Exercices corrigés - Fonction logarithme Série 1
I. Ensembles de définition
Exercice 1:
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ telle que :
a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
b) $f(x)=\ln (3-x)$
c) $f(x)=\ln (2 x+5)$
d) $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+2\right)$
e) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{x-1}\right)$
f) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$
L'ensemble de définition de la fonction $ln$ est $] 0 ;+\infty[$.
Notons $\mathrm{D}_{f}$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ;
$f$ est définie si et seulement si $x^{2}+1>0,$ ce qui est toujours le cas car $x^{2} \geq 0$ pour tout réel $x$.
Donc $\mathrm{D}_{f}=I\!R$.
b) $f(x)=\ln (3-x)$ ;
$f$ est définie si et seulement si $3-x>0,$
c'est-à-dire $x<3$ .
$D_{f}=]-\infty ; 3[$.
c) $f(x)=\ln (2 x+5)$ ;
$f$ est définie si et seulement si $2 x+5>0,$ soit $x>-\displaystyle\frac{5}{2}$ .
$D_{f}=]-\displaystyle\frac{5}{2} ;+\infty[$.
d) $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+2\right)$ ;
$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow x^{2}-2 x+2>0$.
Étudions le signe du trinôme $x^{2}-2 x+2:$
son discriminant est $\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times 2=-4<0$
donc $x^{2}-2 x+2$ n'a pas de racine réelle ;
il est donc du signe de $a$ pour tout réel $x,$
c'est-à dire strictement positif.
D'où $\mathrm{D}_{f}=I\!R$.
e) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{x-1}\right)$ ;
$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{x-1}>0 \Leftrightarrow x-1>0$ (car un réel non nul a le même signe que son inverse),
et $x-1>0 \Leftrightarrow x>1$.
Donc $\mathrm{D}_{f}=] 1 ;+\infty[$.
f) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ ;
pour tout réel $x, \mathrm{e}^{x}>0$
donc $1+\mathrm{e}^{x}>0$ .
$\mathrm{D}_{f}=I\!R$
Exercice 2:
Montrer que, sur l'intervalle $]-1 ;+\infty\left[,\right.$ la fonction $f$ telle que $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ est bien définie.
$f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$
$f$ est définie si et seulement si $x^{2}+4 x+3>0$.
Le trinôme $x^{2}+4 x+3$ a pour racines -3 et -1 ;
son signe est donné dans le tableau ci-dessous :
\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & -\infty & & -3 & & -1 && +\infty \\ \hline signe\ de\ x^{2}+4 x+3 & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}
Pour $x \in]-1 ;+\infty[, x^{2}+4 x+3>0$
donc $f$ est bien définie sur cet intervalle.
Exercice 3 :
Les fonctions $f$ et $g$ telles que $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ et $g(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$ ont-elles le même ensemble de définition ?
$f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ et $g(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$ .
\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & &+\infty \\ \hline signe\ de\ x+1& & - & 0 & + & |& +& \\ \hline signe\ de\ x-1 & & - & |& - & 0 & +& \\ \hline signe\ de\ \displaystyle\frac{x+1}{x-1} & & + & 0 & - &|\!|&+& \\\hline\end{array}
$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x+1}{x-1}>0$
$\mathrm{D}_{f}=]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$
$\begin{aligned} x \in \mathrm{D}_{g} &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ x-1>0\end{array}\right. \\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x>1\end{array}\right.\end{aligned}$
$\mathrm{D}_{g}=] 1 ;+\infty[$ .
$f$ et $g$ n'ont pas le même ensemble de définition.
On peut remarquer que, pour $x$ appartenant à $] 1 ;+\infty[$, $f$ et $g$ sont bien définies et $f(x)=g(x)$.
II. Calculs d'images ou simplification d'expressions
RAPPEL : pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a les égalités :
$\ln (a b)=\ln a+\ln b$
$\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
$\ln \frac{1}{a}=-\ln a$
$\ln (a^{n})=n \ln a$
Exercice 4:
Soit $f$ la fonction définie sur $]-3 ; 3[$ par $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{3-x}{3+x}\right)$.
Calculer $f(0)$
la fonction $f$ définie sur $]-3 ; 3[$ par $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{3-x}{3+x}\right)$.
$\begin{aligned}f(0)&=\ln \left(\displaystyle\frac{3-0}{3+0}\right)\\&=\ln \left(\displaystyle\frac{3}{3}\right)\\&=\ln (1)=0\end{aligned}$
Exercice 5 :
Soit $f$ la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1+2 \ln x}{x^{2}} .$
Calculer $f(1)$ et $f(\mathrm{e})$
La fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1+2 \ln x}{x^{2}}$.
$\begin{aligned}f(1)&=\displaystyle\frac{1+2 \ln 1}{1^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1+2 \times 0}{1}=1 \end{aligned}$ ;
$\begin{aligned}f(\mathrm{e})&=\displaystyle\frac{1+2 \ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1+2 \times 1}{\mathrm{e}^{2}}\\&=\displaystyle\frac{3}{\mathrm{e}^{2}}\end{aligned}$
Exercice 6 :
Décomposer les expressions comme dans l'exemple a. :
a. $\ln 5 x=\ln 5+\ln x$
b. $\ln \displaystyle\frac{7}{x}=$
c. $\ln x^{3}=$
d. $\ln \displaystyle\frac{2 x}{3}=$
e. $\ln \displaystyle\frac{x^{4}}{5}=$
f. $\ln \displaystyle\frac{(x+1)^{2}}{x}=$
g. $\ln \displaystyle\frac{1}{7 x^{2}}=$
h. $\ln \displaystyle\frac{(x+1)(x-2)}{x+3}=$
Exercice 7 :
Recomposer les expressions comme dans l'exemple a. :
a. In $5+\ln x=\ln 5 x$
b. $\ln x+\ln 2=$
c. $\ln x-\ln 7=$
d. $7 \ln x=$
e. $2 \ln x-\ln 9=$
f. $3 \ln x-5 \ln y=$
g. $\ln (x+1)-\ln (3 x-5)+\ln (6-5 x)=$
h. $1-\ln \left(x^{2}+x+1\right)=$
i. $3+\ln x=$
j. $\ln x-2=$
$a.\ln 5+\ln x=\ln 5 x$
$b.\ln x+\ln 2=\ln 2 x$
$c.\ln x-\ln 7=\ln \displaystyle\frac{x}{7}$
$d.7 \ln x=\ln x^{7}$
$\begin{aligned}e.\ 2 \ln x-\ln 9&=\ln x^{2}-\ln 9\\&=\ln \displaystyle\frac{x^{2}}{9}\end{aligned}$
$\begin{aligned}f.\ 3 \ln x-5 \ln y&=\ln x^{3}-\ln y^{5}\\&=\ln \displaystyle\frac{x^{3}}{y^{5}}\end{aligned}$
$g.\ \ln (x+1)-\ln (3 x-5)+\ln (6-5 x)$$\qquad=\ln \displaystyle\frac{(x+1)(6-5 x)}{3 x-5}$
$\begin{aligned}h.\ 1-\ln \left(x^{2}+x+1\right)&=\ln e-\ln \left(x^{2}+x+1\right)\\&=\ln \displaystyle\frac{e}{x^{2}+x+1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}i.\ 3+\ln x&=\ln e^{3}+\ln x\\&=\ln \left(x \times e^{3}\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}j.\ \ln x-2&=\ln x-\ln e^{2}\\&=\ln \displaystyle\frac{x}{e^{2}}\end{aligned}$
Exercice 8 :
Simplifier l'écriture de $: \ln (\sqrt{\mathrm{e}})$ ; $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ ; $\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right)$ ; $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{4}}\right)$
on sait que $\ln (\mathrm{e})=1$
$\ln (\sqrt{\mathrm{e}})=\displaystyle\frac{1}{2} \ln (\mathrm{e})=\displaystyle\frac{1}{2}$ ;
$\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\ln (\mathrm{e})=-1$ ;
$\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right)=3 \ln (\mathrm{e})=3$
$\begin{aligned}\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{4}}\right)&=-\ln \left(\mathrm{e}^{4}\right)\\&=-4 \ln (\mathrm{e})=-4 \end{aligned}$
Exercice 9 :
Exprimer à l'aide de $\ln 2$:
$A=\ln 8$ ; $B=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ ; $C=5 \ln 4-\ln 32$.
