I.  Ensembles de définition

Exercice 1: 

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ telle que :

a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$

b) $f(x)=\ln (3-x)$

c) $f(x)=\ln (2 x+5)$

d) $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+2\right)$

e) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{x-1}\right)$

f) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$

L'ensemble de définition de la fonction $ln$ est $] 0 ;+\infty[$.

Notons $\mathrm{D}_{f}$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.

a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ; 

$f$ est définie si et seulement si $x^{2}+1>0,$ ce qui est toujours le cas car $x^{2} \geq 0$ pour tout réel $x$. 

Donc $\mathrm{D}_{f}=I\!R$.

b) $f(x)=\ln (3-x)$ ; 

$f$ est définie si et seulement si $3-x>0,$ 

c'est-à-dire $x<3$ . 

$D_{f}=]-\infty ; 3[$.

c) $f(x)=\ln (2 x+5)$ ; 

$f$ est définie si et seulement si $2 x+5>0,$ soit $x>-\displaystyle\frac{5}{2}$ . 

$D_{f}=]-\displaystyle\frac{5}{2} ;+\infty[$.

d) $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+2\right)$ ; 

$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow x^{2}-2 x+2>0$.

Étudions le signe du trinôme $x^{2}-2 x+2:$ 

son discriminant est $\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times 2=-4<0$

donc $x^{2}-2 x+2$ n'a pas de racine réelle ; 

il est donc du signe de $a$ pour tout réel $x,$ 

c'est-à dire strictement positif. 

D'où $\mathrm{D}_{f}=I\!R$.

e) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{x-1}\right)$ ; 

$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{x-1}>0 \Leftrightarrow x-1>0$ (car un réel non nul a le même signe que son inverse), 

et $x-1>0 \Leftrightarrow x>1$. 

Donc $\mathrm{D}_{f}=] 1 ;+\infty[$.

f) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ ; 

pour tout réel $x, \mathrm{e}^{x}>0$ 

donc $1+\mathrm{e}^{x}>0$ . 

$\mathrm{D}_{f}=I\!R$

Exercice 2: 

Montrer que, sur l'intervalle $]-1 ;+\infty\left[,\right.$ la fonction $f$ telle que $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ est bien définie.

$f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$

$f$ est définie si et seulement si $x^{2}+4 x+3>0$. 

Le trinôme $x^{2}+4 x+3$ a pour racines -3 et -1 ; 

son signe est donné dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & -\infty & & -3 & &  -1 && +\infty \\ \hline signe\ de\ x^{2}+4 x+3 & & + & 0   & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$

Pour $x \in]-1 ;+\infty[, x^{2}+4 x+3>0$ 

donc $f$ est bien définie sur cet intervalle.

Exercice 3 : 

Les fonctions $f$ et $g$ telles que $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ et $g(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$ ont-elles le même ensemble de définition ?

$f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ et $g(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$ .

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & &+\infty \\ \hline signe\ de\ x+1& & - & 0 & + & |& +& \\ \hline signe\ de\ x-1 & & - & |& - & 0 & +& \\ \hline signe\ de\ \displaystyle\frac{x+1}{x-1} & & + & 0 & - &|\!|&+&  \\\hline\end{array}$$  

$x \in \mathrm{D}_{f} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x+1}{x-1}>0$

$\mathrm{D}_{f}=]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$

$\begin{aligned} x \in \mathrm{D}_{g} &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ x-1>0\end{array}\right. \\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x>1\end{array}\right.\end{aligned}$ 

$\mathrm{D}_{g}=] 1 ;+\infty[$ . 

$f$ et $g$ n'ont pas le même ensemble de définition.

On peut remarquer que, pour $x$ appartenant à $] 1 ;+\infty[$, $f$ et $g$ sont bien définies et $f(x)=g(x)$.

II. Calculs d'images ou simplification d'expressions

RAPPEL : pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a les égalités :

$\ln (a b)=\ln a+\ln b$ 

$\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$

$\ln \frac{1}{a}=-\ln a$

$\ln (a^{n})=n \ln a$

Exercice 4: 

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3 ; 3[$ par $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{3-x}{3+x}\right)$. 

Calculer $f(0)$

la fonction $f$ définie sur $]-3 ; 3[$ par $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{3-x}{3+x}\right)$.

$\begin{aligned}f(0)&=\ln \left(\displaystyle\frac{3-0}{3+0}\right)\\&=\ln \left(\displaystyle\frac{3}{3}\right)\\&=\ln (1)=0\end{aligned}$

Exercice 5 : 

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1+2 \ln x}{x^{2}} .$ 

Calculer $f(1)$ et $f(\mathrm{e})$

La fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1+2 \ln x}{x^{2}}$.  

$\begin{aligned}f(1)&=\displaystyle\frac{1+2 \ln 1}{1^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1+2 \times 0}{1}=1 \end{aligned}$ ; 

$\begin{aligned}f(\mathrm{e})&=\displaystyle\frac{1+2 \ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1+2 \times 1}{\mathrm{e}^{2}}\\&=\displaystyle\frac{3}{\mathrm{e}^{2}}\end{aligned}$

Exercice 6 : 

1. Décomposer les expressions comme dans l'exemple a. :

a. $\ln 5 x=\ln 5+\ln x$

b. $\ln \frac{7}{x}=$

c. $\ln x^{3}=$

d. $\ln \frac{2 x}{3}=$

e. $\ln \frac{x^{4}}{5}=$

f. $\ln \frac{(x+1)^{2}}{x}=$

g. $\ln \frac{1}{7 x^{2}}=$

h. $\ln \frac{(x+1)(x-2)}{x+3}=$

a. $\ln 5 x=\ln 5+\ln x$

b. $\ln \frac{7}{x}=\ln 7-\ln x$

c. $\ln x^{3}=3 \ln x$

d. $\ln \frac{2 x}{3}=\ln 2 x-\ln 3$

e. $\ln \frac{x^{4}}{5}=\ln x^{4}-\ln 5=4 \ln x-\ln 5$

f. $\ln \frac{(x+1)^{2}}{x}=\ln (x+1)^{2}-\ln x=2 \ln (x+1)-\ln x$

g. $\ln \frac{1}{7 x^{2}}=\ln 1-\ln 7 x^{2}=-\ln (\sqrt{7} x)^{2}=-2 \ln \sqrt{7} x$

h. $\ln \frac{(x+1)(x-2)}{x+3}=\ln (x+1)+\ln (x-2)-\ln (x+3)$

Exercice 7 :  

