi $\mathrm{e}^{-x} \neq 1$ donc pour $x \neq 0$. 

L'équation $\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}=0$ n'a pas de solution car le numérateur ne peut pas être égal à $0 .$

g) $x^{2} \mathrm{e}^{x}+3 x \mathrm{e}^{x}=0$.

On va factoriser: 

$x^{2} \mathrm{e}^{x}+3 x \mathrm{e}^{x}=0$ équivaut à $x \mathrm{e}^{x}(x+3)=0$. 

Or pour tout réel $x$ ; $\mathrm{e}^{x} \neq 0$ 

donc $x \mathrm{e}^{x}(x+3)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=-3$.

L'équation a deux solutions :  0 et -3

h) $\mathrm{e}^{2 x}-3 \mathrm{e}^{x}-4=0$ (on posera $X=\mathrm{e}^{x}$ ). 

En posant $X=\mathrm{e}^{x}$ l'équation devient $X^{2}-3 X-4=0$ $X^{2}-3 X-4=0$

$\begin{aligned} \Delta&=(-3)^{2}-4 \times 1 \times(-4)\\&=9+16\\&=25\end{aligned}$

$X_{1}=\frac{3+5}{2}=4$ ou $X_{2}=\frac{3-5}{2}=-1$

Or $X=\mathrm{e}^{x}$ 

donc on obtient $\mathrm{e}^{x}=4$ ou $\mathrm{e}^{x}=-1$.

Or on sait que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $\mathrm{e}^{x}=-1$ n'a pas de solution. 

$\mathrm{e}^{x}=4$ équivaut à $x=\ln 4$.

L'équation a une solution : $\ln 4$ .

Étude de signes

Exercice 15 :

Indiquer les propositions exactes:

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline L'expression &  \mathrm{e}^{-x}  &  -\mathrm{e}^{-x}  &  \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}  &  \frac{1}{\mathrm{e}^{-x}}  &  \mathrm{e}^{x}+1  &  \mathrm{e}^{x}-1  \\ \hline est\ toujours\\ positive &     & &     &    &     & \\ \hline est\ toujours\\ négative & &     & & & & \\ \hline est\ négative\ si\\   \  est\ négatif & &     & & & &    \\ \hline est\ négative\ si\\   \  est\ positif & &   & & & & \\ \hline \end{array}$

Réponse :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline L'expression &  \mathrm{e}^{-x}  &  -\mathrm{e}^{-x}  &  \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}  &  \frac{1}{\mathrm{e}^{-x}}  &  \mathrm{e}^{x}+1  &  \mathrm{e}^{x}-1  \\ \hline est\ toujours\\ positive &  \times  & &  \times  &  \times  &  \times  & \\ \hline est\ toujours\\ négative & &  \times  & & & & \\ \hline est\ négative\ si\\  x\  est\ négatif & &  \times  & & & &  \times  \\ \hline est\ négative\ si\\  x\  est\ positif & &  \times & & & & \\ \hline \end{array}$

Exercice 16 :

Établir, suivant les valeurs de $x$, le signe des expressions suivantes

a) $\mathrm{e}^{x}-1$.

b) $(x-1) \mathrm{e}^{x}$.

c) $\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}$.

d) $\mathrm{e}^{-x}\left(1-x^{2}\right)$.

e) $\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1} .$ 

f) $\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}$.

g) $x^{2} \mathrm{e}^{x}+3 x \mathrm{e}^{x}$.

h) $-\frac{\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}}$.

Réponse :

a) $A(x)=\mathrm{e}^{x}-1$: 

$\begin{aligned}A(x)=0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=1 \\&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0} \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$  

$A(x)>0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}^{0} \Leftrightarrow x>0 .$ 

Donc

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty & & 0 & &  +\infty  \\ \hline A(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

b) $B(x)=(x-1) \mathrm{e}^{x}$: 

$B(x)$ est du signe de $(x-1)$ car $\mathrm{e}^{x}>0 .$ 

Donc :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 1 & &  +\infty  \\ \hline B(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

c) $C(x)=\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}$: 

$C(x)$ est du signe de $\left(x^{2}-5 x+6\right)$ (trinôme du second degré), car $\mathrm{e}^{x}>0$;

$x^{2}-5 x+6$ a pour racines 2 et 3 et le coefficient de $x^{2}$ est $1>0 .$ 

Donc:

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 2 & & 3 & &  +\infty \\ \hline C(x)  & &  +  & 0 &  -  & 0 &  +  & \\\hline \end{array}$

d) $D(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(1-x^{2}\right)$: 

$D(x)$ est du signe de $\left(1-x^{2}\right)$ (trinôme du second degré), car $\mathrm{e}^{-x}>0$. 

$1-x^{2}$ a pour racines $-1$ et 1 et le coefficient de $x^{2}$ est $-1<0 .$ 

Donc :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x  &  -\infty  & &  -1  & & 1 & &  +\infty  \\ \hline D(x)  & &  -  & 0 &  +  & 0 &  -  & \\ \hline \end{array}$

e) $E(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}+1}$: 

$E(x)$ est du signe de $\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right)$, car $\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)>0$

$\begin{aligned}\mathrm{e}^{2 x}-1=0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}=1 \\&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}=\mathrm{e}^{0} \\&\Leftrightarrow 2 x=0 \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$  

$\begin{aligned}\mathrm{e}^{2 x}-1>0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}>\mathrm{e}^{0} \\&\Leftrightarrow 2 x>0 \\&\Leftrightarrow x>0\end{aligned}$  

Donc :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  && 0 & &  +\infty  \\ \hline E(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

f) $F(x)=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}$: 

$F(x)$ est du signe de $\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$;

$\begin{aligned}1-\mathrm{e}^{-x}=0 &\Leftrightarrow 1=\mathrm{e}^{-x} \\&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}^{-x} \\&\Leftrightarrow 0=-x \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$  

$\begin{aligned}1-\mathrm{e}^{-x}>0 &\Leftrightarrow 1>\mathrm{e}^{-x} \\&\Leftrightarrow 0>-x \\&\Leftrightarrow x>0 \end{aligned}$

Mais $\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$ ne doit pas être nul, donc $x \neq 0 .$ 

Donc :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 0 & &  +\infty  \\ \hline F(x)  & &  -  & ||  &  +  & \\ \hline \end{array}$

g) $G(x)=x^{2} \mathrm{e}^{x}+3 x \mathrm{e}^{x}$: 

$\begin{aligned}G(x)&=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+3 x\right)\\&=\mathrm{e}^{x}[x(x+3)]\end{aligned}$.

$G(x)$ est du signe de $[x(x+3)]$ (trinôme du second degré), car $\mathrm{e}^{x}>0$; 

$x(x+3)$ a pour racines $-3$ et 0 et le coefficient de $x^{2}$ est $1>0 .$ 

Donc :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & &  -3  & & 0 & &  +\infty  \\\hline G(x)  & &  + & 0 &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

h) $H(x)=\frac{-\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}}$: 

$\mathrm{e}^{x}>0$ donc $-\mathrm{e}^{x}<0$ et $(x+1)^{2}>0$ pour $x \neq-1 .$ 

Donc:

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x  &  -\infty  & &  -1  & &  +\infty  \\ \hline H(x)  & &  -  & || &  -  & \\ \hline \end{array}$

Exercice 17 :

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes.

1. $e^{2 x-1}>1$

2. $e^{-2 x+3} \geq 1$

3. $e^{3-2 x}<e$

4. $e^{-2 x-5} \leq e$

5. $e^{-x^{2}+x+6} \leq 1$

6. $e^{4 x+2} \geq \frac{1}{e^{2 x}}$

Réponse :

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes.

1. $e^{2 x-1}>1$

$\begin{aligned} e^{2 x-1}>1 & \Leftrightarrow e^{2 x-1}>e^{0} \\ \boxed{\scriptsize\color{red}{{\begin{aligned} &car\ la\ fonction\\ &x \mapsto e^{x} \\&est\ croissante\end{aligned}}}}& \Leftrightarrow 2 x-1>0\\&\Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \\&\Leftrightarrow x \in \left] \frac{1}{2},+\infty \right[ \end{aligned}$

Soit $S_{1}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$S_{1}= \left] \frac{1}{2},+\infty \right[$

2. $e^{-2 x+3} \geq 1$

$\begin{aligned} e^{-2 x+3} \geq 1 &\Leftrightarrow e^{-2 x+3} \geq e^{0} \\ & \Leftrightarrow-2 x+3 \geq 0 \\ & \Leftrightarrow 3 \geq 2 x \\ & \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow x \in \left]-\infty, \frac{3}{2}\right]\end{aligned}$

Soit $S_{2}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$S_{2}=\left]-\infty, \frac{3}{2}\right]$

3. $e^{3-2 x}<e$

$\begin{aligned} e^{3-2 x}<e & \Leftrightarrow 3-2 x<1 \\ & \Leftrightarrow 2<2 x \\ & \Leftrightarrow x>1 \\ &\Leftrightarrow x \in] 1;+\infty[\end{aligned}$

Soit $S_{3}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$S_{3}=] 1,+\infty[$

4. $e^{-2 x-5} \leq e$

$\begin{aligned} e^{-2 x-5} \leq e & \Leftrightarrow-2 x-5 \leq 1 \\ & \Leftrightarrow-2 x \leq 6 \\ & \Leftrightarrow x \geq-3 \\ & \Leftrightarrow x \in[-3,+\infty[\end{aligned}$

Soit $S_{4}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$S_{4}=[-3,+\infty[$

5. $e^{-x^{2}+x+6} \leq 1$

$\begin{aligned}  e^{-x^{2}+x+6} \leq 1 & \Leftrightarrow e^{-x^{2}+x+6} \leq e^{0} \\ & \Leftrightarrow-x^{2}+x+6 \leq 0 \end{aligned}$

Posons: $-x^{2}+x+6=0$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation. 