$\begin{aligned}A&=\ln 8\\&=\ln \left(2^{3}\right)\\&=3 \ln 2\end{aligned}$ ;
$\begin{aligned} B&=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)\\&=-\ln 4\\&=-\ln \left(2^{2}\right)\\&=-2 \ln 2\end{aligned}$
$\begin{aligned} C&=5 \ln 4-\ln 32\\&=5 \ln \left(2^{2}\right)-\ln \left(2^{5}\right)\\&=10 \ln 2-5 \ln 2\\&=5 \ln 2\end{aligned}$
Exercice 10 :
a. Décomposer les nombres suivants sous la forme $2^{n} \times 3^{p}$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels :
12 ; 96 ; 128 ; 243
b. Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres suivants :
$\ln 12$ ; $\ln 18$ ; $\ln 96$ ;$\ln \frac{128}{243}$; $\ln \frac{192}{108}$
c. Exprimer en fonction de $\ln 2, \ln 3$ et $\ln 5$ les nombres suivants :
$\ln 10$ ; $\ln 30$ ; $\ln \frac{1}{45}$ ; $\ln \frac{75}{12}$ ; $\ln \frac{152}{16}$
Exercice 11 :
Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par : $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$
Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x+\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$
$f$ est la fonction définie sur $I\!R$ par : $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$
Pour tout réel $x$,
$\begin{aligned}f(x)&=\ln\left[\mathrm{e}^{x}\left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}+1\right)\right]\\&=\ln \left[\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)\right]\\&=\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)+\ln \left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)\\&=x+\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\end{aligned}$
III. Résolution d'équations et d'inéquations
Équations
Exercice 12 :
Résoudre les équations suivantes:
a) $\ln (x+1)=0$
b) $\ln (1-2 x)=0$
c) $\ln (x-3)-\ln (x+1)=0$
d) $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0$ (indication : poser $X=\ln x$)
e) $\ln (x-5)=1$
f) $\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$
g) $3^{x}=2$
a) $\ln (x+1)=0 .$
L'équation est définie pour $x+1>0,$
c'est à dire $x>-1$ ;
donc $D=]-1 ;+\infty[$.
Sur $D$
$\begin{aligned} \ln (x+1)=0 &\Leftrightarrow \ln (x+1)=\ln 1 \\&\Leftrightarrow x+1=1 \\& \Leftrightarrow x=0\end{aligned}$.
$0 \in D,$ donc $S=\{0\}$
b) $\ln (1-2 x)=0 .$
L'équation est définie pour $1-2 x>0$,
c'est à dire $x<\displaystyle\frac{1}{2}$
$D=]-\infty ; \displaystyle\frac{1}{2}[$
Sur $D$,
$\begin{aligned}\ln (1-2 x)=0 &\Leftrightarrow \ln (1-2 x)=\ln 1 \\&\Leftrightarrow 1-2 x=1 \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$.
$0 \in D,$ donc $S=\{0\}$
c) $\ln (x-3)-\ln (x+1)=0$.
L'équation est définie pour $\left\{\begin{array}{l}x-3>0 \\ x+1>0\end{array},\right.$
c'est à dire $\left\{\begin{array}{l}x>3 \\ x>-1\end{array} ;\right.$
donc $D=] 3 ;+\infty[$
Sur $D$,
$\begin{aligned}&\ln (x-3)-\ln (x+1)=0 \Leftrightarrow \ln (x-3)=\ln (x+1)\\&\Leftrightarrow x-3=x+1 \\&\Leftrightarrow 0 x=4 \end{aligned}$.
Cette équation n'a donc pas de solution : $S=\varnothing$
d) $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0 .$
L'équation est définie pour $x>0 ;$
donc $D=] 0 ;+\infty[$.
Posons $\ln x=X$; l'équation s'écrit alors: $X^{2}+5 X+6=0$.
C'est une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta=25-4 \times 6=1$.
Elle admet deux solutions réelles $X_{1}=\displaystyle\frac{-5+1}{2}=-2$ et $X_{2}=\displaystyle\frac{-5-1}{2}=-3$.
On résout alors $\ln x=-2$ et $\ln x=-3$ ;
$\ln x=-2 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-2}$
et $\ln x=-3 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-3}$.
$\mathrm{e}^{-2}$ et $\mathrm{e}^{-3}$ sont des réels strictement positifs; ce sont donc les deux solutions de l'équation $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0$: $S=\left\{\mathrm{e}^{-3} ; \mathrm{e}^{-2}\right\}$
e) $\ln (x-5)=1$ .
L'équation est définie pour $x-5>0$,
c'est à dire $x>5$ ;
donc $D=] 5 ;+\infty[$.
Sur $D$,
$\begin{aligned}\ln (x-5)=1 &\Leftrightarrow \ln (x-5)=\ln \mathrm{e} \\& \Leftrightarrow x-5=\mathrm{e} \\&\Leftrightarrow x=5+\mathrm{e}\end{aligned}$
$5+\mathrm{e} \in D$
donc $S=\{5+\mathrm{e}\}$
f) $\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$
L'équation est définie pour $\left\{\begin{array}{l}x-2>0 \\ 3 x-1>0\end{array},\right.$
c'est à dire $\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ x>\displaystyle\frac{1}{3}\end{array}:\right.$
donc $D=] 2 ;+\infty[.$
Sur $D$,
$\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$ $\quad\Leftrightarrow \ln [(x-2)(3 x-1)]=\ln 2$
$\quad\Leftrightarrow 3 x^{2}-7 x+2=2$
$\quad\Leftrightarrow 3 x^{2}-7 x=0$ $\quad\Leftrightarrow 3 x(x-7)=0$
$\quad\Leftrightarrow x=0\ ou\ x=7$.