Recomposer les expressions comme dans l'exemple a. :

a. In $5+\ln x=\ln 5 x$

b. $\ln x+\ln 2=$

c. $\ln x-\ln 7=$

d. $7 \ln x=$

e. $2 \ln x-\ln 9=$

f. $3 \ln x-5 \ln y=$

g. $\ln (x+1)-\ln (3 x-5)+\ln (6-5 x)=$

h. $1-\ln \left(x^{2}+x+1\right)=$

i. $3+\ln x=$

j. $\ln x-2=$

a. $\ln 5+\ln x=\ln 5 x$

b. $\ln x+\ln 2=\ln 2 x$

c. $\ln x-\ln 7=\ln \frac{x}{7}$

d. $7 \ln x=\ln x^{7}$

e. $2 \ln x-\ln 9=\ln x^{2}-\ln 9=\ln \frac{x^{2}}{9}$

f. $3 \ln x-5 \ln y=\ln x^{3}-\ln y^{5}=\ln \frac{x^{3}}{y^{5}}$

g. $\ln (x+1)-\ln (3 x-5)+\ln (6-5 x)=\ln \frac{(x+1)(6-5 x)}{3 x-5}$ 

h. $1-\ln \left(x^{2}+x+1\right)=\ln e-\ln \left(x^{2}+x+1\right)=\ln \frac{e}{x^{2}+x+1}$

i. $3+\ln x=\ln e^{3}+\ln x=\ln \left(x \times e^{3}\right)$

j. $\ln x-2=\ln x-\ln e^{2}=\ln \frac{x}{e^{2}}$

Exercice 8 :  

Simplifier l'écriture de $: \ln (\sqrt{\mathrm{e}})$ ; $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ ; $\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right)$ ; $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{4}}\right)$

on sait que $\ln (\mathrm{e})=1$ 

$\ln (\sqrt{\mathrm{e}})=\displaystyle\frac{1}{2} \ln (\mathrm{e})=\displaystyle\frac{1}{2}$ ; 

$\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\ln (\mathrm{e})=-1$ ;  

$\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right)=3 \ln (\mathrm{e})=3$

$\begin{aligned}\ln \left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{4}}\right)&=-\ln \left(\mathrm{e}^{4}\right)\\&=-4 \ln (\mathrm{e})=-4 \end{aligned}$

Exercice 9 :  

Exprimer à l'aide de $\ln 2$: 

$A=\ln 8$ ; $B=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ ; $C=5 \ln 4-\ln 32$.

$\begin{aligned}A&=\ln 8\\&=\ln \left(2^{3}\right)\\&=3 \ln 2\end{aligned}$ ; 

$\begin{aligned} B&=\ln \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)\\&=-\ln 4\\&=-\ln \left(2^{2}\right)\\&=-2 \ln 2\end{aligned}$

$\begin{aligned} C&=5 \ln 4-\ln 32\\&=5 \ln \left(2^{2}\right)-\ln \left(2^{5}\right)\\&=10 \ln 2-5 \ln 2\\&=5 \ln 2\end{aligned}$

Exercice 10 :  

a. Décomposer les nombres suivants sous la forme $2^{n} \times 3^{p}$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels :

12 ; 96 ; 128 ; 243

b. Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres suivants :

$\ln 12$ ; $\ln 18$ ; $\ln 96$ ;$\ln \frac{128}{243}$; $\ln \frac{192}{108}$

c. Exprimer en fonction de $\ln 2, \ln 3$ et $\ln 5$ les nombres suivants :

$\ln 10$ ; $\ln 30$ ; $\ln \frac{1}{45}$ ; $\ln \frac{75}{12}$ ; $\ln \frac{152}{16}$

a. Décomposer les nombres suivants sous la forme $2^{n} \times 3^{p}$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels :

$12=4 \times 3=2^{2} \times 3$

$18=2 \times 9=2 \times 3^{2}$

$96=32 \times 3=2^{5} \times 3$

$108=4 \times 27=2^{2} \times 3^{3}$

$128=2^{7}$

$243=3^{5}$

b. Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres suivants :

$\ln 12=\ln \left(2^{2} \times 3\right)=2 \ln 2+\ln 3$

$\ln 18=\ln \left(2 \times 3^{2}\right)=\ln 2+2 \ln 3$

$\ln 96=\ln \left(2^{5} \times 3\right)=5 \ln 2+\ln 3$

$\ln \frac{128}{243}=\ln \frac{2^{7}}{3^{5}}=7 \ln 2-3 \ln 5$

$\begin{aligned}\ln \frac{192}{108}&=\ln \frac{2^{6} \times 3}{2^{2} \times 3^{3}}\\&=\ln \frac{2^{4}}{3^{2}}\\&=\ln 2^{4}-\ln 3^{2}\\&=4 \ln 2-2 \ln 3\end{aligned}$

c. Exprimer en fonction de $\ln 2, \ln 3$ et $\ln 5$ les nombres suivants :

$\ln 10=\ln (2 \times 5)=\ln 2+\ln 5$

$\ln 30=\ln (2 \times 3 \times 3)=\ln 2+\ln 3+\ln 5$

$\ln \frac{1}{45}=\ln 1-\ln 45=-\ln \left(3^{2} \times 5\right)=-2 \ln 3-\ln 5$

$\begin{aligned}\ln \frac{75}{12}&=\ln \frac{3 \times 5^{2}}{2^{2} \times 3}\\&=\ln \frac{5^{2}}{2^{2}}\\&=2 \ln 5-2 \ln 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned}\ln \frac{135}{162}&=\ln \frac{3^{3} \times 5}{2 \times 3^{4}}\\&=\ln \frac{5}{2 \times 3}\\&=\ln 5-\ln 2-\ln 3\end{aligned}$

Exercice 11 :  

Soit $f$ la fonction définie sur $I\!R$ par : $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 

Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x+\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$

$f$ est la fonction définie sur $I\!R$ par : $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 

Pour tout réel $x$, 

$\begin{aligned}f(x)&=\ln\left[\mathrm{e}^{x}\left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}+1\right)\right]\\&=\ln \left[\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)\right]\\&=\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)+\ln \left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)\\&=x+\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\end{aligned}$

III.  Résolution d'équations et d'inéquations

Équations 

Exercice 12 :  

Résoudre les équations suivantes:

a) $\ln (x+1)=0$

b) $\ln (1-2 x)=0$

c) $\ln (x-3)-\ln (x+1)=0$

d) $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0$ (indication : poser $X=\ln x$)

e) $\ln (x-5)=1$

f) $\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$

g) $3^{x}=2$

a) $\ln (x+1)=0 .$ 

L'équation est définie pour $x+1>0,$ 

c'est à dire $x>-1$ ; 

donc $D=]-1 ;+\infty[$. 