$\begin{aligned}\Delta&=1^{2}-4(-1)(6)\\&=25\\&=5^{2}\end{aligned}$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes:

$x_{1}=\frac{-1-5}{-2}=3$ et $x_{2}=\frac{-1+5}{-2}=-2$

Faisons un tableau de signe

$\begin{array}{|c|ccccccc|}   \hline x  &  -\infty  & & -2 & & 3 & &  +\infty \\  \hline -x^{2}+ x+6  & & - & 0 &  +  & 0 & - & \\\hline \end{array}$ 

Ainsi pour tout $x \in]-\infty,-2] \cup\left[3,+\infty\left[,-x^{2}+x+6 \leq 0\right.\right.$

Soit Soit $S_{5}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$\left.\left.S_{5}=\right]-\infty,-2\right] \cup[3,+\infty[$

6. $e^{4 x+2} \geq \frac{1}{e^{2 x}}$

$\begin{aligned} e^{4 x+2} \geq \frac{1}{e^{2 x}} & \Leftrightarrow e^{4 x+2} \geq e^{-2 x} \\ & \Leftrightarrow 4 x+2 \geq-2 x \\ & \Leftrightarrow 6 x \geq-2 \\ & \Leftrightarrow x \geq-\frac{1}{3} \\ & \Leftrightarrow x \in\left[-\frac{1}{3},+\infty[\right.\end{aligned}$

Soit $S_{6}$ l'ensemble solution de l'inéquation:

$S_{6}=\left[-\frac{1}{3},+\infty[\right.$

Exercice 18 :

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes

1. $e^{2 x^{2}+3 x-2} \geq 1$

2. $e^{x^{2}-2 x+2}>e$

3. $e^{x^{2}+2 x+16} \leq e^{5}\left(e^{2}\right)^{5}$

4. $\frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{x}\right)^{2}\left(e^{3}\right)^{3}} \leq \frac{1}{e}$

Réponse :

Résolvons dans $I\!R$ les inéquations suivantes.

1. $e^{2 x^{2}+3 x-2} \geq 1$

$\begin{aligned} e^{2 x^{2}+3 x-2} \geq 1 & \Leftrightarrow e^{2 x^{2}+3 x-2} \geq e^{0} \\ & \Leftrightarrow 2 x^{2}+3 x-2 \geq 0 \end{aligned}$

Posons $2 x^{2}+3 x-2=0$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation.

$\begin{aligned} \Delta &=3^{2}-4(2)(-2)\\&=25\\&=5^{2}\end{aligned}$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes:

$x_{1}=\frac{-3-5}{4}=-2$ et $x_{2}=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$

Faisons un tableau de signe:

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x  &  -\infty  & &  -2  & &  \frac{1}{2}  & &  +\infty  \\\hline  2 x^{2}+ 3 x-2  & &  +  & 0 &  -  & 0 &  + & \\\hline\end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in]-\infty,-2] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\left[\right.\right.$, on a: $2 x^{2}+3 x-2 \geq 0$

D'où l'ensemble solution de l'inéquation est:

$S_{1}=]-\infty,-2] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right[$. 

2. $e^{x^{2}-2 x+2}>e$

$\begin{aligned}e^{x^{2}-2 x+2}>e &\Leftrightarrow x^{2}-2 x+2>1 \\ &\Leftrightarrow x^{2}-2 x+1>0 \end{aligned}$

Posons $x^{2}-2 x+1=0$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation. 

$\begin{aligned}\Delta&=(-2)^{2}-4(1)(1)\\&=4-4\\&=0 \end{aligned}$

$\Delta=0$ donc l'équation admet une unique solution réelle:

$x_{0}=\frac{2}{2}=1$

Faisons un tableau de signe:

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 1 & &  +\infty  \\ \hline x^{2}- 2 x+1  & &  +  & 0 &  +  & \\ \hline\end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in]-\infty, 1[\cup] 1,+\infty\left[\right.$, on a: $x^{2}-2 x+1>0$ 

D'où l'ensemble solution de l'inéquation est:

$\left.S_{2}=\right]-\infty, 1[\cup] 1,+\infty[$

3. $e^{x^{2}+2 x+16} \leq e^{5}\left(e^{2}\right)^{5}$

$\begin{aligned} e^{x^{2}+2 x+16} \leq e^{5}\left(e^{2}\right)^{5} & \Leftrightarrow e^{x^{2}+2 x+16} \leq e^{5} \times e^{10}  \\ & \Leftrightarrow e^{x^{2}+2 x+16} \leq e^{15}  \\ & \Leftrightarrow x^{2}+2 x+16 \leq 15 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+2 x+1 \leq 0\end{aligned}$

Posons $x^{2}+2 x+1=0$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation.

$\Delta=2^{2}-4(1)(1)=0$

$\Delta=0$ donc l'équation admet une unique solution réelle: $x_{0}=\frac{-2}{2}=-1$ 

Faisons un tableau de signe.

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & &  -1  & &  +\infty  \\ \hline x^{2}+ 2 x+1  & &  +  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

Ainsi, pour $x=-1$ on a $x^{2}+2 x+1 \leq 0$ 

D'où l'ensemble solution de l'inéquation est:

$S_{3}=\{-1\}$

4. $\frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{x}\right)^{2}\left(e^{3}\right)^{3}} \leq \frac{1}{e}$

$\begin{aligned} \frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{x}\right)^{2}\left(e^{3}\right)^{3}} \leq \frac{1}{e} & \Leftrightarrow \frac{e^{x^{2}}}{e^{2 x} e^{9}} \leq \frac{1}{e} \\ & \Leftrightarrow \frac{e^{x^{2}}}{e^{2 x+9}} \leq e^{-1} \\ & \Leftrightarrow e^{x^{2}-2 x-9} \leq e^{-1} \\ & \Leftrightarrow x^{2}-2 x-9 \leq-1 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-2 x-8 \leq 0 \end{aligned}$

Posons $x^{2}-2 x-8=0$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation 

$\begin{aligned} \Delta&=(-2)^{2}-4(1)(-8)\\&=4+32\\&=36\\&=6^{2}\end{aligned}$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes: $x_{1}=$ $\frac{2-6}{2}=-2$ et $x_{2}=\frac{2+6}{2}=4$

Faisons un tableau de signe.

$\begin{array}{|c|lllll|}\hline x  &  -\infty  & &  -2  & & 4 & &  +\infty  \\ \hline x^{2}- 2 x-8  & &  +  & 0 &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in[-2,4]$ on a: $x^{2}-2 x-8 \leq 0$ 

D'où l'ensemble solution de l'inéquation est: $S_{4}=[-2,4]$

Exercice 19 :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes.

1. $e^{2 x}\left(e^{x}-1\right)=0$

2. $e^{e^{2 x}}-e=0$

3. $\left(e^{x}+2\right)\left(e^{2 x}-e^{2}\right)=0$

4. $e^{\left(\frac{-3 x-2}{x^{2}+1}\right)}-e^{2}=0$

Réponse :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes.

1. $e^{2 x}\left(e^{x}-1\right)=0$

$\begin{aligned} e^{2 x}\left(e^{x}-1\right)=0 & \Leftrightarrow e^{x}-1=0 \text { car } \forall x \in I\!R, e^{x}>0 \\ & \Leftrightarrow e^{x}=1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Soit $S_{1}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{1}=\{0\}$

2. $e^{e^{2 x}}-e=0$

$\begin{aligned} e^{e^{2 x}}-e=0 & \Leftrightarrow e^{e^{2 x}}=e \\ & \Leftrightarrow e^{2 x}=1 \\ & \Leftrightarrow 2 x=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Soit $S_{2}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{2}=\{0\}$

3. $\left(e^{x}+2\right)\left(e^{2 x}-e^{2}\right)=0$

$\begin{aligned}\left(e^{x}+2\right)\left(e^{2 x}-e^{2}\right)=0 & \Leftrightarrow e^{2 x}-e^{2}=0 \text { car } \forall x \in I\!R, e^{x}+2>0 \\ & \Leftrightarrow e^{2 x}=e^{2} \\ & \Leftrightarrow 2 x=2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \end{aligned}$

Soit $S_{3}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{3}=\{1\}$

4. $e^{\left(\frac{-3 x-2}{x^{2}+1}\right)}-e^{2}=0$

$\begin{aligned} e^{\left(\frac{-3 x-2}{x^{2}+1}\right)}-e^{2}=0 & \Leftrightarrow e^{\left(\frac{-3 x-2}{x^{2}+1}\right)}=e^{2} \\ & \Leftrightarrow \frac{-3 x-2}{x^{2}+1}=2 \\ & \Leftrightarrow-3 x-2=2 x^{2}+2 \\ & \Leftrightarrow 2 x^{2}+3 x+4=0 \end{aligned}$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation:

$\Delta=3^{2}-4(2)(4)=9-16=-7$

$\Delta<0$ donc l'équation n'admet pas de solution réelle. 

Soit $S_{4}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{4}=\emptyset$

Exercice 20 :

Résoudre dans $I\!R$ les équations suivantes.

1. $e^{2-x} \times e^{-3 x}-1=0$

2. $\left(e^{e^{3 x}}\right)^{3}-e^{3}=0$

3. $e^{2 x-3} \times e^{2 x+1}=\frac{1}{e^{2}}$

4. $\frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{2 x-1}\right)^{2}}-\frac{1}{e}=0$

Réponse :

Résolvons dans $I\!R$ les équations suivantes.

1. $e^{2-x} \times e^{-3 x}-1=0$

$\begin{aligned} e^{2-x} \times e^{-3 x}-1=0 & \Leftrightarrow e^{2-x-3 x}=1 \\ & \Leftrightarrow e^{2-4 x}=e^{0} \\ & \Leftrightarrow 2-4 x=0 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} \end{aligned}$

Soit $S_{1}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{1}=\left\{\frac{1}{2}\right\}$

2. $\left(e^{e^{3 x}}\right)^{3}-e^{3}=0$

$\begin{aligned}\left(e^{e^{3 x}}\right)^{3}-e^{3}=0 & \Leftrightarrow e^{3 e^{3 x}}=e^{3} \\ & \Leftrightarrow 3 e^{3 x}=3 \\ & \Leftrightarrow e^{3 x}=1 \\ & \Leftrightarrow 3 x=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Soit $S_{2}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{2}=\{0\}$

3. $e^{2 x-3} \times e^{2 x+1}=\frac{1}{2}$ 

$\begin{aligned} e^{2 x-3} \times e^{2 x+1}=\frac{1}{e^{2}} & \Leftrightarrow e^{2 x-3+2 x+1}=e^{-2} \\ & \Leftrightarrow e^{4 x-2}=e^{-2} \\ & \Leftrightarrow 4 x-2=-2 \\ & \Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Soit $S_{3}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{3}=\{0\}$

4. $\frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{2 x-1}\right)^{2}}-\frac{1}{e}=0$

$\begin{aligned}\frac{e^{x^{2}}}{\left(e^{2 x-1}\right)^{2}}-\frac{1}{e}=0 &\Leftrightarrow \frac{e^{x^{2}}}{e^{2(2 x-1)}}=\frac{1}{e} \\ &\Leftrightarrow e^{x^{2}-2(2 x-1)}=e^{-1} \\ & \Leftrightarrow e^{x^{2}-4 x+2}=e^{-1} \\ & \Leftrightarrow x^{2}-4 x+2=-1 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-4 x+3=0\end{aligned}$

Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation:

$\begin{aligned} \Delta&=(-4)^{2}-4(1)(3)\\&=16-12\\&=4\\&=2^{2}\end{aligned}$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes:

$x_{1}=\frac{4-2}{2}=1$ et $x_{2}=\frac{4+2}{2}=3$

Soit $S_{4}$ l'ensemble solution de cette équation:

$S_{4}=\{1:3\}$

Exercice 21 :

Soit l'équation $(E): e^{2 x}+2 e^{x}-3=0$

1. On pose $X=e^{x}$, que devient l'équation $(E) ?$

2. Résous dans $I\!R$, l'équation d'inconnue $X$

3. En déduire les solutions de l'équation $(E)$ dans $I\!R$

Réponse :

$(E): e^{2 x}+2 e^{x}-3=0$

1. Posons $X=e^{x}$ donc $X^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2 x}$

Donc l'équation $(E)$ devient: $X^{2}+2 X-3=0$

2. Résolvons dans $I\!R$, l'équation d'inconnue $X$. 

Soit $\Delta$ le discriminant de l'équation $X^{2}+2 X-3=0$. 