$0 \notin D$ et $7 \in D$
donc $S=\{7\}$
g) $3^{x}=2$.
Cette équation est définie sur $I\!R$.
$\begin{aligned}3^{x}=2 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x \ln 3}=\mathrm{e}^{\ln 2} \\&\Leftrightarrow x \ln 3=\ln 2 \\&\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\ln 3}{\ln 2}\end{aligned}$.
$S=\left\{\displaystyle\frac{\ln 3}{\ln 2}\right\}$
Exercice 13 :
1. Résoudre dans $I\!R$ les équations (on rappelle que In n'est défini que sur $] 0 ;+\infty[$ ) :
a. $\ln x=\ln 3$
avec $x \in] 0 ;+\infty[$
b. $\ln (x+2)=\ln (5-x) \quad$
avec $x \in]-2 ;5[$
c. $\ln 3 x=1 \quad$
avec $x \in] 0 ;+\infty[$
d. $\ln (x-5)=1 \quad$
avec $x \in] 5 ;+\infty[$
e. $\ln (x+3)=0$
avec $x \in]-3 ;+\infty[$
f. $\ln \left(1-x^{2}\right)=\ln (1-x) \quad$
avec $x \in]-1 ;1[$
2. Ecrire les équations suivantes sous la forme $« \ln A=\ln B »$ puis résoudre dans $I\!R$ :
a. $\ln x+\ln 3=\ln 5-\ln x \quad$
avec $x \in] 0 ;+\infty[$
b. $2 \ln (x+2)=\ln 25 \quad$
avec $x \in]-2 ;+\infty[$
c. $\ln x+\ln (x-1)=\ln \left(x^{2}+x-6\right)$
avec $x \in] 1 ;+\infty[$
d. $2 \ln (1-x)=\ln (x+5) \quad$
avec $x \in]-5 ; 1[$
e. $\ln (x+3)=\frac{1}{2} \ln 16 \quad$
avec $\left.x \in\right]-3 ;+\infty[$
f. $2 \ln x-\ln 4=1$
avec $x \in] 0 ;+\infty[$
Inéquations
Exercice 14 :
Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes:
a) $\ln x<0$
b) $\ln x>1$
c) $\ln x \leq 2$
d) $\ln (x+5)>0$
e) $\ln (1-x)<3$
a) $\ln x<0 .$
L'inéquation $\ln x<0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.
On sait que $\ln 1=0,$ donc
$\begin{aligned}\ln x<0 \Leftrightarrow \ln x<\ln 1 \Leftrightarrow x<1 \end{aligned}$
car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$
On a donc $S=] 0 ; 1[$.
b) $\ln x>1 .$
L'inéquation $\ln x>1$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.
On sait que $\ln \mathrm{e}=1,$ donc
$\begin{aligned}\ln x>1 &\Leftrightarrow \ln x>\ln \mathrm{e} \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e},\end{aligned}$
car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$
On a donc $S=] \mathrm{e} ;+\infty[$
c) $\ln x \leq 2 .$
L'inéquation $\ln x \leq 2$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.
On sait que pour tout $x$ réel,
$\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x,$ donc $2=\ln \left(\mathrm{e}^{2}\right)$.
Donc
$\begin{aligned}\ln x \leq 2 &\Leftrightarrow \ln x \leq \ln \left(\mathrm{e}^{2}\right) \\&\Leftrightarrow x \leq \mathrm{e}^{2}\end{aligned},$
car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$
On a donc $S=] 0 ; \mathrm{e}^{2}]$
d) $\ln (x+5)>0 .$
L'inéquation $\ln (x+5)>0$ est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que $x+5>0,$ c'est à dire sur l'intervalle $]-5 ;+\infty[$
Sur $]-5 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}\ln (x+5)>0 &\Leftrightarrow \ln (x+5)>\ln 1 \\&\Leftrightarrow x+5>1 \\&\Leftrightarrow x>4 \end{aligned}$.
Donc $S=] 4 ;+\infty[$
e) $\ln (1-x)<3 .$
L'inéquation $\ln (1-x)<3$ est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que $1-x>0$.
$1-x>0 \Leftrightarrow x<1 .$
Donc l'ensemble de définition est $]-\infty ; 1[$
Sur $]-\infty ; 1[$,
$\begin{aligned}\ln (1-x)<3 &\Leftrightarrow \ln (1-x)<\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right) \\&\Leftrightarrow 1-x<\mathrm{e}^{3} \\&\Leftrightarrow x>1-\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$
L'ensemble des solutions est donc l'ensemble des réels de l'intervalle $]-\infty ; 1[$ tels que $x>1-\mathrm{e}^{3} ;$
c'est donc l'ensemble des réels vérifiant à la fois ($x<1$ et $x>1-\mathrm{e}^{3}$).
On a donc $S=]1-\mathrm{e}^{3} ; 1[$
Exercice 15 :
Résoudre dans $I\!R$ les inéquations:
a. $x \in] 1 ;+\infty[ ; \ln (x-1) \geq 0$
b. $x \in] 1 ;+\infty[ ; \ln (x-1)<0$
c. $x \in]-2 ;+\infty[ ; \ln (x+2) \leq \ln 5$
d. $x \in]-\frac{1}{2} ;+\infty[ ; \ln (2 x+1) \geq 1$
e. $x \in]-1 ;+\infty[ ; \ln (x+1) \leq 1$
Exercice 16 :
Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes :
a) $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0$
b) $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$
c) $\ln (x+1)+\ln (2 x-1) \leq \ln 2$
a) $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0 .$
L'inéquation $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.
$(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0 \Leftrightarrow \ln x(\ln x+5) \geq 0$
Étudions le signe de chacun des facteurs:
$\ln x=0 \Leftrightarrow x=1$ et $\ln x>0 \Leftrightarrow x>1$
$\ln x+5=0 \Leftrightarrow \ln x=-5 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-5}$
et $\ln x+5>0 \Leftrightarrow \ln x>-5 \Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-5}$
\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x & 0 & & e^{-5} & & 1 & & +\infty \\ \hline \ln (x) & \| & - &| & - & 0 & + & \\ \hline \ln (x)+5 & \| & - & 0 & + &| & + & \\ \hline \ln (x)(\ln (x)+5) & \| & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}
On a donc $S=] 0 ; \mathrm{e}^{-5}] \cup[1 ;+\infty[$
b) $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$.
L'inéquation $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.
Factorisons $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 .$
Pour cela, posons $X=\ln x$.