Sur $D$

$\begin{aligned} \ln (x+1)=0 &\Leftrightarrow \ln (x+1)=\ln 1 \\&\Leftrightarrow x+1=1 \\& \Leftrightarrow x=0\end{aligned}$.

$0 \in D,$ donc $S=\{0\}$

b) $\ln (1-2 x)=0 .$ 

L'équation est définie pour $1-2 x>0$,

c'est à dire $x<\displaystyle\frac{1}{2}$

$D=]-\infty ; \displaystyle\frac{1}{2}[$

Sur $D$, 

$\begin{aligned}\ln (1-2 x)=0 &\Leftrightarrow \ln (1-2 x)=\ln 1 \\&\Leftrightarrow 1-2 x=1 \\&\Leftrightarrow x=0\end{aligned}$.

$0 \in D,$ donc $S=\{0\}$

c) $\ln (x-3)-\ln (x+1)=0$.

L'équation est définie pour $\left\{\begin{array}{l}x-3>0 \\ x+1>0\end{array},\right.$ 

c'est à dire $\left\{\begin{array}{l}x>3 \\ x>-1\end{array} ;\right.$ 

donc $D=] 3 ;+\infty[$

Sur $D$, 

$\begin{aligned}\ln (x-3)-\ln (x+1)=0 &\Leftrightarrow \ln (x-3)=\ln (x+1)\\&\Leftrightarrow x-3=x+1 \\&\Leftrightarrow 0 x=4 \end{aligned}$.

Cette équation n'a donc pas de solution : $S=\varnothing$

d) $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0 .$ 

L'équation est définie pour $x>0 ;$ 

donc $\left.D=\right] 0 ;+\infty[$. 

Posons $\ln x=X$; l'équation s'écrit alors: $X^{2}+5 X+6=0$. 

C'est une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta=25-4 \times 6=1$.

Elle admet deux solutions réelles $X_{1}=\displaystyle\frac{-5+1}{2}=-2$ et $X_{2}=\displaystyle\frac{-5-1}{2}=-3$. 

On résout alors $\ln x=-2$ et $\ln x=-3$ ; 

$\ln x=-2 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-2}$ 

et $\ln x=-3 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-3}$.

$\mathrm{e}^{-2}$ et $\mathrm{e}^{-3}$ sont des réels strictement positifs; ce sont donc les deux solutions de l'équation $(\ln x)^{2}+5 \ln x+6=0$: $S=\left\{\mathrm{e}^{-3} ; \mathrm{e}^{-2}\right\}$

e) $\ln (x-5)=1$ . 

L'équation est définie pour $x-5>0$, 

c'est à dire $x>5$ ; 

donc $D=] 5 ;+\infty[$. 

Sur $D$, 

$\begin{aligned}\ln (x-5)=1 &\Leftrightarrow \ln (x-5)=\ln \mathrm{e} \\& \Leftrightarrow x-5=\mathrm{e} \\&\Leftrightarrow x=5+\mathrm{e}\end{aligned}$  

$5+\mathrm{e} \in D$ 

donc $S=\{5+\mathrm{e}\}$

f) $\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$

L'équation est définie pour $\left\{\begin{array}{l}x-2>0 \\ 3 x-1>0\end{array},\right.$ 

c'est à dire $\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ x>\displaystyle\frac{1}{3}\end{array}:\right.$ 

donc $D=] 2 ;+\infty[.$

Sur $D$, 

$\ln (x-2)+\ln (3 x-1)=\ln 2$ $\quad\Leftrightarrow \ln [(x-2)(3 x-1)]=\ln 2$

$\quad\Leftrightarrow 3 x^{2}-7 x+2=2$ 

$\quad\Leftrightarrow 3 x^{2}-7 x=0$ $\quad\Leftrightarrow 3 x(x-7)=0$

$\quad\Leftrightarrow x=0\ ou\ x=7$.

$0 \notin D$ et $7 \in D$ 

donc $S=\{7\}$

g) $3^{x}=2$. 

Cette équation est définie sur $I\!R$.

$\begin{aligned}3^{x}=2 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x \ln 3}=\mathrm{e}^{\ln 2} \\&\Leftrightarrow x \ln 3=\ln 2 \\&\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\ln 3}{\ln 2}\end{aligned}$. 

$S=\left\{\displaystyle\frac{\ln 3}{\ln 2}\right\}$

Exercice 13 :  

1. Résoudre dans $I\!R$ les équations (on rappelle que In n'est défini que sur $] 0 ;+\infty[$ ) :

a. $\ln x=\ln 3 \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

b. $\ln (x+2)=\ln (5-x) \quad$ avec $x \in]-2 ;+[5$

c. $\ln 3 x=1 \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

d. $\ln (x-5)=1 \quad$ avec $x \in] 5 ;+\infty[$

e. $\ln (x+3)=0 \quad$ avec $x \in]-3 ;+\infty[$

f. $\ln \left(1-x^{2}\right)=\ln (1-x) \quad$ avec $\left.x \in\right]-1 ; [1$

2. Ecrire les équations suivantes sous la forme $« \ln A=\ln B »$ puis résoudre dans $I\!R$ :

a. $\ln x+\ln 3=\ln 5-\ln x \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

b. $2 \ln (x+2)=\ln 25 \quad$ avec $x \in]-2 ;+\infty[$

c. $\ln x+\ln (x-1)=\ln \left(x^{2}+x-6\right)$ avec $\left.x \in\right] 1 ;+\infty[$

d. $2 \ln (1-x)=\ln (x+5) \quad$ avec $x \in]-5 ; [1$

e. $\ln (x+3)=\frac{1}{2} \ln 16 \quad$ avec $\left.x \in\right]-3 ;+\infty[$

f. $2 \ln x-\ln 4=1 \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations (on rappelle que ln n'est défini que sur $] 0 ;+\infty[)$ :

a. $\ln x=\ln 3$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

$\ln x=\ln 3\Leftrightarrow x=3$  

$S=\{3\}$

b.$\ln (x+2)=\ln (5-x)$ avec $x \in]-2 ; 5[$

$\begin{aligned}  \ln (x+2)=\ln (5-x)&\Leftrightarrow x+2=5-x \\&\Leftrightarrow 2 x=3 \\&\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\end{aligned}$

$S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$

c. $\ln 3 x=1 \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

$\begin{aligned} \ln 3 x=1&\Leftrightarrow \ln 3 x=\ln e \\&\Leftrightarrow 3 x=e \\&\Leftrightarrow x=\frac{e}{3}\end{aligned}$  