$\begin{aligned}\Delta&=2^{2}-4(1)(-3)\\&=4+12\\&=16\\&=4^{2}\end{aligned}$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes:

$X_{1}=\frac{-2-4}{2}=-3$ et $X_{2}=\frac{-2+4}{2}=1$

D'où $-3$ et 1 sont les solutions de l'équation $X^{2}+2 X-3=0$

3. Déduisons les solutions de l'équation $(E)$ dans $I\!R$. 

De ce qui précède $-3$ et 1 sont les solutions de l'équation $X^{2}+2 X-3=0$ 

or $X=e^{x}$

Donc $e^{x}=1$ et $e^{x} \neq-3$ car pour tout $x \in I\!R ; e^{x}>0$ 

Par suite, $e^{x}=1 \Leftrightarrow x=0$

Soit $S$ l'ensemble solution de l'équation $(E): S=\{0\}$

LIMITE DE FONCTION AVEC EXPONENTIELLE

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty \quad \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

Théorème (Accroissement comparés)

$•\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=0$

$•\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

$•\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

Remarque:

Les deux première formules peuvent se généraliser de la façon suivante:

Pour tout entier naturel $n>0$ :

$•\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{n} e^{x}=0$

$•\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$

Exercice 22 :

Calculer les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x+e^{x}$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+e^{x}$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-e^{x}}{x}$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+x e^{x}$

Réponse :

Calculons les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x+e^{x}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x+e^{x}=+\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+e^{x}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+e^{x}=-\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-e^{x}}{x}$

On a: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-e^{x}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 1-\frac{e^{x}}{x}=-\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+x e^{x}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x+x e^{x}=-\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=0$

Exercice 23 :

Calculer les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(3 x+2) e^{-x}$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{3 x+2}$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(e^{3 x}-e^{x}\right)$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-0,5 x+1,2}$

Réponse :

Calculer les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(3 x+2) e^{-x}$

On a: 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(3 x+2) e^{-x}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+2}{e^{x}}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x}{e^{x}}+\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2}{e^{x}}\end{aligned}$

Or $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{e^{x}}=0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{e^{x}}=0$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(3 x+2) e^{-x}=0$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{3 x+2}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{3 x+2}=0$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} 3 x+2=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(e^{3 x}-e^{x}\right)$

On a: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(e^{3 x}-e^{x}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}\left(e^{2 x}-1\right)$

Or $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{2 x}=0$

Donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(e^{3 x}-e^{x}\right)=0$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-0,5 x+1,2}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-0,5 x+1,2}=0$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}-0,5 x+1,2=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

Exercice 24 :

Calculer les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x^{2}+2 x-1}$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}-3 e^{-x^{3}-2 x^{2}}$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{1-x}$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x e^{\frac{1}{2 x}}$

Réponse :

Calculons les limites suivantes:

1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x^{2}+2 x-1}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x^{2}+2 x-1}=0$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-x^{2}+2 x-1\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-x^{2}\right)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}-3 e^{-x^{3}-2 x^{2}}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}-3 e^{-x^{3}-2 x^{2}}=-\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-x^{3}-2 x^{2}\right)=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty$

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{1-x}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{1-x}=0$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(1-x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

4. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x e^{\frac{1}{2 x}}$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x e^{\frac{1}{2 x}}=+\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 x}=0$, $e^{0}=1$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$

Exercice 25 :

Déterminer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de la fonction $f$ définie par:

a) $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x+3$.

b) $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+2$.

c) $f(x)=1-\mathrm{e}^{x}$.

d) $f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$.

e) $f(x)=\mathrm{e}^{-2 x^{2}}$.

Réponse :

On utilise les limites suivantes : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \mathbf{e}^{x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \mathbf{e}^{x}=\mathbf{0}$

a) $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x+3$.

$\left.\begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty\\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(x+3)=+\infty \end{aligned}\right\}\begin{aligned} &\scriptsize{par\ somme}\\&\Longrightarrow\end{aligned}$$\boxed{\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}$ 

$\left.\begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^{x}=0\\&\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(x+3)=-\infty \end{aligned}\right\}\begin{aligned} &\scriptsize{par\ somme}\\&\Longrightarrow\end{aligned}$ $\boxed{\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty}$.

b) $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+2$.

$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(-x)=-\infty &\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x}=0\\&\Rightarrow \boxed{\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow -\infty} (-x)=+\infty &\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow -\infty} \mathrm{e}^{-x}=+\infty \\& \Rightarrow \boxed{\displaystyle\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=+\infty}\end{aligned}$.

c) $f(x)=1-\mathrm{e}^{x}$.

$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty &\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-\mathrm{e}^{x}\right)=-\infty  \\&\Rightarrow \boxed{\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty}\end{aligned}$.

$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^{x}=0 &\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\mathrm{e}^{x}\right)=0 \\&\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1\end{aligned}$

d) $f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$.

$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x \rightarrow+\infty} (-x)=-\infty &\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x}=0 \\&\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \rightarrow+\infty} \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)=1  \\&\Rightarrow\displaystyle\lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(-x)=+\infty &\Rightarrow \displaystyle\lim \mathrm{e}^{-x}=+\infty\\&\Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)=+\infty \\&\Rightarrow \displaystyle\lim f(x)=0\end{aligned}$.

e) $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)=0 \Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\mathrm{e}^{0}=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{1}{x}\right)=0 \Rightarrow \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\mathrm{e}^{0}=1\end{aligned}$

Calcul de la dérivée avec la fonction exponentielle

Propriété:

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f: x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) e^{u(x)}$

Exemple:

Soit $f$ définie sur $I\!R$ par $f(x)=e^{-2 x}$ 

La fonction $x \mapsto-2 x$ étant dérivable sur $I\!R$ alors $f$ est dérivable sur $I\!R$ et $f^{\prime}(x)=-2 e^{-2 x}$

Exercice 26 :

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur le domaine indiqué.

1. $u(x)=e^{2 x}$ sur $D_{u}=I\!R$

2. $f(x)=5 e^{x}-4 x+1$ sur $D_{f}=I\!R$.

3. $g(x)=\left(3 x^{2}+\sqrt{5}\right) e^{ x}$ sur $D_{g}=I\!R$.

4. $h(x)=\frac{1+2 e^{ x}}{3 x-1}$ sur $D_{h}=I\!R \backslash\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Réponse :

Déterminons la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur le

domaine indiqué.

1. $u(x)=e^{2 x}$ sur $D_{u}=I\!R$

Pour tout $x \in D_{u}$, on a: $u^{\prime}(x)=(2 x)^{\prime} e^{2 x}$

D'où $u^{\prime}(x)=2 e^{2 x}$

2. $f(x)=5 e^x-4 x+1$ sur $D_{f}=I\!R$

Pour tout $x \in D_{f}$, on a: $f^{\prime}(x)=5(e^x)^{\prime}-(4 x-1)^{\prime}$

D'où $f^{\prime}(x)=5 e^x-4$

3. $g(x)=\left(3 x^{2}+\sqrt{5}\right) e^{x}$ sur $D_{g}=I\!R$.

Pour tout $x \in D_{g}$, on a: $g^{\prime}(x)=\left(3 x^{2}+\sqrt{5}\right)^{\prime} e^{x}+\left(3 x^{2}+\right.\sqrt{5})(e^{x})^{\prime}$

donc $g^{\prime}(x)=6 x e^{x}+\left(3 x^{2}+\sqrt{5}\right) e^{x}$

D'où $g^{\prime}(x)=\left(3 x^{2}+6 x+\sqrt{5}\right) e^{x}$

4. $h(x)=\frac{1+2 e^{x}}{3 x-1}$ sur $D_{h}=I\!R \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

Pour tout $x \in D_{h}$, on a:

$h^{\prime}(x)=\frac{(1+2 e^x)^{\prime}(3 x-1)-(3 x-1)^{\prime}(1+2 e^{x})}{(3 x-1)^{2}}$

Donc $g^{\prime}(x)=\frac{2 e^{x}(3 x-1)-3(1+2 e^{x})}{(3 x-1)^{2}}$

D'où $g^{\prime}(x)=\frac{(6 x-8) e^{x}-3}{(3 x-1)^{2}}$

Exercice 27 :

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies et dérivables sur $I\!R$ ci-dessous.

1. $f(x)=3 e^{x}-e^{-x}$

2. $f(x)=2 x^{3} e^{x}+e^{2}$

3. $g(t)=-2 e^{-t}+2 t^{3}-3 e^{3}$

4. $g(t)=e^{4} e^{\sqrt{2} t}+e^{-5 t-6}$

5. $g(t)=\frac{e^{2 t}}{1+e^{2 t}}$

6. $g(t)=-\sqrt{3} t e^{-\sqrt{3} t+2}+e^{2 t}$

Réponse :

Déterminons la dérivée de chacune des fonctions définies et dérivables sur $I\!R$ ci-dessous.