On obtient alors le trinôme $X^{2}-2 X-3$ dont le discriminant est $\Delta=16$; ce trinôme admet deux racines réelles $X_{1}=\displaystyle\frac{2+4}{2}=3$ et $X_{2}=\displaystyle\frac{2-4}{2}=-1 .$
On a donc $X^{2}-2 X-3=(X-3)(X+1)$;
on en déduit $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3=(\ln x-3)(\ln x+1)$.
Étudions le signe de chaque facteur :
$\begin{aligned}\ln x-3=0 &\Leftrightarrow \ln x=3 \\&\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}\ln x-3>0 &\Leftrightarrow \ln x>3 \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\ln x+1=0 &\Leftrightarrow \ln x=-1 \\&\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-1}\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}\ln x+1>0 &\Leftrightarrow \ln x>-1 \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-1}\end{aligned}$
\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x & 0 & & e^{-1} & & e^{3} & & +\infty \\ \hline \ln (x)-3 & \| & - &| & - & 0 & + & \\ \hline \ln (x)+1 & \| & - & 0 & + & |& + & \\ \hline (\ln (x)-3)(\ln (x)+1) & \| & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}
On a donc $S=]0 ; \mathrm{e}^{-1}] \cup[\mathrm{e}^{3} ;+\infty[$
c) $\ln (x+1)+\ln (2 x-1) \leq \ln 2$.
Cette inéquation est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que
$\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$.
$\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x>\displaystyle\frac{1}{2}\end{array} .\right.$
Donc l'ensemble de définition de l'inéquation est $]\displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$
On sait que pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$,
$\ln a \leq \ln b \Leftrightarrow a \leq b$.
On transforme donc l'inéquation pour la mettre sous cette forme.
Pour tout $x$ de $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$,
$\ln (x+1)+\ln (2 x-1)=\ln [(x+1)(2 x-1)]$.
Sur $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$,
$\ln (x+1)+\ln (2 x-1) \leq \ln 2$
$\quad\Leftrightarrow \ln [(x+1)(2 x-1)] \leq \ln 2$
$\quad \Leftrightarrow(x+1)(2 x-1) \leq 2$
et $(x+1)(2 x-1) \leq 2 \Leftrightarrow 2 x^{2}+x-3 \leq 0 .$
Le trinôme $2 x^{2}+x-3$ a pour discriminant $\Delta=25$; il a deux racines réelles $x_{1}=\displaystyle\frac{-1+5}{4}=1$ et $x_{2}=\displaystyle\frac{-1-5}{4}=-\displaystyle\frac{3}{2}$.
$2 x^{2}+x-3 \leq 0 \Leftrightarrow x \in\left[-\displaystyle\frac{3}{2} ; 1\right]$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc l'ensemble des réels de $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$, vérifiant $x \in\left[-\displaystyle\frac{3}{2} ; 1\right] .$
Donc $S=\left] \displaystyle\frac{1}{2} ; 1\right]$
Exercice 17:
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $(0,9)^{n}<0,5$.
Déterminons le plus petit entier naturel $n$ tel que $(0,9)^{n}<0,5$.
On sait que, pour tout réel strictement positif $a$ et pour tout entier $n$, $\ln \left(a^{n}\right)=n \ln a$;
de plus, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ Donc :
$\begin{aligned}(0,9)^{n}<0,5 &\Leftrightarrow \ln \left[(0,9)^{n}\right]<\ln 0,5 \\&\Leftrightarrow n \ln 0,9<\ln 0,5 \end{aligned}$
Or $0,9<1,$ donc $\ln 0,9<0,$
d'où $: n \ln 0,9<\ln 0,5 \Leftrightarrow n>\displaystyle\frac{\ln 0,5}{\ln 0,9}$.
Une valeur approchée de $\displaystyle\frac{\ln 0,5}{\ln 0,9}$ est 6,58 .
Le plus entier cherché est donc $n=7$
IV. Dérivation
$\ln ^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$
Exercice 18 :
Dériver la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ ci-dessous et mettre la dérivée sous une forme adaptée à l'étude de son signe :
a) $f(x)=x+\ln x$
b) $f(x)=x \ln x$
c) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}$
d) $f(x)=\ln x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$
e) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x-5 x}{3}$
a) $f(x)=x+\ln x$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=1+\displaystyle\frac{1}{x}$
b) $f(x)=x \ln x$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1 \times \ln x+x \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\ln x+1\end{aligned}$
c) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x} \times x-\ln x \times 1}{x^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1-\ln x}{x^{2}}\end{aligned}$
d) $f(x)=\ln x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{2} \times 2 x\\&=\displaystyle\frac{1}{x}-x\\&=\displaystyle\frac{1-x^{2}}{x}\\&=\displaystyle\frac{(1-x)(1+x)}{x}\end{aligned}$
e) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x-5 x}{3}$
$f$ dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-5\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1-5 x}{x}\\&=\displaystyle\frac{1-5 x}{3 x}\end{aligned}$
Exercice 19 :
Dériver la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :
a) $f(x)=(\ln x)^{2}$
b) $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x$
c) $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \ln x$
d) $f(x)=\mathrm{e}^{x \ln x}$
a) $f(x)=(\ln x)^{2}$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (carré d'une fonction dérivable).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$, $f(x)=(u(x))^{2}$ où $u(x)=\ln x$
donc
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2 u(x) \times u^{\prime}(x)\\&=2 \ln x \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{2 \ln x}{x}\end{aligned}$.
b) $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x$:
$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{x-1}{x^{2}}\end{aligned}$
c) $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \ln x$: $f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$,
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\mathrm{e}^{-x} \times \ln x+\mathrm{e}^{-x} \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\mathrm{e}^{-x}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\ln x\right)\\&=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x}(1-x \ln x)}{x}\end{aligned}$
d) $f(x)=\mathrm{e}^{x \ln x}$: $f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit et composée de fonctions dérivables).
Pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$, $f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ où $u(x)=x \ln x$
donc $f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{u(x)}=(1+\ln x) \mathrm{e}^{x \ln x}$.
Exercice 20 :
On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$ par : $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln x}$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse e.
$(\ln u)^{\prime}=\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln x}$: $f$ est dérivable sur $] 0 ; 1[$ et sur $] 1 ;+\infty[$ (inverse d'une fonction dérivable).
Pour tout $x$ de $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$, $f(x)=\displaystyle\frac{1}{u(x)}$ où $u(x)=\ln x$ donc
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{(u(x))^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\end{aligned}$ ;
$f(\mathrm{e})=\displaystyle\frac{1}{\ln \mathrm{e}}=1$ et
$\begin{aligned}f^{\prime}(\mathrm{e})&=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}(\ln \mathrm{e})^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}} \end{aligned}$
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $e$ a pour équation :
$y=f(\mathrm{e})+f^{\prime}(\mathrm{e})(x-\mathrm{e})$ soit $y=1+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}(x-\mathrm{e})$ soit $y=\displaystyle\frac{x}{\mathrm{e}}$
$(\ln u)^{\prime}=\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$
Exercice 21:
Dériver la fonction $f$ définie par :
a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $I\!R$
b) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right) \operatorname{sur} I\!R$
c) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$
d) $f(x)=\ln (\ln x)$ sur $] 1 ;+\infty[$
e) $f(x)=(x-1) \ln (2-x)$ sur $]-\infty ; [2$
f) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$ sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$
a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $I\!R$ ;
$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=x^{2}+1$.