$S=\left\{\frac{e}{3}\right\}$ 

d. $\ln (x-5)=1$ avec $x \in] 5 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln (x-5)=1 &\Leftrightarrow \ln (x-5)=\ln e \\&\Leftrightarrow x-5=e \\&\Leftrightarrow x=e+5 \end{aligned}$

$e+5 \in] 5 ;+\infty[$ donc $S=\{e+5\}$

e. $\ln (x+3)=0$ avec $x \in]-3 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln (x+3)=0&\Leftrightarrow \ln (x+3)=\ln 1 \\&\Leftrightarrow x+3=1 \\&\Leftrightarrow x=-2 \end{aligned}$

 $-2 \in]-3 ;+\infty[$ donc $S=\{-2\}$ 

f. $\ln \left(1-x^{2}\right)=\ln (1-x)$ avec $\left.x \in\right]-1 ; 1[$

$\begin{aligned}\ln \left(1-x^{2}\right)=\ln (1-x) &\Leftrightarrow 1-x^{2}=1-x\\& \Leftrightarrow x^{2}-x=0 \\&\Leftrightarrow x(x-1)=0\end{aligned}$

deux solutions $0$ et $1$ mais $1 \notin]-1 ; 1[$ donc $S=\{0\}$

2. Ecrire les équations suivantes sous la forme « $\ln A=\ln B »$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $\ln x+\ln 3=\ln 5-\ln x \quad$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln x+\ln 3=\ln 5-\ln x &\Leftrightarrow 2 \ln x=\ln 5-\ln 3\\& \Leftrightarrow \ln x^{2}=\ln \frac{5}{3} \\&\Leftrightarrow x^{2}=\frac{5}{3}\end{aligned}$

Deux solutions $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ et $\sqrt{\frac{5}{3}}$ mais $-\sqrt{\frac{5}{3}} \notin ] 0 ;+\infty[$

Donc $S=\left\{\sqrt{\frac{5}{3}}\right\}$ 

b. $2 \ln (x+2)=\ln 25 \quad$ avec $x \in]-2 ;+\infty[$

$\begin{aligned}2 \ln (x+2)=\ln 25 &\Leftrightarrow \ln (x+2)^{2}=\ln 25\\&\Leftrightarrow(x+2)^{2}=25\\&\Leftrightarrow(x+2)^{2}-5^{2}=0 \\&\Leftrightarrow(x+7)(x-3)=0\end{aligned}$

Deux solutions $-7$ et $3$ mais $-7 \notin]-2 ;+\infty[$

donc $S=\{3\}$

c. $\ln x+\ln (x-1)=\ln \left(x^{2}+x-6\right)$ avec $\left.x \in\right] 1 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln x+\ln (x-1)=\ln \left(x^{2}+x-6\right) &\Leftrightarrow \ln [x(x-1)]=\ln \left(x^{2}+x-6\right)\\&\Leftrightarrow x^2-x=x^{2}+x-6\\&\Leftrightarrow-2 x=-6 \\&\Leftrightarrow x=3 \end{aligned}$

On a $3 \in] 1 ;+\infty[$ donc $S=\{3\}$ 

d. $2 \ln (1-x)=\ln (x+5) \quad$ avec $x \in]-5 ; [1$

$\begin{aligned}2 \ln (1-x)=\ln (x+5) &\Leftrightarrow\ln (1-x)^2=\ln (x+5)\\ &\Leftrightarrow\ln (x^2-2x+1)=\ln (x+5)\\  &\Leftrightarrow x^{2}-3 x-4=0 \\&\Leftrightarrow(x-4)(x+1)=0\end{aligned}$

Deux solutions  : 4 et -1 mais $4 \notin]-5 ; 1[$ donc $S=\{-1\}$

e.  $\ln (x+3)=\frac{1}{2} \ln 16$ avec $x \in ]-3 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln (x+3)=\frac{1}{2} \ln 16&\Leftrightarrow \ln (x+3)=\ln \sqrt{16}\\ &\Leftrightarrow \ln (x+3)=\ln 4 \\&\Leftrightarrow x+3=4 \\&\Leftrightarrow  x=1 \end{aligned}$

Donc $S=\{1\}$

f. $2 \ln x-\ln 4=1$ avec $x \in] 0 ;+\infty[$ 

 $\begin{aligned} 2 \ln x-\ln 4=1&\Leftrightarrow \ln x^{2}-\ln 4=1 \\ &\Leftrightarrow \ln \frac{x^{2}}{4}=\ln e \\  &\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4}=e\\ &\Leftrightarrow x^{2}=4 e \\ &\Leftrightarrow(x+2 \sqrt{e})(x-2 \sqrt{e})=0\\&\Leftrightarrow x+2 \sqrt{e}=0\ ou\ x-2 \sqrt{e}=0\\ &\Leftrightarrow x=-2 \sqrt{e}\ ou\ x=2 \sqrt{e}\end{aligned}$

Or $-2 \sqrt{e} \notin ] 0 ;+\infty[$

donc $S=\{2 \sqrt{e}\}$

Inéquations

Exercice 14 :  

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes:

a) $\ln x<0$

b) $\ln x>1$

c) $\ln x \leq 2$

d) $\ln (x+5)>0$

e) $\ln (1-x)<3$

a) $\ln x<0 .$ 

L'inéquation $\ln x<0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$. 

On sait que $\ln 1=0,$ donc 

$\begin{aligned}\ln x<0 \Leftrightarrow \ln x<\ln 1 \Leftrightarrow x<1 \end{aligned}$ 

car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ 

On a donc $S=] 0 ; 1[$.

b) $\ln x>1 .$ 

L'inéquation $\ln x>1$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$. 

On sait que $\ln \mathrm{e}=1,$ donc 

$\begin{aligned}\ln x>1 &\Leftrightarrow \ln x>\ln \mathrm{e} \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e},\end{aligned}$ 

car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ 

On a donc $S=] \mathrm{e} ;+\infty[$

c) $\ln x \leq 2 .$ 

L'inéquation $\ln x \leq 2$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$. 

On sait que pour tout $x$ réel, 

$\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x,$ donc $2=\ln \left(\mathrm{e}^{2}\right)$. 

Donc

$\begin{aligned}\ln x \leq 2 &\Leftrightarrow \ln x \leq \ln \left(\mathrm{e}^{2}\right) \\&\Leftrightarrow x \leq \mathrm{e}^{2}\end{aligned},$ 

car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ 

On a donc $S=] 0 ; \mathrm{e}^{2}]$

d) $\ln (x+5)>0 .$ 

L'inéquation $\ln (x+5)>0$ est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que $x+5>0,$ c'est à dire sur l'intervalle $]-5 ;+\infty[$ 

Sur $]-5 ;+\infty[$, 

$\begin{aligned}\ln (x+5)>0 &\Leftrightarrow \ln (x+5)>\ln 1 \\&\Leftrightarrow x+5>1 \\&\Leftrightarrow x>4 \end{aligned}$. 