1. $f(x)=3 e^{x}-e^{-x}$

Pour tout $x \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3\left(e^{x}\right)^{\prime}-\left(e^{-x}\right)^{\prime} \\&=3 e^{x}+e^{-x}\end{aligned}$

D'où $f^{\prime}(x)=3 e^{x}+e^{-x}$

2. $f(x)=2 x^{3} e^{x}+e^{2}$

Pour tout $x \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\left(2 x^{3}\right)^{\prime} e^{x}+2 x^{3}\left(e^{x}\right)^{\prime}+\left(e^{2}\right)^{\prime} \\&=6 x^{2} e^{x}+2 x^{3} e^{x}\end{aligned}$

D'où $f^{\prime}(x)=6 x^{2} e^{x}+2 x^{3} e^{x}$

3. $g(t)=-2 e^{-t}+2 t^{3}-3 e^{3}$

Pour tout $t \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned} g^{\prime}(t)&=-2\left(e^{-t}\right)^{\prime}+2\left(t^{3}\right)^{\prime}-\left(3 e^{3}\right)^{\prime}\\&=2 e^{-t}+6 t^{2}\end{aligned}$

D'où $g^{\prime}(t)=2 e^{-t}+6 t^{2}$

4. $g(t)=e^{4} e^{\sqrt{2} t}+e^{-5 t-6}$

Pour tout $t \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned} g^{\prime}(t) &=e^{4}\left(e^{\sqrt{2} t}\right)^{\prime}+\left(e^{-5 t-6}\right)^{\prime} \\ &=e^{4}(\sqrt{2} t)^{\prime} e^{\sqrt{2} t}+(-5 t-6)^{\prime} e^{-5 t-6} \\ &=\sqrt{2} e^{4} e^{\sqrt{2} t}-5 e^{-5 t-6} \end{aligned}$

D'où $g^{\prime}(t)=\sqrt{2} e^{4} e^{\sqrt{2} t}-5 e^{-5 t-6}$

5. $g(t)=\frac{e^{2 t}}{1+e^{2 t}}$

Pour tout $t \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned}g^{\prime}(t) &=\frac{\left(e^{2 t}\right)^{\prime}\left(1+e^{2 t}\right)-\left(1+e^{2 t}\right)^{\prime} e^{2 t}}{\left(1+e^{2 t}\right)^{2}} \\ &=\frac{2 e^{2 t}\left(1+e^{2 t}\right)-2 e^{2 t} e^{2 t}}{\left(1+e^{2 t}\right)^{2}} \\ &=\frac{2 e^{2 t}}{\left(1+e^{2 t}\right)^{2}}\end{aligned}$

D'où $g^{\prime}(t)=\frac{2 e^{2 t}}{\left(1+e^{2 t}\right)^{2}}$

6. $g(t)=-\sqrt{3} t e^{-\sqrt{3} t+2}$

Pour tout $t \in I\!R$, on a:

$\begin{aligned}g^{\prime}(t) &=(-\sqrt{3} t)^{\prime} e^{-\sqrt{3} t+2}-\sqrt{3} t\left(e^{-\sqrt{3} t+2}\right)^{\prime} \\ &=-\sqrt{3} e^{-\sqrt{3} t+2}-\sqrt{3} t(-\sqrt{3} t+2)^{\prime} e^{-\sqrt{3} t+2} \\ &=-\sqrt{3} e^{-\sqrt{3} t+2}-\sqrt{3} t(-\sqrt{3}) e^{-\sqrt{3} t+2} \\ &=-\sqrt{3} e^{-\sqrt{3} t+2}+3 t e^{-\sqrt{3} t+2} \\ &=(3 t-\sqrt{3}) e^{-\sqrt{3} t+2}\end{aligned}$

D'où $g^{\prime}(t)=(3 t-\sqrt{3}) e^{-\sqrt{3} t+2}$

Exercice 28 :

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous:

1. $f(x)=\mathrm{e}^{x}-2 x+\mathrm{e}^{3}$

2. $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\sqrt{3}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)$

3. $f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+3}$

4. $f(x)=e^{x^{4}+2 x^{2}-1}$

Réponse :

Déterminons la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous définie et dérivable sur $I\!R:$

1. $f(x)=\mathrm{e}^{x}-2 x+\mathrm{e}^{3}$

Pour tout $x \in I\!R, f^{\prime}(x)=e^{x}-2$

2. $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\sqrt{3}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)$

Pour tout $x \in I\!R$

$f^{\prime}(x)=e^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)+e^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+\sqrt{3}\right)$

D'où $f^{\prime}(x)=e^{x}\left(2 e^{x}-e+\sqrt{3}\right)$

3. $f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+3}$

Pour tout $x \in I\!R$; $f^{\prime}(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+3\right)-\mathrm{e}^{x}\left(2 \mathrm{e}^{x}-1\right)}{\left(\mathrm{e}^{x}+3\right)^{2}}$

D'où $f^{\prime}(x)=\frac{7 \mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+3\right)^{2}}$

4. $f(x)=e^{x^{4}+2 x^{2}-1}$

Pour tout $x \in I\!R$; 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\left(x^{4}+2 x^{2}-1\right)^{\prime} e^{x^{4}+2 x^{2}-1}\\&=\left(4 x^{3}+4 x\right) e^{x^{4}+2 x^{2}-1}\end{aligned}$

D'où $f^{\prime}(x)=\left(4 x^{3}+4 x\right) e^{x^{4}+2 x^{2}-1}$

Exercice 29 :

Dériver la fonction $f$ définie par:

a) $f(x)=\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}$ sur $I\!R$.

b) $f(x)=2 \mathrm{e}^{x}-x-2$ sur $I\!R$.

c) $f(x)=\frac{x}{3}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ sur $I\!R$.

d) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ sur $]-1 ;+\infty[.$

Réponse :

Dériver la fonction $f$ définie par:

a) $f(x)=\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}$

On sait que $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} .$ 

Ici, $u(x)=x^{2}-5 x+6$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$.

D'où: $u^{\prime}(x)=2 x-5$ et $v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}$.

On en déduit 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)\\&=(2 x-5) \mathrm{e}^{x}+\left(x^{2}-5 x+6\right) \mathrm{e}^{x}\\&=\left(2 x-5+x^{2}-5 x+6\right) e^{x}\\&=\left(x^{2}-3 x+1\right) e^x \end{aligned}$

b) $f(x)=2 \mathrm{e}^{x}-x-2$

$f^{\prime}(x)=2 \mathrm{e}^{x}-1$

c) $f(x)=\frac{x}{3}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$

On sait que la dérivée de $\frac{1}{u}$ est $-\frac{u^{\prime}}{u^{2}} .$ 

Donc $\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}=-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$

Si l'on a oublié la dérivée de $\frac{1}{u}$, on peut utiliser la dérivée de $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$. 

On peut aussi remarquer que $\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}=\mathrm{e}^{-x} .$ 

La dérivée est donc égale à $-\mathrm{e}^{-x}$ car $\left(\mathrm{e}^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \mathrm{e}^{u},$ c’est-à-dire $-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$.

Cela fait trois méthodes pour dériver $\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ ! Il faut bien sur n'en utiliser qu'une! On a donc: 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)\\&=\frac{1}{3}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\end{aligned}$.

d) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$.

On a ici un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v(x)=x+1$ . 

$u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v^{\prime}(x)=1$.

On sait que $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} .$ 

D'où, pour $x>-1$: 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{\mathrm{e}^{x}(x+1)-\mathrm{e}^{x} \times 1}{(x+1)^{2}}\\&=\frac{x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}}\\&=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}} \end{aligned}$

Exercice 30 :

Dériver la fonction $f$ définie par:

a) $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \operatorname{sur} I\!R$.

b) $f(x)=\mathrm{e}^{2 x-5}$ sur $I\!R$.

c) $f(x)=x \mathrm{e}^{-2 x}$ sur $I\!R$.

d) $f(x)=(x+2) \mathrm{e}^{3 x}$ sur $I\!R$.

e) $f(x)=\left(x^{2}+2 x-1\right) \mathrm{e}^{-x}+1$ sur $I\!R$.

f) $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $I\!R^{*}$.

g) $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ sur $I\!R$.

h) $f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}+3 x+5}$ sur $I\!R$.

Réponse :

Dériver la fonction $f$ définie par:

a) $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ sur $I\!R$.

$f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u(x)=-x$ donc $u^{\prime}(x)=-1$ et donc 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{u(x)}\\&=-\mathrm{e}^{-x}\end{aligned}$

b) $f(x)=\mathrm{e}^{2 x-5}$ sur $I\!R$.

On pose $u(x)=2 x-5, u^{\prime}(x)=2$

$f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ donc 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{u(x)}\\&=2 \mathrm{e}^{2 x-5}\end{aligned}$

c) $f(x)=x \mathrm{e}^{-2 x}$ sur $I\!R$.

$f$ est un produit de fonctions $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-2 x}$ 

On utilise la formule $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ . 

$u^{\prime}(x)=1$ et $v^{\prime}(x)=-2 \mathrm{e}^{-2 x}$.

On obtient 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1 \times \mathrm{e}^{-2 x}+x \times\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\\&=\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)\end{aligned}$.

d) $f(x)=(x+2) \mathrm{e}^{3 x}$ sur $I\!R$.

$f$ est un produit de fonctions: $u(x)=x+2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{3 x}$.

On utilise la formule $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$

$u^{\prime}(x)=1$ et $v^{\prime}(x)=3 \mathrm{e}^{3 x}$.

On obtient $f^{\prime}(x)=1 \times \mathrm{e}^{3 x}+(x+2) \times 3 \mathrm{e}^{3 x}$. 

On factorise $\mathrm{e}^{3 x}$.

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=(1+x+2) \mathrm{e}^{3 x}\\&=(x+3) \mathrm{e}^{3 x}\end{aligned}$

e) $f(x)=\left(x^{2}+2 x-1\right) \mathrm{e}^{-x}+1$ sur $I\!R$

On pose $u(x)=x^{2}+2 x-1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$

$u^{\prime}(x)=2 x+2$ et $v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=(2 x+2) \mathrm{e}^{-x}+\left(x^{2}+2 x-1\right) \times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\&=\left(2 x+2-x^{2}-x+1\right) \mathrm{e}^{-x}\\&=\left(-x^{2}+x+3\right) \mathrm{e}^{-x}\end{aligned}$

f) $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $I\!R^{*}$.

$f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ avec$u(x)=\frac{1}{x}$ 

$u^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$

 donc 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{u(x)}\\&=-\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\end{aligned}$

g) $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ sur $I\!R$.

$f(x)=\frac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$

$u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x} .$ 

On utilise la formule $\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{u^{2}}$ .

$f^{\prime}(x)=\frac{-\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}=\frac{-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$

h) $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}+3 x+5}$ sur $I\!R$.