$u$ est dérivable et strictement positive sur $I\!R$ donc $f$ est dérivable sur $I\!R$ et pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ .
$u^{\prime}(x)=2 x$ donc $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$
b) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$ sur $I\!R$ ;
$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}$.
$u$ est dérivable et strictement positive sur $I\!R$ donc $f$ est dérivable sur $I\!R$
et pour tout réel $x$
$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}$
c) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$;
$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}$.
$u$ est dérivable et strictement positive sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ .
$\begin{aligned}u^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1 \times(x-1)-(x+1) \times 1}{(x-1)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}}\end{aligned}$
Donc
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}}}{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}} \times \displaystyle\frac{x-1}{x+1}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)(x+1)}\end{aligned}$
d) $f(x)=\ln (\ln x)$ sur $] 1 ;+\infty[$;
$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=\ln x$.
$u$ est dérivable et strictement positive sur $] 1 ;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $] 1 ;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $] 1 ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} . u^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\right.$ donc $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{\ln x}=\displaystyle\frac{1}{x \ln x}$
e) $f(x)=(x-1) \ln (2-x)$ sur $]-\infty ; [2$
$f(x)$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\ln (2-x) ;$
$v(x)$ est de la forme $\ln (w(x))$ avec $w(x)=2-x$. $w$ est dérivable et strictement positive sur $]-\infty ; 2[$ donc $v$ est dérivable sur $]-\infty ; [2$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ; 2\left[, v^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{w^{\prime}(x)}{w(x)}=\displaystyle\frac{-1}{2-x}\right.$.
$f$ est dérivable sur $]-\infty ; 2[$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ; 2[,$
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) \times v(x)+u(x) \times v^{\prime}(x)\\&=1 \times \ln (2-x)+(x-1) \times \displaystyle\frac{-1}{(2-x)}\\&=\ln (2-x)-\displaystyle\frac{x-1}{2-x}\end{aligned}$
f) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$ sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$;
$f(x)$ est de la forme $\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=\ln (x+1)$ et $v(x)=\ln x .$
Sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$, $u$ et $v$ sont dérivables et $v(x) \neq 0$ donc $f$ est dérivable sur $]0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$ et pour tout $x$ de $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x+1} \times \ln x-\ln (x+1) \times \displaystyle\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x \ln x-(x+1) \ln (x+1)}{x(x+1)}}{(\ln x)^{2}}\end{aligned}$
d'où $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{x \ln x-(x+1) \ln (x+1)}{x(x+1)(\ln x)^{2}}$ .
Exercice 22 :
On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=x-\ln \left(2+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 .
$f$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : $f(x)=x-\ln \left(2+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$. Une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse $1$ est : $y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$.
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}\\&=1-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-1}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{2 x+1}{x}}\\&=1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}} \times \displaystyle\frac{x}{2 x+1}\\&=1+\displaystyle\frac{1}{x(2 x+1)}\\&=\displaystyle\frac{2 x^{2}+x+1}{x(2 x+1)}\end{aligned}$
Donc $f^{\prime}(1)=\displaystyle\frac{4}{3}$ et $f(1)=1-\ln 3$.
Une équation de la tangente demandée est donc: $y=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{4}{3}+1-\ln 3$ soit $y=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{1}{3}-\ln 3$
V-Autour des limites
Exercice 23:
Parmi les limites suivantes, indiquer celles qui correspondent à des formes indéterminées :
a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$
b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln x$
c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$
d) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x \rightarrow 0} x \ln x$
e) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$
f) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$
g) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}$
h) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln(1+ x)}{x-1}$
Pour les formes indéterminées, donner la valeur de la limite (résultat de cours).
Pour les autres formes, déterminer la limite.
a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$:
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty \end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais on a vu en cours que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$
b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln x$:
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty\\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \end{aligned}\right\}$ par produit on obtient on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln x=+\infty$.
c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x=0^{+} \end{aligned}\right\}$ par quotient on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty$
d) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x > 0} x \ln x$
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \end{aligned}\right\}$ Le produit est une forme indéterminée, mais on a vu en cours que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x \ln x=0$.
e) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$:
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \ln (1+x)=\ln 1=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x=0\end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais
$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}\\&=\ln ^{\prime} 1\\&=\displaystyle\frac{1}{1}=1\end{aligned}$.
f) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$:
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}=\displaystyle\frac{\ln (1+1)}{1}=\ln 2$.
g) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}$:
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \ln x=\ln 1=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} x-1=0\end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais
$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}\\&=\ln ^{\prime} (1)\\&=\displaystyle\frac{1}{1}=1\end{aligned}$.
h) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x-1}$:
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x-1}=\displaystyle\frac{\ln 1}{-1}=0$.
Exercice 24 :
Déterminer les limites suivantes :
a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x$
b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)$
c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$
a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x$:
$\left. \begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right)=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=-\infty\end{aligned}\right\}$ par produit on obtient $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x=-\infty$.
b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)$ :
$\left. \begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\frac{1}{x}\right)=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} - 3 \ln x=+\infty\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)=+\infty$.
c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right):$
si $x<0$ alors $1-\mathrm{e}^{x}>0$
$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)=1-1=0^{+} \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow 0 \atop u>0} \ln u=-\infty\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right)=-\infty$
Exercice 25:
Déterminer les limites demandées pour la fonction $f$ définie par :
a) $f(x)=1-x^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[:$
limites en $+\infty$ et en 0 ;
b) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}-x+2$ sur $] 0 ;+\infty[$ :
limites en $+\infty$ et en 0 ;
c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ sur $]-1 ;+\infty[:$
limites en $+\infty$ et en -1
d) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ sur $I\!R: \quad$ limites en $+\infty$ et en $-\infty ;$
e) $f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[: \quad$ limites en $+\infty$ et en 0 .
a) $f(x)=1-x^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[$ :
$•$ Limite à droite en $+\infty$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} 1-x^{2}=-\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \ln x=+\infty\end{array}\right\}$ par différence on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$.