Donc $S=] 4 ;+\infty[$

e) $\ln (1-x)<3 .$ 

L'inéquation $\ln (1-x)<3$ est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que $1-x>0$. 

$1-x>0 \Leftrightarrow x<1 .$ 

Donc l'ensemble de définition est $]-\infty ; 1[$ 

Sur $]-\infty ; 1[$, 

$\begin{aligned}\ln (1-x)<3 &\Leftrightarrow \ln (1-x)<\ln \left(\mathrm{e}^{3}\right) \\&\Leftrightarrow 1-x<\mathrm{e}^{3} \\&\Leftrightarrow x>1-\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$

L'ensemble des solutions est donc l'ensemble des réels de l'intervalle $]-\infty ; 1[$ tels que $x>1-\mathrm{e}^{3} ;$ 

c'est donc l'ensemble des réels vérifiant à la fois ($x<1$ et $x>1-\mathrm{e}^{3}$). 

On a donc $S=]1-\mathrm{e}^{3} ; 1[$

Exercice 15 :  

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations:

a. $x \in] 1 ;+\infty[ ; \ln (x-1) \geq 0$ 

b. $x \in] 1 ;+\infty[ ; \ln (x-1)<0$

c. $x \in]-2 ;+\infty[ ; \ln (x+2) \leq \ln 5$

d. $x \in]-\frac{1}{2} ;+\infty[ ; \ln (2 x+1) \geq 1$

e. $x \in]-1 ;+\infty[ ; \ln (x+1) \leq 1$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations :

a. $\ln (x-1) \geq 0$

$x \in] 1 ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln (x-1) \geq 0 &\Leftrightarrow \ln (x-1) \geq \ln 1\\&\Leftrightarrow  x-1 \geq 1\\&\Leftrightarrow  x \geq 2\end{aligned}$

donc $S=[2 ;+\infty[$

b. $\ln (x-1)<0$

$x \in] 1 ;+\infty[$

$\begin{aligned} \ln (x-1)<0&\Leftrightarrow \ln (x-1)<\ln 1 \\&\Leftrightarrow x-1<1 \\ &\Leftrightarrow x<2 \end{aligned}$

or $x \in] 1 ;+\infty[$

donc $S=] 1 ; 2[$

c. $\ln (x+2) \leq \ln 5$

$x \in]-2 ;+\infty[$

$\begin{aligned} \ln (x+2) \leq \ln 5 &\Leftrightarrow x+2 \leq 5 \\&\Leftrightarrow x \leq 3 \end{aligned}$

or $x \in]-2 ;+\infty[$

donc $S=]-2 ; 3]$

d. $\ln (2 x+1) \geq 1$

$x \in ]-\frac{1}{2} ;+\infty[$

$\begin{aligned}\ln (2 x+1) \geq 1 &\Leftrightarrow \ln (2 x+1) \geq \ln e \\&\Leftrightarrow 2 x+1 \geq e \\&\Leftrightarrow x  \geq \frac{e-1}{2} \end{aligned}$

$S=\left]\frac{e-1}{2};+\infty\right]$

e. $\ln (x+1) \leq 1$ ; $x \in]-1 ;+\infty[$

$\begin{aligned}  \ln (x+1) \leq 1&\Leftrightarrow \ln (x+1) \leq \ln e\\&\Leftrightarrow x+1 \leq e\\&\Leftrightarrow x \leq e-1 \end{aligned}$

or $x \in] -1 ;+\infty[$

donc $S=]-1 ; e-1]$

Exercice 16 : 

Résoudre dans $I\!R$ les inéquations suivantes :

a) $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0$

b) $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$

c) $\ln (x+1)+\ln (2 x-1) \leq \ln 2$

a) $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0 .$ 

L'inéquation $(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.

$(\ln x)^{2}+5 \ln x \geq 0 \Leftrightarrow \ln x(\ln x+5) \geq 0$

Étudions le signe de chacun des facteurs:

$\ln x=0 \Leftrightarrow x=1$ et $\ln x>0 \Leftrightarrow x>1$

$\ln x+5=0 \Leftrightarrow \ln x=-5 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-5}$

et $\ln x+5>0 \Leftrightarrow \ln x>-5 \Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-5}$ 

$$\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x  & 0 & & e^{-5} & & 1 & & +\infty \\ \hline  \ln (x)  &  \|  &  -  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline  \ln (x)+5  &  \|  &  -  & 0 &  +  & &  +  & \\ \hline  \ln (x)(\ln (x)+5)  &  \|  &  +  & 0 &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$$

On a donc $S=] 0 ; \mathrm{e}^{-5}] \cup[1 ;+\infty[$ 

b) $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$. 

L'inéquation $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 \geq 0$ est définie sur $] 0 ;+\infty[$.

Factorisons $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3 .$ 

Pour cela, posons $X=\ln x$.

On obtient alors le trinôme $X^{2}-2 X-3$ dont le discriminant est $\Delta=16$; ce trinôme admet deux racines réelles $X_{1}=\displaystyle\frac{2+4}{2}=3$ et $X_{2}=\displaystyle\frac{2-4}{2}=-1 .$ 

On a donc $X^{2}-2 X-3=(X-3)(X+1)$; 

on en déduit $(\ln x)^{2}-2 \ln x-3=(\ln x-3)(\ln x+1)$.

Étudions le signe de chaque facteur :

$\begin{aligned}\ln x-3=0 &\Leftrightarrow \ln x=3 \\&\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$

et 

$\begin{aligned}\ln x-3>0 &\Leftrightarrow \ln x>3 \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{3}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\ln x+1=0 &\Leftrightarrow \ln x=-1 \\&\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-1}\end{aligned}$

et 

$\begin{aligned}\ln x+1>0 &\Leftrightarrow \ln x>-1 \\&\Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-1}\end{aligned}$

$$\begin{array}{|c|cccccc|}\hline x  & 0 & &  e^{-1} & & e^{3} & &  +\infty  \\ \hline  \ln (x)-3  &  \|  &  -  & &  -  & 0 &  +  & \\ \hline  \ln (x)+1  &  \|  &  -  & 0 &  +  & &  +  & \\ \hline (\ln (x)-3)(\ln (x)+1)  &  \|  &  +  & 0 &  -  & 0 &  +  & \\ \hline \end{array}$$

On a donc $S=]0 ; \mathrm{e}^{-1}] \cup[\mathrm{e}^{3} ;+\infty[$ 

c) $\ln (x+1)+\ln (2 x-1) ; \ln 2$.