$f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u(x)=x^{2}+3 x+5$

$u^{\prime}(x)=2 x+3$ et $f^{\prime}(x)=(2 x+3) \mathrm{e}^{x^{2}+3 x+5} .$

VARIATION DE FONCTION AVEC EXPONENTIELLE

Propriété:

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $I\!R$.

En effet, pour tout $x \in I\!R$ ; $f(x)=e^{x}>0$ 

De plus, pour tout $x \in I\!R ; f^{\prime}(x)=e^{x}>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $I\!R$ et on a le tableau de variation et la courbe représentative ci-dessous.

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x  & -\infty  && 0 && 1 &&   +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}  & &&&+ &&& \\ \hline f(x)=\mathrm{e}^{x}  &&&& &&  & +\infty\\ &0& &&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& & & \\ \hline \end{array}$

Exercice 31 :

On considère la fonction $f: x \mapsto 2 e^{x}-2 x+3$, définie et dérivable sur $I\!R$.

1. Déterminer la fonction dérivée de $f$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $I\!R$ en faisant un tableau de signe.

3. Déduis-en le tableau de variation de $f$ sur $I\!R$.

4. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 .

Réponse :

Considérons la fonction $f: x \mapsto 2 e^{x}-2 x+3$, définie et dérivable sur $I\!R$.

1. Déterminons la fonction dérivée de $f$. 

Pour tout $x \in I\!R$, $f^{\prime}(x)=\left(2 e^{x}\right)^{\prime}-(2 x-3)^{\prime}$

D'où $f^{\prime}(x)=2 e^{x}-2$

2. Étudions le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $I\!R$ en faisant un tableau de signe. 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0 &\Leftrightarrow 2 e^{x}-2=0 \\&\Leftrightarrow e^{x}=1 \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$

Faisons un tableau de signe:

On a: 

$\begin{aligned}x<0 &\Leftrightarrow e^{x}<e^{0} \\&\Leftrightarrow e^{x}<1 \\&\Leftrightarrow e^{x}-1<0 \\&\Leftrightarrow 2 e^{x}-2<0\end{aligned}$

Et 

$\begin{aligned}x>0 &\Leftrightarrow e^{x}>e^{0} \\&\Leftrightarrow e^{x}>1 \\&\Leftrightarrow e^{x}-1>0 \\&\Leftrightarrow 2 e^{x}-2>0\end{aligned}$

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x  &  -\infty  & & 0 & &  +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

3. Déduisons le tableau de variation de $f$ sur $I\!R$. 

Calculons les limites de $f$ au borne de son domaine de définition. 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(2 e^{x}-2 x+3\right)&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{2 e^{x}}{x}-2+\frac{3}{x}\right)\\&=+\infty \end{aligned}$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

Donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 e^{x}-2 x+3\right)=+\infty$

Car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(-2 x+3)=+\infty$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$

$f(0)=2 e^{0}-2 \times 0+3=5$

On obtient donc le tableau de variation ci-dessous:

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & &0 & & +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline f(x)  &  +\infty  & & & &  +\infty\\&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&5&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\ \hline \end{array}$

4. Donnons l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 . 

Soit $(T)$ cette tangente. 

$(T): y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$

On a: $f^{\prime}(0)=2 e^{0}-2=0$ et $f(0)=2 e^{0}-2 \times 0+3=5$

Donc $(T): y=0 x+5$

D'où $(T): y=5$

Exercice 32 :

On considère les fonctions

$u: x \mapsto e^{3 x-2} \text { et } v: x \mapsto e^{-2 x-5}$

définies et dérivables sur $I\!R$.

1. Déterminer la fonction dérivée de $u$ et de la fonction dérivée de $v$

2. Étudier les signes de chacune de ces dérivées sur $I\!R$.

3. Déduis-en le tableau de variation de $u$ et celui de $v$ sur $I\!R$.

4. Détermine les coordonnées du point d'intersection de la courbe représentative de $u$ et de celle $v$

Réponse :

Considérons les fonctions

$u: x \mapsto e^{3 x-2}$ et $v: x \mapsto e^{-2 x-5}$

définies et dérivables sur $I\!R$.

1. Déterminons la fonction dérivée de :

$•\ u(x)$ 

Pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}u^{\prime}(x)&=(3 x-2)^{\prime} e^{3 x-2}\\&=3 e^{3 x-2}\end{aligned}$

D'où $u^{\prime}(x)=3 e^{3 x-2}$

$•\ v(x)$

Pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}v^{\prime}(x)&=(-2 x-5)^{\prime} e^{-2 x-5}\\&=-2 e^{-2 x-5}\end{aligned}$

D'où $v^{\prime}(x)=-2 e^{-2 x-5}$

2. Étudions les signes de chacune de ces dérivées sur $I\!R$.

- Signe de $u^{\prime}(x)$ Pour tout $x \in I\!R$ ; $e^{3 x-2}>0$ donc $3 e^{3 x-2}>0$ 

D'où pour tout $x \in I\!R ; u^{\prime}(x)>0$

- Signe de $v^{\prime}(x)$ Pour tout $x \in I\!R$ ; $e^{-2 x-5}>0$ donc $-2 e^{-2 x-5}<0$

D'où pour tout $x \in I\!R ; v^{\prime}(x)<0$

3. Déduisons le tableau de variation de $u$ et celui de $v$ sur $I\!R$.

- Tableau de variation de $u$

Déterminons les limites de $u$ aux bornes de $I\!R$ $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} u(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{3 x-2}=+\infty$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(3 x-2)=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} u(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} u(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{3 x-2}=0$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(3 x-2)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} u(x)=0$

On obtient donc le tableau de variation ci-dessous:

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x  &  -\infty  & & +\infty \\ \hline u^{\prime}(x)  & &  +  & \\ \hline u(x)  & & &+\infty  \\ & 0 &\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow} &   \\ \hline \end{array}$

- Tableau de variation de $v$ 

Déterminons les limites de $v$ aux bornes de $I\!R$ 

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} v(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-2 x-5}=0$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(-2 x-5)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} v(x)=0$

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} v(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{-2 x-5}=+\infty$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(-2 x-5)=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty$

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} v(x)=+\infty$

On obtient donc le tableau de variation ci-dessous:

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x  &  -\infty  & &  +\infty  \\ \hline v^{\prime}(x)  & & -  & \\ \hline v(x)  & +\infty& & \\ & &\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow} &-\infty \\ \hline \end{array}$

4. Détermine les coordonnées du point d'intersection de la courbe représentative de $u$ et de celle $v$. 

Soit $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ un point d'intersection de la courbe représentative de $u$ et de celle de $v$. L'abscisse du point $A$ vérifie l'équation $u\left(x_{1}\right)=v\left(x_{1}\right)$

$\begin{aligned} u\left(x_{1}\right)=v\left(x_{1}\right) & \Leftrightarrow e^{3 x_{1}-2}=e^{-2 x_{1}-5} \\ & \Leftrightarrow 3 x_{1}-2=-2 x_{1}-5 \\ & \Leftrightarrow 5 x_{1}=-3 \\ & \Leftrightarrow x_{1}=-\frac{3}{5} \end{aligned}$

En plus, on a: $y_{1}=u\left(-\frac{3}{5}\right)=e^{3 \times\left(-\frac{3}{5}\right)-2}=e^{-\frac{19}{5}}$

D'où $A\left(-\frac{3}{5}, e^{-\frac{19}{5}}\right)$

Exercice 33 :

On considère la fonction $f: x \mapsto \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}$, définie et dérivable sur $I\!R^{*}$.

1. Détermine la fonction dérivée de $f$.

2. Donne le tableau de signes de cette dérivée sur $I\!R^{*}$.

3. Déduis-en le tableau de variations de $f$ sur $I\!R^{*}$.

4. Donne une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$.

Réponse :

On considère la fonction $f: x \mapsto \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}$, définie et dérivable sur $I\!R^{*}$.

1. Déterminons la fonction dérivée de $f$. 

Pour tout $x \in I\!R^{*}$, 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{\left(e^{2 x+5}\right)^{\prime} \times x^{2}-\left(x^{2}\right)^{\prime} \times e^{2 x+5}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\\&=\frac{2 x^{2} e^{2 x+5}-2 x e^{2 x+5}}{x^{4}}\\&=\frac{2 x(x-1) e^{2 x+5}}{x^{4}}\end{aligned}$

2. Donnons le tableau de signes de cette dérivée sur $I\!R^{*}$. 

De ce qui précède, pour tout $x \in I\!R^{*}$, on a:

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{2 x(x-1) e^{2 x+5}}{x^{4}}\\&=2 x(x-1) \times \frac{e^{2 x+5}}{x^{4}}\end{aligned}$

Or pour tout $x \in I\!R^{*}$, $\frac{e^{2 x+5}}{x^{4}}>0$

Ainsi $f^{\prime}(x)$ a le signe de $x \mapsto 2 x(x-1)$ 

On a: $2 x(x-1)=0 \Leftrightarrow x=0$ ou $x=1$

Faisons un tableau de signe:

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 0 & & 1 & &  +\infty  \\ \hline  2 x(x-   1)  &&  +  & 0&  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in]-\infty, 0[\cup] 1,+\infty[$, $f^{\prime}(x)>0$

pour tout $x \in] 0,1\left[, f^{\prime}(x)<0\right.$

et pour $x=1, f^{\prime}(1)=0$

3. Déduisons le tableau de variations de $f$ sur $I\!R^{*}$. 

Calculons les limites de $f$ aux bornes du domaine $I\!R^{*}$ :

• On a : 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}\times e^{5}}{x^{2}}\\&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \left({\frac{e^{x}}{x}}\right)^{2}\times e^{5}\\&=+\infty \end{aligned}$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

Donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$

• On a : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{2 x+5} \times \frac{1}{x^{2}}=0$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{2 x+5}=0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^{2}}=0$

• On a : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0_{>}} \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}=+\infty$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 x+5}=e^{5}$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}=+\infty$

• On a : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x+5}}{x^{2}}=+\infty$

car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 x+5}=e^{5}$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}=+\infty$

Et on a : $f(1)=\frac{e^{2 \times 1+5}}{1^{2}}=e^{7}$ 

On obtient par suite le tableau de variation ci-dessous:

$\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline x  &  -\infty  &&& 0 && &1 & & +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & &  + &&||& &  -  & 0 &  +  & \\ \hline f(x)  & &&  +\infty &|| & +\infty  & &&&  +\infty \\&0&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&||&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&e^7&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\ \hline \end{array}$

4. Donnons une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ 

Soit $(T)$ cette tangente. 