$•$ Limite à droite en $0$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} 1-x^{2}=1 \ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \end{array}\right\}$ par différence on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty$.
b) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}-x+2$ sur $] 0 ;+\infty[$ :
$•$ Limite en $+\infty$ :
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}-x+2=-\infty\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty .$
$•$ Limite à droite en $0$:
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \displaystyle \ln x =-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} x=0^+\end{aligned}\right\}$ par quotient on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \frac{\ln x}{x}=-\infty .$
$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \displaystyle \frac{\ln x}{x}=-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} -x+2=2\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} f(x)=-\infty .$
c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ sur $]-1 ;+\infty[$:
Le trinôme $x^{2}+4 x+3$ a pour racines -3 et -1 .
Il est strictement positif sur $]-\infty ;-3] \cup]-1 ;+\infty[,$ donc sur $]-1 ;+\infty[$.
$•$ Limite en $+\infty$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+4 x+3\right)=+\infty \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \ln u=+\infty \end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ .
$•$ Limite à droite en $-1$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1}\left(x^{2}+4 x+3\right)=0 \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow0 \atop u>0} \ln u=-\infty \end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1} f(x)=-\infty$.
e) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ sur $I\!R$ :
$•$ Limite en $+\infty$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)=+\infty \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \ln u=+\infty\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$•$ Limite en $-\infty$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)=1 \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow 1} \ln u=\ln 1=0\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$
f) $f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[$:
$f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x=\ln x(1+\ln x)$.
$•$ Limite en $+\infty$:
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(1+\ln x)=+\infty\end{array}\right\}$ par produit on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$•$ Limite à droite en $0$:
$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}(1+\ln x)=-\infty\end{array}\right\}$ par produit on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=+\infty$.
Exercice 26:
1. En utilisant le fait que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}=1,$ déterminer $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$
2. En utilisant le fait que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0,$ déterminer $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}},$ pour $n \in I\!N^{*}$
1. $f(x)=x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$ sur $] 0 ;+\infty[$.
$•$ Limite à droite en 0:
on a $\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}=\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x} \times \displaystyle\frac{1}{x}$.
$•$ Limite en $+\infty$:
On a $x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\frac{\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\displaystyle\frac{1}{x}}$.
$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x}=0 \\ \lim _{u \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+u)}{u}=1\end{array}\right\}$ par composée on obtient, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\displaystyle\frac{1}{x}}=1$ .
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1$
2. On cherche à déterminer la limite, pour $n \in I\!N^{*}$, de $\displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}}=\displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}^{n}}{\sqrt[n]{x}}=n \displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{x}}$ en $+\infty$ :
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{x}=+\infty \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln u}{u}=0(\text { cours })\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} n \displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{x}}=+\infty$.
Exercice 27 :
On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=5-x-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
a) Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
b) Démontrer que (C) admet une asymptote oblique $\Delta$ dont on donnera une équation.
c) Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite $\Delta$.
$f$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[.$ par : $f(x)=5-x-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
a) Limite de $f$ en 0 :
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}(5-x)=5$
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \ln x=-\infty\\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{x}=+\infty \end{array} \right\}$ donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty,$
ce qui donne $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)=+\infty$.
D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=-\infty$
Limite de $f$ en $+\infty$ :
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(5-x)=-\infty \\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)=0 \end{array} \right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$
b)
$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(5-x)]&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)\\&=0\end{aligned}$
Donc la courbe (C) admet comme asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=5-x$
c) Pour étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite $\Delta,$ on étudie le signe de la différence $d(x)=[f(x)-(5-x)],$
c'est-à-dire le signe de $-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$ sur $] 0 ;+\infty[$.
\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 &&1&&+\infty\\ \hline Signe\ de\ \ln x &|\!|& - & 0 & +& \\ \hline Signe\ de\ d(x) &|\!|& + & 0 & -& \\ \hline Position\ relative\ de\ (C)\ et\ \Delta &|\!|& (C)\ au\ dessus\ de\ \Delta & I & (C)\ au\ dessous\ de\ \Delta \\\hline \end{array}
($I$ désigne le point d'intersection entre (C) et $\Delta$ ).
Exercice 28:
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$, positive sur $[1,+\infty[,$ et a pour dérivée la fonction inverse. On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.
1. Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $] 0 ;+\infty[$.
2. En déduire le signe de $f$ puis montrer que, pour tout $x>1,0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.
3. En déduire que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$.
1. La fonction $f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $] 0 ;+\infty[$.
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{2 \times \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \times \sqrt{x}}-\displaystyle\frac{2}{2 x}\end{aligned}$
$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}-2}{2 x}$
Sur $] 0 ; 4[$ la fonction $f$ est décroissante
et sur $[4 ;+\infty[$ la fonction $f$ est croissante.
Elle admet un minimum pour $x=4$ qui vaut $f(4)=\sqrt{4}-\ln 4=2-\ln 4$.
2. Le minimum de la fonction $f$ est $f(4) \approx 0,613$.
Donc pour tous réels $x, f(x)>0$.
Pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[,$ on a $\sqrt{x}-\ln x>0$ donc $\sqrt{x}>\ln x$.
De plus, pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, $\ln x>0$ donc $0<\ln x<\sqrt{x}$.
Comme $x$ est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité en divisant par $x$.
Pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, on a $0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.
3. pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, $0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}=0$ et, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 0=0$,
D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$.
Exercice 29:
Soit la fonction définie sur ]0 ; $+\infty[$ par :
$f(x)=x+1+\displaystyle\frac{\ln x}{x}$
1. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
b. En déduire que $\mathcal{C}$, la courbe représentative de $f$, admet une asymptote (D) dont on précisera l'équation.
2. a. Montrer que $\mathcal{C}$, la courbe représentative de $f$, admet la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+1$ pour asymptote en $+\infty$.
b. Etudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(\Delta)$.
3. a. Calculer la fonction dérivée de $f$.
b. On admet que $f^{\prime}$ est strictement positive sur ] $0 ;+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$.
4. Dans un repère orthonormé (unité : $1 \mathrm{cm}$ ), tracer $\mathcal{C}$, $(\Delta)$, et $(D)$.
Soit la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$f(x)=x+1+\displaystyle\frac{\ln x}{x}$
1. a. Limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition:
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x+1=+\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$
Par somme: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x+1=1$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty$
Par somme: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty$
b. La courbe représentative de $f$, admet une asymptote verticale $(D)$ d'équation : $x=0$.
2. a.
$\begin{aligned}f(x)-(x+1)&=x+1+\displaystyle\frac{\ln x}{x}-(x+1)\\&=\displaystyle\frac{\ln x}{x}\end{aligned}$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$ donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)-(x+1)=0$
$\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ admet la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+1$ pour asymptote en $+\infty$.
b. Position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(\Delta)$ :
$•$ $\forall x \in] 1 ;+\infty[: \displaystyle\frac{\ln x}{x}>0$ donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(\Delta)$
$•$ $\forall x \in] 0 ; 1[$:$\displaystyle\frac{\ln x}{x}<0$ donc $\mathcal{C}$ est au-dessous de $(\Delta)$
3. a. $f$ est dérivable en tant que somme et quotient de fonction logarithme et polynômiale.
pour tout $x$ de $] 0 ;+\infty[$:
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x} \times x-\ln x \times 1}{x^{2}} \\&=1+\displaystyle\frac{1-\ln x}{x^{2}}\\&=\displaystyle\frac{x^{2}+1-\ln x}{x^{2}}\end{aligned}$
b. On admet que $f^{\prime}$ est strictement positive sur $]0 ;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[$.