Cette inéquation est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que 

$\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$. 

$\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x>\displaystyle\frac{1}{2}\end{array} .\right.$ 

Donc l'ensemble de définition de l'inéquation est $]\displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$

On sait que pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, 

$\ln a \leq \ln b \Leftrightarrow a \leq b$. 

On transforme donc l'inéquation pour la mettre sous cette forme. 

Pour tout $x$ de $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$, 

$\ln (x+1)+\ln (2 x-1)=\ln [(x+1)(2 x-1)]$.

Sur $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$, 

$\ln (x+1)+\ln (2 x-1) \leq \ln 2$ 

$\quad\Leftrightarrow \ln [(x+1)(2 x-1)] \leq \ln 2$      

$\quad \Leftrightarrow(x+1)(2 x-1) \leq 2$

et $(x+1)(2 x-1) \leq 2 \Leftrightarrow 2 x^{2}+x-3 \leq 0 .$ 

Le trinôme $2 x^{2}+x-3$ a pour discriminant $\Delta=25$; il a deux racines réelles $x_{1}=\displaystyle\frac{-1+5}{4}=1$ et $x_{2}=\displaystyle\frac{-1-5}{4}=-\displaystyle\frac{3}{2}$. 

 $2 x^{2}+x-3 \leq 0 \Leftrightarrow x \in\left[-\displaystyle\frac{3}{2} ; 1\right]$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc l'ensemble des réels de $] \displaystyle\frac{1}{2} ;+\infty[$, vérifiant $x \in\left[-\displaystyle\frac{3}{2} ; 1\right] .$ 

Donc $S=\left] \displaystyle\frac{1}{2} ; 1\right]$

Exercice 17: 

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $(0,9)^{n}<0,5$.

Déterminons le plus petit entier naturel $n$ tel que $(0,9)^{n}<0,5$.

On sait que, pour tout réel strictement positif $a$ et pour tout entier $n$, $\ln \left(a^{n}\right)=n \ln a$;

de plus, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ Donc :

$\begin{aligned}(0,9)^{n}<0,5 &\Leftrightarrow \ln \left[(0,9)^{n}\right]<\ln 0,5 \\&\Leftrightarrow n \ln 0,9<\ln 0,5 \end{aligned}$

Or $0,9<1,$ donc $\ln 0,9<0,$ 

d'où $: n \ln 0,9<\ln 0,5 \Leftrightarrow n>\displaystyle\frac{\ln 0,5}{\ln 0,9}$.

Une valeur approchée de $\displaystyle\frac{\ln 0,5}{\ln 0,9}$ est 6,58 . 

Le plus entier cherché est donc $n=7$

IV. Dérivation

$\ln ^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$

Exercice 18 : 

Dériver la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ ci-dessous et mettre la dérivée sous une forme adaptée à l'étude de son signe :

a) $f(x)=x+\ln x$

b) $f(x)=x \ln x$

c) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}$

d) $f(x)=\ln x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$

e) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x-5 x}{3}$

a) $f(x)=x+\ln x$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables). $\forall x \in] 0 ;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=1+\displaystyle\frac{1}{x}$

b) $f(x)=x \ln x$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit de fonctions dérivables). $\begin{aligned}\forall x \in] 0 ;+\infty[, f^{\prime}(x)&=1 \times \ln x+x \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\ln x+1\end{aligned}$

c) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables).

$\begin{aligned}\forall x \in] 0 ;+\infty[, f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x} \times x-\ln x \times 1}{x^{2}}\\&=\displaystyle\frac{1-\ln x}{x^{2}}\end{aligned}$

d) $f(x)=\ln x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).

$\begin{aligned}\forall x \in] 0 ;+\infty[, f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{2} \times 2 x\\&=\displaystyle\frac{1}{x}-x\\&=\displaystyle\frac{1-x^{2}}{x}\\&=\displaystyle\frac{(1-x)(1+x)}{x}\end{aligned}$

e) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x-5 x}{3}$

$f$ dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).

$\forall x \in] 0 ;+\infty[$, 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-5\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1-5 x}{x}\\&=\displaystyle\frac{1-5 x}{3 x}\end{aligned}$

Exercice 19 : 

Dériver la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :

a) $f(x)=(\ln x)^{2}$

b) $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \ln x$

d) $f(x)=\mathrm{e}^{x \ln x}$

a) $f(x)=(\ln x)^{2}$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (carré d'une fonction dérivable). $\forall x \in] 0 ;+\infty[, f(x)=(u(x))^{2}$ où $u(x)=\ln x$

donc 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2 u(x) \times u^{\prime}(x)\\&=2 \ln x \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{2 \ln x}{x}\end{aligned}$.

b) $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x$: 

$f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables). $\begin{aligned}\forall x \in] 0 ;+\infty[, f^{\prime}(x)&=-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{x-1}{x^{2}}\end{aligned}$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \ln x: f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit de fonctions dérivables). 

$\forall x \in] 0 ;+\infty[$, 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\mathrm{e}^{-x} \times \ln x+\mathrm{e}^{-x} \times \displaystyle\frac{1}{x}\\&=\mathrm{e}^{-x}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\ln x\right)\\&=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x}(1-x \ln x)}{x}\end{aligned}$

d) $f(x)=\mathrm{e}^{x \ln x}: f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ (produit et composée de fonctions dérivables).

$\forall x \in] 0 ;+\infty[, f(x)=\mathrm{e}^{u(x)}$ où $u(x)=x \ln x$

donc $f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{u(x)}=(1+\ln x) \mathrm{e}^{x \ln x}$.

Exercice 20 :

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$ par : $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln x}$. 

Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse e.

$(\ln u)^{\prime}=\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln x}: f$ est dérivable sur $] 0 ; 1[$ et sur $] 1 ;+\infty[$ (inverse d'une fonction dérivable).