$(T): y=f^{\prime}(-1)(x+1)+f(-1)$

On a: $f(-1)=\frac{e^{2 \times(-1)+5}}{(-1)^{2}}=e^{3}$

et $f^{\prime}(-1)=\frac{-2(-1-1) e^{2 \times(-1)+5}}{(-1)^{4}}=4 e^{3}$

Donc 

$\begin{aligned}(T): y&=4 e^{3}(x+1)+e^{3}\\&=4 e^{3} x+5 e^{3}\end{aligned}$

D'où $(T): y=4 e^{3} x+5 e^{3}$

Exercice 34 :

Déterminer la fonction dérivée et donner le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué.

1. $g_{1}(x)=x c^{2 x}-1$ sur $I=I\!R$.

2. $f_{1}(x)=x-5+e^{x}$ sur $I=I\!R$.

3. $f_{2}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ sur $I=I\!R$.

4. $g_{2}(x)=x e^{-3 x+1}$ sur $I=I\!R$.

Réponse :

Déterminons la fonction dérivée et donnons le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué.

1. $g_{1}(x)=x e^{2 x}-1$ sur $I=I\!R$.

Pour tout $x \in I\!R$, on a :

$g_{1}^{\prime}(x)=e^{2 x}+2 x e^{2 x}$

D'où $g_{1}^{\prime}(x)=(2 x+1) e^{2 x}$

Étudions le signe de $g_{1}^{\prime}(x)$ 

Pour tout $x \in I\!R$, $e^{2 x}>0$ 

donc $g_{1}^{\prime}(x)$ a le signe de $x \mapsto 2 x+1$. 

On a: $2 x+1=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Faisons un tableau de signe de $x \mapsto 2 x+1$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  &&  -\frac{1}{2}  & &  +\infty  \\ \hline  2 x+1  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in]-\infty,-\frac{1}{2}[$, $2 x+1<0$ 

et pour tout $x \in]-\frac{1}{2},+\infty[$, $2 x+ 1>0 .$ 

Par conséquent, $g_{1}$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty,-\frac{1}{2}[$ et strictement croissante sur l'intervalle $]-\frac{1}{2},+\infty[$

2. $g_{2}(x)=x-5+e^{x}$ sur $I=I\!R$.

Pour tout $x \in I\!R ;$ on a:

$g_{2}^{\prime}(x)=1+e^{x}$

Étudions le signe de $g_{2}^{\prime}(x)$ 

Pour tout $x \in I\!R$ ; $1+e^{x}>0$

Donc pour tout $x \in I\!R$ ; $g_{2}^{\prime}(x)>0$

Par conséquent $g_{2}$ est strictement croissante sur $I\!R$

3. $g_{3}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ sur $I=I\!R$.

Pour tout $x \in I\!R ;$ on a:

$\begin{aligned}g_{3}^{\prime}(x)&=\frac{e^{x}\left(e^{x}+1\right)-e^{x} \times e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}\\&=\frac{e^{x} \times e^{x}+e^{x}-e^{x} \times e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}\end{aligned}$

D'où $g_{3}^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}$

Etudions le signe de $g_{3}^{\prime}(x)$ :

Pour tout $x \in I\!R$, $e^{x}>0$ et $\left(e^{x}+1\right)>0$ 

alors $\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}>0$

Ainsi, pour tout $x \in I\!R$, $g_{3}^{\prime}(x)>0$

Par conséquent, $g_{3}^{\prime}$ est strictement croissante sur $I\!R$.

4. $g_{4}(x)=x e^{-3 x+1}$ sur $I=I\!R$.

Pour tout $x \in I\!R ;$ on a:

$g_{4}^{\prime}(x)=e^{-3 x+1}-3 x e^{-3 x+1}$

D'où $g_{4}^{\prime}(x)=(1-3 x) e^{-3 x+1}$

Étudions le signe de $g_{4}^{\prime}(x)$ 

Pour tout $x \in I\!R, e^{-3 x+1}>0$ 

donc $g_{4}^{\prime}(x)$ a le signe de $x \mapsto 1-3 x$ 

On a: $1-3 x=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

Faisons un tableau de signe.

$\begin{array}{|c|cccc|}\hline x  &  -\infty  & &  \frac{1}{3}  & &  +\infty  \\ \hline  1-3 x  & &  +  & 0 &  -  & \\ \hline \end{array}$

Ainsi, pour tout $x \in\left]-\infty, \frac{1}{3}\right[$; $g_{4}^{\prime}(x)>0$ 

et pour tout $x \in\left] \frac{1}{3},+\infty\right[$; $g_{4}^{\prime}(x)<0$

Par conséquent, $g_{4}$ est strictement croissante sur $]-\infty, \frac{1}{3}[$ et strictement décroissante sur $] \frac{1}{3},+\infty[$

Exercice 35 :

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $I\!R ;$ elle passe par les points $A(0 ; 1)$ et $B(-1 ; 0) . T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ et passant par le point $C(1 ; 3)$.

1. Déterminer graphiquement les valeurs respectives de $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$, où $f^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $f$.

2. On admet que $f$ est définie, pour tout $x$ réel, par:

$f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}$ où  $a$, $b$ et $c$ sont des réels 

a. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$.

b. Déterminer la valeur de $a, b$ et $c$, en justifiant.

Réponse :

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $I\!R ;$ elle passe par les points $A(0 ; 1)$ et $B(-1 ; 0)$ . 

$T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ et passant par le point $C(1 ; 3)$.

1. Déterminons graphiquement les valeurs respectives de $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$, où $f^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $f$. 

A partir du graphique, on obtient: $f(0)=1$ et $f^{\prime}(0)=2$

2. Admettons que $f$ est définie, pour tout $x$ réel, par: 

$f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}$ où $a, b$ et $c$ sont des réels.

a. Déterminons la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$. 

Pour tout $x \in I\!R ;$ on a:

$f^{\prime}(x)=(2 a x+b) e^{-x}-\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}$

D'où $f^{\prime}(x)=\left[-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right] e^{-x}$

b. Déterminons la valeur de $a, b$ et $c$, en justifiant. 

On sait que $f(0)=1$ 

$\begin{aligned}f(0)=1 &\Leftrightarrow\left(a \times 0^{2}+b \times 0+c\right) e^{0}=1 \\&\Leftrightarrow c=1 \end{aligned}$

D'où $\boxed{c=1}$ 

On sait aussi que $f^{\prime}(0)=2$ 

$f^{\prime}(0)=2$ 

$\quad\Leftrightarrow\left[a \times 0^{2}+(2 a-b) \times 0+b-c\right] e^{0}=2$

$\quad \Leftrightarrow b-c=2$

$\begin{aligned}b-c=2 &\Leftrightarrow b=2+c \\&\Leftrightarrow b=3\end{aligned}$

D'où $\boxed{b=3}$ 

Enfin, on sait aussi que la courbe passe par le point $B(-1,0)$ donc $f(-1)=0$

$\begin{aligned}f(-1)=0& \Leftrightarrow\left(a(-1)^{2}-b+c\right) e^{1}=0 \\&\Leftrightarrow a-b+c=0\ car\ e>0\end{aligned}$ 

$\begin{aligned}a-b+c=0 &\Leftrightarrow a=b-c \\&\Leftrightarrow \boxed{a=2}\end{aligned}$

De tout ce qui précède, on conclut que : $f(x)=\left(2 x^{2}+3 x+1\right) e^{x}$

Exercice 36 :

1. On considère la fonction $u$ définie sur $I\!R$ par :

$u: x \mapsto 2 e^{\frac{x}{2}}-4 .$

Donner une expression de la tangente à la courbe représentative de $u$ au point d'abscisse 0 .

2. On considère la fonction $v$ définie sur $I\!R$ par:

$v: x \mapsto 2 e^{\frac{x}{2}}-x-2$

Après avoir donné une expression de la dérivé de $v$, dresser le tableau de variation de $v \operatorname{sur} I\!R$.

3. Déduis-en la position relative de la courbe représentative de $u$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse 0 .

Réponse :

1. $u: x \mapsto 2 e^{\frac{x}{2}}-4 .$

Donnons une expression de la tangente à la courbe représentative de $u$ au point d'abscisse 0 . 

Soit $(T)$ cette tangente. 

$(T): y=u^{\prime}(0)(x-0)+u(0)$

On a $u(0)=2 e^{\frac{0}{2}}-4=-2$ 

pour tout $x \in I\!R$, $u^{\prime}(x)=e^{\frac{x}{2}}$ 

donc $u^{\prime}(0)=e^{0}=1$

Ainsi, $(T): y=1(x-0)-2$

D'où $(T): y=x-2$

2. $v: x \mapsto 2 e^{\frac{x}{2}}-x-2$

Donnons une expression de la dérivé de $v$, puis dressons le tableau de variation de $v$ sur $I\!R$. 

Pour tout $x \in I\!R$; on a $v^{\prime}(x)=e^{\frac{x}{2}}-1$ . 

Étudions le signe de $v^{\prime}(x)$

On a:

$\begin{aligned}v^{\prime}(x)=0 &\Leftrightarrow e^{\frac{x}{2}}-1=0 \\&\Leftrightarrow e^{\frac{x}{2}}=1\\& \Leftrightarrow \frac{x}{2}=0 \\&\Leftrightarrow x=0 \end{aligned}$

Faisons un tableau de signe et de variation:

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 0 & &  +\infty  \\ \hline v^{\prime}(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline v(x)  &  +\infty  & & & & +\infty \\&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&0&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\ \hline \end{array}$

3. Déduisons la position relative de la courbe représentative de $u$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse 0 . 

$u(x)=2 e^{\frac{x}{2}}-4$ et $(T): y=x-2$

Étudions le signe de $u(x)-y$ 

On a: $u(x)-y=2 e^{\frac{x}{2}}-4-x+2=2 e^{\frac{x}{2}}-x-2$

Donc $u(x)-y=v(x)$ 

Ainsi, à partir du tableau de variation de la question précédente, on conclut que:

pour tout $x \in I\!R^*$; $v(x)>0$ donc : 

$•$ pour tout $x \in]-\infty, 0[$, la courbe représentative de la fonction $u$ est au dessus de la tangente $(T)$ et 

$•$ pour tout $x \in[0,+\infty[$ la courbe représentative de $u$ est au dessus de la tangente $(T)$

Exercice 37 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$

a) Calculer $f^{\prime}(x)$.

b) Dresser le tableau de variation de $f$.

c) Montrer que $f$ ne s'annule pas sur $I\!R$

Réponse :

$f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$

a) Pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-1$

$\begin{aligned}b)\ f^{\prime}(x)>0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>1\\&\Leftrightarrow\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}^{0}\\&\Leftrightarrow x>0\end{aligned}$ 

De même, 

$f^{\prime}(x)<0\Leftrightarrow x<0$, 

et $f^{\prime}(x)=0$ si et seulement si $x=0$. 