4.
Exercice 30:
Soit la fonction définie sur $] 2 ;+\infty[$ par :
$f(x)=x+\ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}$
1. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
b. En déduire que $\mathcal{C}$, la courbe représentative de $f$, admet une asymptote (D) dont on précisera l'équation.
2. a. Montrer que $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ admet la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ pour asymptote en $+\infty$.
b. Etudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(\Delta)$.
3. a. Calculer la fonction dérivée de $f$.
b. Etudier le signe de $f^{\prime}$.
c. En déduire le sens de variation de $f$.
4. Dans un repère orthonormé (unité : $1 \mathrm{cm}$ ), tracer $\mathcal{C}$, $(\Delta)$, et $(D)$, ainsi que la tangente à la courbe au point d'abscisse $4$ .
Soit la fonction définie sur $] 2 ;+\infty[$ par :
$\begin{aligned}f(x)&=x+\ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}\\&=x+\ln \displaystyle\frac{x\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}\right)}{x\left(1+\displaystyle\frac{2}{x}\right)}\\&=x+\ln \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{2}{x}}\end{aligned}$
1. a. Limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition :
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$ ; $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{2}{x}}=1$ ; $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{2}{x}}=0$
Par somme : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2^{+}} x=2$ ; $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{x-2}{x+2}=0^{+}$ ; $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}=-\infty$
Par somme: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=-\infty$
b. La courbe représentative de $f$, admet une asymptote verticale $(D)$ d'équation : $x =2$.
2. a.
$\begin{aligned}f(x)-x& =x+\ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}-x\\&=\ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}\end{aligned}$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{2}{x}}=0$
La courbe représentative de $f$, admet la droite $( \Delta)$ d'équation $y=x$ pour asymptote oblique en $+\infty$.
b. Position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(\Delta)$ :
$\begin{aligned}\ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}>0 &\Leftrightarrow \ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}>\ln 1 \\&\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x-2}{x+2}>1 \\&\Leftrightarrow x-2>x+2 \\&\Leftrightarrow-2>2: \text { IMPOSSIBLE }\end{aligned}$
$\forall x \in] 2 ;+\infty[: \ln \displaystyle\frac{x-2}{x+2}<0:$ $\mathcal{C}$ est au-dessous de $(\Delta)$
3. a. $f$ est dérivable en tant que somme et quotient de fonction logarithme et polynômiale.
Pour tout $x$ de $] 2 ;+\infty[$:
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1 \times(x+2)-(x-2) \times 1}{(x+2)^{2}}}{\displaystyle\frac{x-2}{x+2}}\\&=1+\displaystyle\frac{x+2-x+2}{(x+2)^{2}} \times \displaystyle\frac{x+2}{x-2}\\&=\displaystyle\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}+\displaystyle\frac{4}{(x+2)(x-2)}\\&=\displaystyle\frac{x^{2}-4+4}{(x+2)(x-2)}\\&=\displaystyle\frac{x^{2}}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
b. $\forall x \in] 2 ;+\infty[$: $x+2>0$ et $x-2>0$
donc $\forall x \in] 2 ;+\infty\left[: f^{\prime}(x)>0\right.$
c. Ainsi $\forall x \in] 2 ;+\infty[$, la fonction $f$ est croissante.
4. Tangente à la courbe au point d'abscisse 4 :
$T_{4}: y=f^{\prime}(4)(x-4)+f(4)$
$\begin{aligned}f^{\prime}(4)&=\displaystyle\frac{4^{2}}{(4+2)(4-2)}\\&=\displaystyle\frac{16}{6 \times 2}\\&=\displaystyle\frac{4}{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(4)&=4+\ln \displaystyle\frac{4-2}{4+2}\\&=4+\ln \displaystyle\frac{2}{6}\\&=4-\ln 3\end{aligned}$
$\begin{aligned}T_{4}: y&=\displaystyle\frac{4}{3}(x-4)+4-\ln 3\\&=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{16}{3}+4-\ln 3\end{aligned}$
$T_{4}: y=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{4}{3}-\ln 3$
Exercice 31:
Soit $f$ la fonction définie sur ]-1; $+\infty[$ par :
$f(x)=\displaystyle\frac {2+\ln (1+x)}{1+x}$
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal est donnée ci-dessous :
1. On admet que :
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$.
2. a. Démontrer que pour tout $x$ de $]-1 ;+\infty[$,
$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-1-\ln (1+x)}{(1+x)^{2}}$
b. Résoudre l'inéquation $-1-\ln (1+x) \geq 0$.
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $]-1;+\infty[$.
c. Etablir le tableau de variation de $f$.
1. On admet que :
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ .
La courbe e admet deux asymptotes, l'une horizontale d'équation $y=0$ et une verticale d'équation $x =-1$.
2. a. $f$ est dérivable en tant que quotient de fonction logarithme et polynômiale. $\forall x \in]-1 ;+\infty[:$
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x} \times(1+x)-[2+\ln (1+x)] \times 1}{(1+x)^{2}} \\&=\displaystyle\frac{1-2-\ln (1+x)}{(1+x)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{-1-\ln (1+x)}{(1+x)^{2}}\end{aligned}$
b.
$\begin{aligned}-1-\ln (1+x) \geq 0 &\Leftrightarrow-\ln (1+x) \geq 1\\&\Leftrightarrow \ln (1+x) \leq-1 \Leftrightarrow 1+x \leq e^{-1} \\& \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{1}{e}-1 \\&\Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{1-e}{e}\end{aligned}$
$\forall x \in]-1 ; \displaystyle\frac{1-e}{e}[: f^{\prime}(x) \geq 0$
$\forall x \in] \displaystyle\frac{1-e}{e} ;+\infty[: f^{\prime}(x) \leq 0$
c. Tableau de variation de $f$.