$\forall x \in] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$, $f(x)=\displaystyle\frac{1}{u(x)}$ où  $u(x)=\ln x$  donc  

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=-\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{(u(x))^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\end{aligned}$ ;

$f(\mathrm{e})=\displaystyle\frac{1}{\ln \mathrm{e}}=1$ et 

$\begin{aligned}f^{\prime}(\mathrm{e})&=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}(\ln \mathrm{e})^{2}}\\&=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}} \end{aligned}$

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $e$ a pour équation :

$y=f(\mathrm{e})+f^{\prime}(\mathrm{e})(x-\mathrm{e})$ soit $y=1+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}(x-\mathrm{e})$ soit $y=\displaystyle\frac{x}{\mathrm{e}}$

$(\ln u)^{\prime}=\displaystyle\frac{u^{\prime}}{u}$

Exercice 21:

Dériver la fonction $f$ définie par :

a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $I\!R$

b) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right) \operatorname{sur} I\!R$

c) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$

d) $f(x)=\ln (\ln x)$ sur $] 1 ;+\infty[$

e) $f(x)=(x-1) \ln (2-x)$ sur $]-\infty ; [2$

f) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$ sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$

a) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ sur $I\!R$ ; 

$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=x^{2}+1$. 

$u$ est dérivable et strictement positive sur $I\!R$ donc $f$ est dérivable sur $I\!R$ et pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ .  

$u^{\prime}(x)=2 x$ donc $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}$

b) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$ sur $I\!R$ ; 

$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}$.

$u$ est dérivable et strictement positive sur $I\!R$ donc $f$ est dérivable sur $I\!R$

et pour tout réel $x$

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}$

c) $f(x)=\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$; 

$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}$.

$u$ est dérivable et strictement positive sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}$ .

$\begin{aligned}u^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1 \times(x-1)-(x+1) \times 1}{(x-1)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}}\end{aligned}$

Donc 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}}}{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}} \times \displaystyle\frac{x-1}{x+1}\\&=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)(x+1)}\end{aligned}$

d) $f(x)=\ln (\ln x)$ sur $] 1 ;+\infty[$; 

$f(x)$ est de la forme $\ln (u(x))$ avec $u(x)=\ln x$.

$u$ est dérivable et strictement positive sur $] 1 ;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $] 1 ;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $] 1 ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} . u^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\right.$ donc $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{\ln x}=\displaystyle\frac{1}{x \ln x}$

e) $f(x)=(x-1) \ln (2-x)$ sur $]-\infty ; [2$

$f(x)$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\ln (2-x) ;$

$v(x)$ est de la forme $\ln (w(x))$ avec $w(x)=2-x$. $w$ est dérivable et strictement positive sur $]-\infty ; 2[$ donc $v$ est dérivable sur $]-\infty ; [2$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ; 2\left[, v^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{w^{\prime}(x)}{w(x)}=\displaystyle\frac{-1}{2-x}\right.$.

$f$ est dérivable sur $]-\infty ; 2[$ et pour tout réel $x$ de $]-\infty ; 2[,$

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=u^{\prime}(x) \times v(x)+u(x) \times v^{\prime}(x)\\&=1 \times \ln (2-x)+(x-1) \times \displaystyle\frac{-1}{(2-x)}\\&=\ln (2-x)-\displaystyle\frac{x-1}{2-x}\end{aligned}$

f) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$ sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$;

$f(x)$ est de la forme $\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=\ln (x+1)$ et $v(x)=\ln x .$

Sur $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$, $u$ et $v$ sont dérivables et $v(x) \neq 0$ donc $f$ est dérivable sur $]0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$ et pour tout $x$ de $] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[$

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x+1} \times \ln x-\ln (x+1) \times \displaystyle\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x \ln x-(x+1) \ln (x+1)}{x(x+1)}}{(\ln x)^{2}}\end{aligned}$

d'où $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{x \ln x-(x+1) \ln (x+1)}{x(x+1)(\ln x)^{2}}$   .

Exercice 22 :

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=x-\ln \left(2+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$. 

Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 .

$f$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : $f(x)=x-\ln \left(2+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$. Une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse $1$ est : $y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$.

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}\\&=1-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-1}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{2 x+1}{x}}\\&=1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}} \times \displaystyle\frac{x}{2 x+1}\\&=1+\displaystyle\frac{1}{x(2 x+1)}\\&=\displaystyle\frac{2 x^{2}+x+1}{x(2 x+1)}\end{aligned}$

Donc $f^{\prime}(1)=\displaystyle\frac{4}{3}$ et $f(1)=1-\ln 3$.

Une équation de la tangente demandée est donc: $y=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{4}{3}+1-\ln 3$ soit $y=\displaystyle\frac{4}{3} x-\displaystyle\frac{1}{3}-\ln 3$

V-Autour des limites

Exercice 23:

Parmi les limites suivantes, indiquer celles qui correspondent à des formes indéterminées :

a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$

b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln x$

c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$

d) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x \rightarrow 0} x \ln x$

e) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$

f) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$

g) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}$

h) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln(1+ x)}{x-1}$

Pour les formes indéterminées, donner la valeur de la limite (résultat de cours).

Pour les autres formes, déterminer la limite.

a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$: 

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty \end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais on a vu en cours que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$

b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln x$: 

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty\\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \end{aligned}\right\}$ par produit on obtient on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln x=+\infty$.

c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}$

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x=0^{+} \end{aligned}\right\}$ par quotient on obtient  $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty$

d) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x > 0} x \ln x$

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \end{aligned}\right\}$ Le produit est une forme indéterminée, mais on a vu en cours que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x \ln x=0$.

e) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$: 

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \ln (1+x)=\ln 1=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x=0\end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}\\&=\ln ^{\prime} 1\\&=\displaystyle\frac{1}{1}=1\end{aligned}$.

f) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}$: 

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}=\displaystyle\frac{\ln (1+1)}{1}=\ln 2$.

g) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}$: 

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \ln x=\ln 1=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} x-1=0\end{aligned}\right\}$ Le quotient est une forme indéterminée, mais 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x}{x-1}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}\\&=\ln ^{\prime} (1)\\&=\displaystyle\frac{1}{1}=1\end{aligned}$.

h) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x-1}$: 

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x-1}=\displaystyle\frac{\ln 1}{-1}=0$.

Exercice 24 : 

Déterminer les limites suivantes :

a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x$

b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)$

c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$

a) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x$:

 $\left. \begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right)=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=-\infty\end{aligned}\right\}$ par produit on obtient $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-5 x+3\right) \ln x=-\infty$.

b) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)$ :

$\left. \begin{aligned} &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\frac{1}{x}\right)=+\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} - 3 \ln x=+\infty\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-3 \ln x\right)=+\infty$.

c) $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right):$ 

si $x<0$ alors $1-\mathrm{e}^{x}>0$

$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x<0}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)=1-1=0^{+} \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow 0 \atop u>0} \ln u=-\infty\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln \left(1-\mathrm{e}^{x}\right)=-\infty$

Exercice 25: 

Déterminer les limites demandées pour la fonction $f$ définie par :

a) $f(x)=1-x^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[:$

limites en $+\infty$ et en 0 ;

b) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}-x+2$ sur $] 0 ;+\infty[$ :

limites en $+\infty$ et en 0 ;

c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ sur $]-1 ;+\infty[:$

limites en $+\infty$ et en -1

d) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ sur $I\!R: \quad$ limites en $+\infty$ et en $-\infty ;$

e) $f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[: \quad$ limites en $+\infty$ et en 0 .

a) $f(x)=1-x^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[$ :

$•$ Limite à droite en $+\infty$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} 1-x^{2}=-\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \ln x=+\infty\end{array}\right\}$ par différence on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$.