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  & & 0 & &  +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline f(x)  & & & & & \\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}& 1 & \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\ \hline \end{array}$ 

c) Le minimum de $f$ est $f(0)$. 

$f(0)=\mathrm{e}^{0}-0=1-0=1$. 

Pour tout réel $x$, $f(x)$ est supérieur ou égal au minimum de $f$. 

Pour tout réel $x$, $f(x) \geq 1 .$ 

La fonction $f$ ne s'annule donc pas sur $I\!R$.

Exercice 38 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}$. 

La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0 est-elle parallèle à la droite d'équation $y=-\frac{1}{4} x ?$

Réponse :

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}$

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en son point d'abscisse 0 est $f^{\prime}(0)$ 

Or, pour tout réel $x$ : $f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\left(\right.$ en utilisant la formule $\left.\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\right) .$ 

D'où 

$\begin{aligned}f^{\prime}(0)&=-\frac{\mathrm{e}^{0}}{\left(\mathrm{e}^{0}+1\right)^{2}}\\&=-\frac{1}{(1+1)^{2}}\\&=-\frac{1}{4}\end{aligned}$.

On trouve le même coefficient directeur que celui de la droite d'équation $y=-\frac{1}{4} x$. 

Cette droite et la tangente au abscisse 0 sont donc parallèles (même coefficient directeur).

Exercice 39 :

On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par la relation:

$f(x)=\frac{2 e^{x}-1}{e^{2 x}}$

1) Donner l'expression de la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$.

2) Etablir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ; 10]$.

Réponse :

On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par la relation:

$f(x)=\frac{2 e^{x}-1}{e^{2 x}}$

1) Donner l'expression de la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$.

On pose:  $u(x)=2 e^{x}-1$  et $v(x)=e^{2 x}$

$u^{\prime}(x)=2 e^{x}$ et $v^{\prime}(x)=2 e^{2 x}$

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{2 e^{x} \times e^{2 x}-\left(2 e^{x}-1\right) \times 2 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}\right)^{2}}\\&=\frac{e^{2 x}\left[2 e^{x}-2\left(2 e^{x}-1\right)\right]}{e^{2 x} \times e^{2 x}}\\&=\frac{2 e^{x}-4 e^{x}+2}{e^{2 x}}\\&=\frac{-2 e^{x}+2}{e^{2 x}} \\&=\frac{2\left(1-e^{x}\right)}{e^{2 x}}\end{aligned}$

2) Etablir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ; 10]$

Etude du signe de la dérivée :

Pour tout réel $x$, $e^{2 x}>0$.

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)>0 & \Leftrightarrow 1-e^{x}>0 \\& \Leftrightarrow-e^{x}>-1 \\& \Leftrightarrow-e^{x} \times(-1)<-1 \times(-1) \\& \Leftrightarrow e^{x}<1 \\& \Leftrightarrow e^{x}<e^{0} \\& \Leftrightarrow x<0\end{aligned}$

On obtient le tableau de variation suivant :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-1&&0&&10\\ \hline f^{\prime}(x)&&+&&-&\\ \hline f(x) & &&1&&\\ &2 e-e^{2} & \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&2 e^{10}-e^{20} \\\hline \end{array}$

avec

$\begin{aligned}f(-1)&=\frac{2 e^{-1}-1}{e^{2 \times(-1)}}\\&=\frac{2 e^{-1}-1}{e^{-2}}\\&=\frac{2 \times \frac{1}{e}-1}{\frac{1}{e^{2}}}\\&=\left(\frac{2}{e}-1\right) \times e^{2}\\&=2 e-e^{2} \\&\simeq-1,95 \end{aligned}$

$f(0)=\frac{2 e^{0}-1}{e^{2 \times 0}}=2-1=1$

$\begin{aligned}f(10)&=\frac{2 e^{-10}-1}{e^{2 \times(-10)}}\\&=\frac{2 e^{-10}-1}{e^{-20}}\\&=\frac{2 \times \frac{1}{e^{10}}-1}{\frac{1}{e^{20}}}\\&=\left(\frac{2}{e^{10}}-1\right) \times e^{20}\\&=2 e^{10}-e^{20} \\&\simeq-485121142,5 \end{aligned}$

Exercice 40 :

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=e^{x}+\frac{1}{x}$.

1. Etude d'une fonction auxiliaire.

a. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $g(x)=x^{2} e^{x}-1$. 

Etudier les variations de $g$.

b. On admet qu'il existe un réel $a \simeq 0,7035$ tel que $g(a)=0$.

Donner le signe de $g(x)$ sur $[0 ;+\infty[.$

2. Etude de la fonction $f$.

a. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$. 

Démontrer que pour tout réel strictement positif $x, f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}$.

b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle$] 0 ;+\infty[.$

Réponse :

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=e^{x}+\frac{1}{x}$.

1. Etude d'une fonction auxiliaire.

a. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par $: g(x)=x^{2} e^{x}-1$. 

Etudier le sens de variation de la fonction $g .$ 

On pose: $u(x)=x^{2} \quad$ et $\quad v(x)=e^{x}$

$u^{\prime}(x)=2 x$ et $v^{\prime}(x)=e^{x}$

pour tout  $x \in] 0 ;+\infty[$

$\begin{aligned}g^{\prime}(x)&=2 x \times e^{x}+x^{2} \times e^{x}\\&=\left(2 x+x^{2}\right) e^{x}\\&=(2+x) x e^{x} \end{aligned}$

pour tout  $x \in] 0 ;+\infty[$: $x e^{x}>0\ et\ 2+x>0$

Donc la dérivée g' est strictement positive 

D’où la fonction g est strictement croissante.

b. On admet qu'il existe un réel $a \simeq 0,7035$ tel que $g(a)=0$.

Déterminer le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$.

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x &0&a&&+\infty\\ \hline g^{\prime}(x)&&&+&\\ \hline g & &0&\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}& \\\hline \end{array}$

$•$ Si $x \in] 0 ; a[$, la fonction $g$ est négative 

$•$ Si $x \in] a ;+\infty[$, la fonction $g$ est positive.

2. Etude de la fonction $f$.

a. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$. 

Démontrer que pour tout réel strictement positif $x$, $f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}$ 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=e^{x}-\frac{1}{x^{2}}\\&=\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\\&=\frac{x^{2} e^{x}-1}{x^{2}}\\&=\frac{g(x)}{x^{2}}\end{aligned}$

b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle ] $0 ;+\infty[$

$\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, x^{2}>0\right.$

$•$ Si $x \in] 0 ; a[$, $g(x)<0$, donc $f^{\prime}(x)<0$ et la fonction $f$ est décroissante. 

$•$ Si $x \in] a ;+\infty[$, $g(x)>0$, donc $f^{\prime}(x)>0$ et la fonction $f$ est croissante.

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &0&&a&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline f &+\infty &&&&+\infty\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&f(a)&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

Exercice 41 :

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=e^{2 x}-e^{x}$

On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ et $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec{\ \ i};\vec{\ j})$ d'unité graphique $4 \mathrm{~cm}$. 

On remarquera que, pour tout réel $x$, on a

$e^{2 x}-e^{x}=e^{x}\left(e^{x}-1\right)$

1. a. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$.

b. Etudier le signe de la dérivée.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2. Déterminer une équation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $0 .$

3. Tracer la droite $\mathrm{T}$ et la courbe $C_{f}$

Réponse :

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$f(x)=e^{2 x}-e^{x}$

On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ et $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$ d'unité graphique $4 \mathrm{~cm}$. 

On remarquera que, pour tout réel $x$, on a :

$\begin{aligned}e^{2 x}-e^{x}&=e^{x} \times e^{x}-e^{x} \times 1\\&=e^{x}\left(e^{x}-1\right)\end{aligned}$

1. a. pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2 e^{2 x}-e^{x}\\&=e^{x}\left(2 e^{x}-1\right)\end{aligned}$

b. $\forall x \in I\!R, e^{x}>0$ et on a :

$\begin{aligned}2 e^{x}-1>0 &\Leftrightarrow e^{x}>\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow e^{x}>e^{\ln \frac{1}{2}} \\&\Leftrightarrow x>\ln \frac{1}{2}\end{aligned}$

Car la fonction exponentielle est croissante. 

Donc :

$•$ Si $x>\ln \frac{1}{2}: f^{\prime}(x)>0$ 

$•$ Si $x<\ln \frac{1}{2}: f^{\prime}(x)<0$

$f\left(\ln \frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$

c. Tableau de variations de fonction $f$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-\infty&&\ln\frac{1}{2}&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline f &0 &&&&+\infty\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-\frac{1}{4}&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

2. Equation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $0$: 

$\mathrm{T}: y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$

$f^{\prime}(0)=2 e^{2 \times 0}-e^{0}=2-1=1$

$f(0)=e^{2 \times 0}-e^{0}=1-1=0$

Donc: $\mathrm{T}: y=1(x-0)+0 \quad$ 

soit : $\mathrm{T}: y=x$

3. Tracer la droite $\mathrm{T}$ et la courbe $C_{f}$.

Exercice 42 :

On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par

$f(x)=e^{2 x}-e^{x}-6$

On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur $I\!R$.

1. a. Calculer $f^{\prime}(x)$ et montrer que l'on a pour tout nombre réel $x$: $f^{\prime}(x)=e^{x}\left(2 e^{x}-1\right)$

b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $I\!R$

2. a. Dresser le tableau de variations de la fonction en précisant les limites de $f$.

b. Montrer que le minimum de la fonction $f$ sur $I\!R$ est égal à $\frac{-25}{4}$.

Réponse :

On considère la fonction $f$ définie sur $I\!R$ par:

$f(x)=e^{2 x}-e^{x}-6$

On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur $I\!R$.

1. a. pour tout $x \in I\!R$,

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2 e^{2 x}-e^{x}\\&=e^{x}\left(2 e^{x}-1\right)\end{aligned}$

b. Étudions les variations de la fonction $f$ sur $I\!R$. 