$\begin{aligned}f\left(\displaystyle\frac{1-e}{e}\right)&=\displaystyle\frac{2+\ln \left(1+\displaystyle\frac{1-e}{e}\right)}{1+\displaystyle\frac{1-e}{e}}\\&=\displaystyle\frac{2+\ln \left(\displaystyle\frac{e}{e}+\displaystyle\frac{1-e}{e}\right)}{\displaystyle\frac{e}{e}+\displaystyle\frac{1-e}{e}}\\&=\displaystyle\frac{2+\ln \left(\displaystyle\frac{1}{e}\right)}{\displaystyle\frac{1}{e}}\\&=e(2-\ln e)\\&=e \end{aligned}$
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &-1& &\displaystyle\frac{1-e}{e}&&+\infty \\ \hline f&&&e&&\small \\&-\infty &\require{HTML}\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\require{HTML}\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&0\\ \hline \end{array}
Exercice 32:
Partie A: Soit la fonction définie sur $] 0$; $+\infty[$ par :
$g(x)-1-\ln x+2 x^{2}$
1. Montrer que : $g^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{(2 x+1)(2 x-1)}{x}$
2. a. Etudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur $] 0 ;+\infty[$.
b. Calculer $g\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$
c. Dresser le tableau de variation de $g$ sur ] $0 ;+\infty[$ (sans les limites).
3. En déduire que pour tout $x$ de $] 0;+\infty[$, $g(x)$ est strictement positif.
Partie B : Soit la fonction définie sur $] 0;+\infty[$ par :
$f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}+2 x-3$
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe dans le repère orthogonal $(O, \vec{\ i}, \vec{\ j})$ (unités: $2 \mathrm{cm}$ en abscisses, $1 \mathrm{cm}$ en ordonnées).
1. Etudier la limite de $f$ en 0 .
En déduire que admet une asymptote que l'on précisera.
2. Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=2 x-3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
3. Montrer que pour tout $x$ strictement positif :
$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{g(x)}{x^{2}}$
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $] 0 ;+\infty[$.
4. Dresser le tableau de variation de $f$.
5. Soit $A$ et $B$ les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $e$ et $\sqrt{e}$.
a. Donne les valeurs arrondies au centième des coordonnées de $A$ et $B$.
b. En déduire que $f$ est positive sur $[\sqrt{e} ; e]$.
6. Tracer la droite $(\Delta)$, la courbe $\mathcal{C}$ et placer $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$.
7. a. Démontrer qu'au point $\mathrm{A}$, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à $(\Delta)$.
b. Le point $A$ est-il le seul point de e admettant une tangente parallèle à $(\Delta)$ ?
Partie A: Soit la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : $g(x)=1-\ln x+2 x^{2}$
1. $g$ est dérivable en tant que somme de fonctions logarithme et polynômiale :
$\forall x \in] 0 ;+\infty[$:
$\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=-\displaystyle\frac{1}{x}+4 x\\&=\displaystyle\frac{4 x^{2}-1}{x} \\&=\displaystyle\frac{(2 x+1)(2 x-1)}{x}\end{aligned}$
2. a. $\forall x \in] 0 ;+\infty[$: $2 x+1>0$ et $x>0$
$2 x-1>0 \Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{1}{2}$
$\forall x \in] 0 ; \displaystyle\frac{1}{2}]: g^{\prime}(x) \leq 0$
$\forall x \in[\displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[: g^{\prime}(x) \geq 0$
b.
$\begin{aligned}g\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)&=1-\ln \displaystyle\frac{1}{2}+2\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=1+\ln 2+2 \times \displaystyle\frac{1}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned}g\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)&=\displaystyle\frac{2}{2}+\ln 2+\displaystyle\frac{1}{2}\\&=\displaystyle\frac{3}{2}+\ln 2\end{aligned}$
c. Dresser le tableau de variation de $g$ sur ] $0 ;+\infty[$ (sans les limites).
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x &0&& \displaystyle\frac{1}{2}&&+\infty \\ \hline g^{\prime}(x) && -& 0& & \\ \hline g && &&& \\&&\require{HTML}\style{display: inline-block; transform: rotate(15deg)}{\huge\longrightarrow}&1,5+ \ln 2&\require{HTML}\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&\\ \hline \end{array}
3. $g\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)>0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=+\infty$
$\forall x \in] 0 ; \displaystyle\frac{1}{2}]$ $g$ est continue et strictement décroissante, d'après le théorème de la bijection (corollaire du TVI), $g$ ne s'annule pas sur $] 0 ; \displaystyle\frac{1}{2}]$.
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 1-\ln x+2 x^{2}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 1+x^{2}\left(\displaystyle\frac{-\ln x}{x^{2}}+2\right)$
Or $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x^{2}}=0$
donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-\ln x}{x^{2}}+2=2$
Donc par somme et produit : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty$
$\forall x \in[\displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$ $g$ est continue et strictement croissante, d'après le théorème de la bijection (corollaire du TVI), $g$ ne s'annule pas sur $[\displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$.
Donc $\forall x \in] 0 ;+\infty[$: $g(x)$ est strictement positif.
Partie B:
Soit la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}+2 x-3$
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe dans le repère orthogonal $(O, \vec{\ i}, \vec{\ j})$ (unités : $2 \mathrm{cm}$ en abscisses, $1 \mathrm{cm}$ en ordonnées).
1. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 2 x-3=-3$
Donc par somme : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=-\infty$
$\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation : $x=0$.
2. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 2 x-3=+\infty$
Par somme : $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)-(2 x-3)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0^{+}$
Donc la droite $(\Delta)$ d'équation $y=2 x-3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
3. $f$ est dérivable en tant que somme et quotient de fonction logarithme et polynômiale.
$\forall x \in] 0 ;+\infty[$:
4. Tableau de variation de $f$ :
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x &-\infty&&&&&+\infty \\ \hline f^{\prime}(x) &&&+&&\\ \hline f & &&&&&+\infty \\&-\infty&&\require{HTML}\style{display: inline-block; transform: rotate(-15deg)}{\huge\longrightarrow}&&\\ \hline \end{array}
5. Soit $A$ et $B$ les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives et $\sqrt{e}$
a.
$\begin{aligned}f(e)&=\displaystyle\frac{\ln e}{e}+2 e-3\\&=\displaystyle\frac{1+2 e^{2}-3 e}{e}\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(\sqrt{e}) &=\displaystyle\frac{\ln \sqrt{e}}{\sqrt{e}}+2 \sqrt{e}-3\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2} \ln e}{\sqrt{e}}+2 \sqrt{e}-3 \\&=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{e}}+2 \sqrt{e}-3\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{e}}{2 e}+2 \sqrt{e}-3 \\&=\displaystyle\frac{\sqrt{e}+4 e \sqrt{e}-6 e}{2 e}\end{aligned}$
$A\left(e ; \displaystyle\frac{1+2 e^{2}-3 e}{e}\right)$ et $B\left(\sqrt{e} ; \displaystyle\frac{\sqrt{e}+4 e \sqrt{e}-6 e}{2 e}\right)$
$A(2,72 ; 2,80)$ et $B(1,65 ; 0,60)$
(valeurs arrondies au centième).
b. $f(\sqrt{e})>0$ et $f$ est continue et strictement croissante sur $[\sqrt{e} ; e]$.
Donc $f$ est positive sur $[\sqrt{e} ; e]$ .
6. Tracer la droite $(\Delta)$, la courbe $\mathcal{C}$ et placer $A$ et $B$.
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