$•$ Limite à droite en $0$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} 1-x^{2}=1 \ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \end{array}\right\}$ par différence on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty$.

b) $f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}-x+2$ sur $] 0 ;+\infty[$ :

$•$ Limite en $+\infty$ : 

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0 \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}-x+2=-\infty\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty .$

$•$ Limite à droite en $0$:

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \displaystyle \ln x =-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} x=0^+\end{aligned}\right\}$ par quotient on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \frac{\ln x}{x}=-\infty .$

$\left.\begin{aligned}&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \displaystyle \frac{\ln x}{x}=-\infty \\ &\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} -x+2=2\end{aligned}\right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} f(x)=-\infty .$

c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x+3\right)$ sur $]-1 ;+\infty[$:

Le trinôme $x^{2}+4 x+3$ a pour racines -3 et -1 . 

Il est strictement positif sur $]-\infty ;-3] \cup]-1 ;+\infty[,$ donc sur $]-1 ;+\infty[$. 

$•$ Limite en $+\infty$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+4 x+3\right)=+\infty \\  \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \ln u=+\infty \end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ .

$•$ Limite à droite en $-1$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1}\left(x^{2}+4 x+3\right)=0 \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow0 \atop u>0} \ln u=-\infty \end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1 \atop x>-1} f(x)=-\infty$.

e) $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ sur $I\!R$ :

$•$ Limite en $+\infty$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)=+\infty \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \ln u=+\infty\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$

$•$ Limite en $-\infty$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)=1 \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow 1} \ln u=\ln 1=0\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$

f) $f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x$ sur $] 0 ;+\infty[$: 

$f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x=\ln x(1+\ln x)$.

$•$ Limite en $+\infty$: 

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(1+\ln x)=+\infty\end{array}\right\}$ par produit on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$

$•$ Limite à droite en $0$: 

$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln x=-\infty \\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}(1+\ln x)=-\infty\end{array}\right\}$ par produit on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=+\infty$.

Exercice 26:

1. En utilisant le fait que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}=1,$ déterminer $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$

2. En utilisant le fait que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0,$ déterminer $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}},$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$

1. $f(x)=x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)$ sur $] 0 ;+\infty[$.

$•$ Limite à droite en 0: 

on a $\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}=\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x} \times \displaystyle\frac{1}{x}$.

$•$ Limite en $+\infty$: 

On a $x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\frac{\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\displaystyle\frac{1}{x}}$.

$\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x}=0 \\ \lim _{u \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (1+u)}{u}=1\end{array}\right\}$ par composée on obtient, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\displaystyle\frac{1}{x}}=1$ .

donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1$

2. On cherche à déterminer la limite, pour $n \in I\!N^{*}$, de $\displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}}=\displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}^{n}}{\sqrt[n]{x}}=n \displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{x}}$ en $+\infty$ :

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{x}=+\infty \\ \displaystyle\lim _{u \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln u}{u}=0(\text { cours })\end{array}\right\}$ par composée on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} n \displaystyle\frac{\ln \sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{x}}=+\infty$.

Exercice 27 : 

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=5-x-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$. 

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.

b) Démontrer que (C) admet une asymptote oblique $\Delta$ dont on donnera une équation.

c) Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite $\Delta$.

$f$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[.$ par : $f(x)=5-x-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$. 

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) Limite de $f$ en 0 :

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}(5-x)=5$

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0\atop x>0} \ln x=-\infty\\ \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{x}=+\infty \end{array} \right\}$ donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=-\infty,$ 

ce qui donne $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)=+\infty$.

D'où $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=-\infty$

Limite de $f$ en $+\infty$ :

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(5-x)=-\infty \\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)=0 \end{array} \right\}$ par somme on obtient $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$

b) 

$\begin{aligned}\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(5-x)]&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}\right)\\&=0\end{aligned}$

Donc la courbe (C) admet comme asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=5-x$

c) Pour étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite $\Delta,$ on étudie le signe de la différence $d(x)=[f(x)-(5-x)],$ c'est-à-dire le signe de $-2 \displaystyle\frac{\ln x}{x}$ sur $] 0 ;+\infty[$.

$$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline  x & 0 &&1&&+\infty\\ \hline Signe\ de\ \ln x &|\!|& - & 0 & +& \\ \hline Signe\ de\ d(x) &|\!|& + & 0 & -& \\ \hline Position\ relative\ de\ (C)\ et\ \Delta &|\!|& (C)\ au\ dessus\ de\ \Delta & I & (C)\ au\ dessous\ de\ \Delta \\\hline \end{array}$$

($I$ désigne le point d'intersection entre (C) et $\Delta$ ).

Exercice  28: 

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$, positive sur $[1,+\infty[,$ et a pour dérivée la fonction inverse. On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.

1. Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $] 0 ;+\infty[$.

2. En déduire le signe de $f$ puis montrer que, pour tout $x>1,0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.

3. En déduire que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$.

1. La fonction $f$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $] 0 ;+\infty[$. 

$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\displaystyle\frac{1}{x}\\&=\displaystyle\frac{2 \times \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \times \sqrt{x}}-\displaystyle\frac{2}{2 x}\end{aligned}$

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}-2}{2 x}$

Sur $] 0 ; 4[$ la fonction $f$ est décroissante 

et sur $[4 ;+\infty[$ la fonction $f$ est croissante. 

Elle admet un minimum pour $x=4$ qui vaut $f(4)=\sqrt{4}-\ln 4=2-\ln 4$.

2. Le minimum de la fonction $f$ est $f(4) \approx 0,613$. 

Donc pour tous réels $x, f(x)>0$. 

Pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[,$ on a $\sqrt{x}-\ln x>0$ donc $\sqrt{x}>\ln x$.

De plus, pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, $\ln x>0$ donc $0<\ln x<\sqrt{x}$. 

Comme $x$ est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité en divisant par $x$. 

Pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, on a $0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.

3. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} 0=0$,

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}=0$ et, pour tous réels $x$ de $] 1 ;+\infty[$, $0<\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}$.

D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x}=0$.