$\forall x \in I\!R, e^{x}>0$ et on a :

$\begin{aligned}2 e^{x}-1>0 &\Leftrightarrow e^{x}>\frac{1}{2} \\&\Leftrightarrow x>\ln \frac{1}{2}\end{aligned}$

Donc :

$•$ Si $x>\ln \frac{1}{2}: f^{\prime}(x)>0$

$•$ Si $x<\ln \frac{1}{2}: f^{\prime}(x)<0$

2. a. Tableau de variations de la fonction $f$ :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-\infty&&\ln\frac{1}{2}&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline f &-6 &&&&+\infty\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-\frac{25}{4}&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

b. Minimum de la fonction $f$ sur $I\!R$ :

$f\left(\ln \frac{1}{2}\right)=-\frac{25}{4}$

Exercice 43 :

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $I\!R$ par: $f(x)=e^{-x}+2 x-3$

Soit $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$ d'unités graphiques $2 \mathrm{~cm}$ en abscisse et $1 \mathrm{~cm}$ en ordonnée.

1. Etude des variations de la fonction $f$

a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime}(x)=\frac{2 e^{x}-1}{e^{x}}$

où $f^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $f$.

b. Résoudre dans $I\!R$ l'équation: $f^{\prime}(x)=0$

c. Etudier le signe de la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction sur $I\!R$

d. Etablir le tableau de variations de la fonction $f$.

e. Calculer $f(1)$ et déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 1] .$

4. Tracer la courbe $C_{f}$ dans le repère $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$

Réponse :

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $I\!R$ par: $f(x)=e^{-x}+2 x-3$

Soit $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$ d'unités graphiques $2 \mathrm{~cm}$ en abscisse et $1 \mathrm{~cm}$ en ordonnée.

1. Etude des variations de la fonction $f$

a. pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-e^{-x}+2\\&=-\frac{1}{e^{x}}+2\\&=\frac{-1+2 e^{x}}{e^{x}}\end{aligned}$

b. Résoudre dans $I\!R$ l'équation $f^{\prime}(x)=0$ :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x) =0 &\Leftrightarrow-1+2 e^{x}=0 \\&\Leftrightarrow e^{x}=\frac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow e^{x}=e^{\ln \frac{1}{2}} \\&\Leftrightarrow x=\ln \frac{1}{2} \end{aligned}$

c. Signe de la dérivée $f^{\prime}$ sur $I\!R$ :

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)>0 &\Leftrightarrow-1+2 e^{x}>0 \\&\Leftrightarrow e^{x}>\frac{1}{2}\\& \Leftrightarrow e^{x}>e^{\ln \frac{1}{2}} \\&\Leftrightarrow x>\ln \frac{1}{2}\end{aligned}$ 

Donc :

$•$ Si  $x \in]\ln \frac{1}{2} ;+\infty[$: $f^{\prime}(x)>0$.

$•$ Si  $x \in]-\infty ;\ln \frac{1}{2}[$: $f^{\prime}(x)<0$.

d. Tableau de variations de la fonction $f$ :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-\infty&&\ln\frac{1}{2}&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline f &+\infty &&&&+\infty\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-2\ln(2) -1&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

$f\left(\ln \frac{1}{2}\right) \simeq-3,89$

e. On a :

$\begin{aligned}f(1)&=e^{-1}+2 \times 1-3\\&=e^{-1}-1 \end{aligned}$

$f$ est strictement croissante sur $[0 ; 1]$ et $f(1)<0$ 

donc $\forall x \in[0 ; 1]: f(x)<0$

2. Tracer la courbe $C_{f}$ dans le repère $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$

Exercice 44 :

Partie A 

On note $g$ la fonction définie sur l'ensemble $I\!R$ des

nombres réels par: $g(x)=e^{-x}(-3 x+1)+1$

1. Calculer la dérivée $g^{\prime}$ de la fonction $g$.

2. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $I\!R$, et dresser le tableau de variation (On ne demande pas les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ ).

3. Calculer $g\left(\frac{4}{3}\right)$ et en déduire le signe de la fonction $g \operatorname{sur} I\!R$. 

Partie B : 

On considère maintenant la fonction $f$ définie sur l'ensemble $I\!R$ des nombres réels par:$f(x)=e^{-x}(3 x+2)+x$

1. Étude des variations de $f$.

a. Calculer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$, et démontrer que, pour tout réel $x$: $f^{\prime}(x)=g(x)$

b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

Réponse :

Partie A  

On note $g$ la fonction définie sur l'ensemble $I\!R$ par :  $g(x)=e^{-x}(-3 x+1)+1$

1. pour tout $x \in I\!R$, 

$\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=-e^{-x}(-3 x+1)+e^{-x} \times(-3)\\&=e^{-x} \times(-1) \times(-3 x+1)+e^{-x} \times(-3)\\&=e^{-x}(3 x-1)+e^{-x} \times(-3)\\&=e^{-x}[(3 x-1)+(-3)]\\&=e^{-x}(3 x-4) \end{aligned}$

2. Sens de variation de la fonction $g$ sur $I\!R$ :

$\forall x \in I\!R, e^{-x}>0$ et on a 

$3 x-4>0 \Leftrightarrow x>\frac{4}{3}$

Donc 

$•$ si $x>\frac{4}{3}$, alors $g^{\prime}(x)>0$ 

$•$ si $x<\frac{4}{3}$, alors $g^{\prime}(x)<0$ 

Tableau de variation :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-\infty&&\frac{4}{3}&&+\infty\\ \hline g^{\prime}(x)&&-&0&+&\\ \hline g & &&&&+\infty\\ & & \style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&g\left(\frac{4}{3}\right)&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

3. On a :

$g\left(\frac{4}{3}\right)=e^{-\frac{4}{3}}\left(-3 \times \frac{4}{3}+1\right)+1=e^{-\frac{4}{3}}(-4+1)+1$

$g\left(\frac{4}{3}\right)=-3 e^{-\frac{4}{3}}+1 \simeq 0,21$

$g\left(\frac{4}{3}\right)>0$ 

$g\left(\frac{4}{3}\right)$ est le minimum de la fonction $g$ sur $I\!R$

donc $\forall x \in I\!R, g(x) \geq g\left(\frac{4}{3}\right)$

d’où $\forall x \in I\!R, g(x)>0$

Partie B 

On considère maintenant la fonction définie sur l'ensemble $I\!R$ des nombres réels par: $f(x)=e^{-x}(3 x+2)+x$

Dn note $C_{f}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal $(O, \vec{\ i};\vec{\ j})$ d'unités graphiques : $3 \mathrm{~cm}$ en abscisse et $1 \mathrm{~cm}$ en ordonnée).

1. Étude des variations de $f$.

a. Calculer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$, et démontrer que, pour tout réel $x$: $f^{\prime}(x)=g(x)$ 

pour tout  $x \in I\!R$,

$\begin{aligned}  f^{\prime}(x) &=-e^{-x} \times(3 x+2)+e^{-x} \times 3+1 \\ &=e^{-x} \times[-(3 x+2)+3]+1 \\ &=e^{-x}(-3 x+1)+1\\&=g(x) \end{aligned}$

b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 

$\forall x \in I\!R, g(x)>0$ donc $\forall x \in I\!R, f^{\prime}(x)>0:$ 

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x &-\infty&&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&&+&\\ \hline f &&&+\infty\\ &-\infty & \style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&  \\\hline \end{array}$

Exercice 45 :

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par $f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}$. 

Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\left(x^{2}+4 x+3\right) \mathrm{e}^{-x}$.

Réponse :

$f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}$

On sait que $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ . 

Ici, $u(x)=a x^{2}+b x+c$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ .

D'où : $u^{\prime}(x)=2 a x+b$ et $v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

On en déduit 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)\\&=(2 a x+b) e^{-x}-\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-}\\&=\left(2 a x+b-a x^{2}-b x-c\right) \mathrm{e}^{-x}\\&=\left[-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right] \mathrm{e}^{-x}\end{aligned}$

On a : pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\left(x^{2}+4 x+3\right) \mathrm{e}^{-x}$ si et seulement si :

pour tout réel $x$,$-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c=x^{2}+4 x+3$, c'est-à-dire si et seulement si les coefficients des monômes de même degré sont égaux, ce qui fait :

$\begin{aligned}\left\{\begin{array}{l}-a=1 \\ 2 a-b=4  \\ b-c=3\end{array}\right.&\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ -2-b=4, \\ b-c=3\end{array}\right.\\ & \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=-6 \\ c=b-3=-9\end{array}\right.\end{aligned}$

$\boxed{a=-1 ; b=-6\ et\ c=-9}$

Exercice 46 :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(2-x) \mathrm{e}^{x}$. 

Justifier les affirmations données par le tableau de variations suivant :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  & 0 & & 1 & &  +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & & +  & 0 &  -  & \\ \hline & & &  \mathrm{e}  & & \\ \hline \end{array}$

Réponse :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(2-x) \mathrm{e}^{x}$. 

Calculons la dérivée de $f$ . 

$f$ est dérivable sur $I\!R$, donc sur $[0 ;+\infty[$, comme produit de fonctions dérivables sur $I\!R$ 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\mathrm{e}^{x}+(2-x) \mathrm{e}^{x}\\&=(-1+2-x) \mathrm{e}^{x}\\&=(1-x) \mathrm{e}^{x}\end{aligned}$.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc $f^{\prime}(x)$ a le même signe que $1-x ;$ 

On a : $1-x$ est :

$•$ nul pour $x=1$

$•$ strictement positif pour $x<1$ 

$•$ strictement négatif pour $x>1$

ce qui justifie les deux premières lignes du tableau. 

La troisième ligne est justifiée par le fait qu'une fonction de dérivée :

$•$ positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle (c'est le cas ici sur l'intervalle $[0 ; 1]$ ) 

$•$ négative sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle (c'est le cas ici sur l'intervalle $[1 ;+\infty[) .$ 

On complète cette troisième ligne en calculant $f(0)$, $f(1)$ et en déterminant $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$: 

$f(0)=(2-0) \mathrm{e}^{0}=2 \times 1=2$ 

$f(1)=(2-1) \mathrm{e}^{1}=1 \times \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$

$\left.\begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(2-x)=-\infty\\&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty\end{aligned}\right\} \begin{aligned} &\scriptsize{par\ produit}\\&\Longrightarrow \end{aligned}$ $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x  &0 & & 1 & &  +\infty  \\ \hline f^{\prime}(x)  & &  +  & 0 &  -  & \\ \hline f(x)  & & &  \mathrm{e}  & \\ &2&\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&-\infty\\ \hline \end{array}$