Exercices –Généralités sur les fonctions

Exercices – Généralités sur les fonctions

Exercice 1

On considère la fonction f définie par f(x)=2x+5

  1. Déterminer les images de 1 et de 3.
  2. Calculer f(2) et f(3).
  3. Déterminer le ou les antécédent(s) de 4 et de 0.
Correction Exercice 1

  1. On veut donc calculer :
    f(1)=2+5=3 f(3)=6+5=11
  2. f(2)=4+5=9 f(3)=6+5=1
  3. On cherche la ou les valeurs de x telles que f(x)=4 soit 2x+5=4 d’où 2x=1 et x=12.
    L’antécédent de 4 est 12

    On cherche maintenant les valeurs de x telles que f(x)=0 soit 2x+5=0 d’où x=52

Exercice 2

Voici la courbe représentative d’une fonction f.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

 

ex2

  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de f(1) et  de f(0).
  2. Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de 0,5, de 2 et de 1.
  3. Déterminer l’ensemble de définition de f.
Correction Exercice 2

  1. f(1)=0 et f(0)1,2
    ex2 cor1
  2. Les antécédents de 0,5 sont (environ) : 1,9 ; 0,4 ; 1,7 et 2,8

    Les antécédents de 2 sont (environ) : 1,7 et 0,4.

    1 n’a pas d’antécédent par f.
    ex2 cor2 (2)
  3. La fonction f est définie sur [2;3]

Exercice 3

On considère la fonction f définie par f(x)=2x3x1.

  1. Pour quelle valeur de x la fonction f n’est-elle pas définie?
  2. Déterminer f(0), f(1) et f(12).
  3. Déterminer les antécédents de 0; 1 et 2.
Correction Exercice 3

  1. f n’est pas définie pour la valeur de x qui annule son dénominateur.
    Or x1=0x=1
    f n’est donc pas définie en 1.
  2. f(0)=31=3 f(1)=2311=52

    f(12)=13121=432=4×23=83
  3. On cherche à résoudre :
    f(x)=0 soit 2x3x1=0 par conséquent 2x3=0 donc x=32.
    L’antécédent de 0 est 32

    f(x)=1 soit 2x3x1=1 par conséquent 2x3=x1 donc x=2 .
    L’antécédent de 1 est 2

    f(x)=2 soit 2x3x1=2 par conséquent 2x3=2(x1) ce qui nous amène à 2x3=2x+2  soit 4x=5.
    L’antécédent de 2 est 54.

Exercice 4

On considère la fonction f définie par f(x)=12x2+2x1.

Compléter le tableau de valeurs suivant.

x210 1 2 3 f(x)

Correction Exercice 4

x210 1 2 3 f(x)772112112

Exercice 5

  1. Dans chacun des cas, représenter sur une droite graduée l’appartenance à l’intervalle.
    a. x]2;6[.

    b. x];1]

    c. x]5;+[
  2. Traduire chaque inégalité sous la forme de l’appartenance à un intervalle.
    a. 2<x3

    b. 3>x

    c. 1x
Correction Exercice 5


  1. ex5 cor
  2. a. Si 2<x3 alors on a  x]2;3]

    b. Si 3>x alors on a x];3[

    c. Si 1x alors on a x[1;+[

Exercice 6

Soit f la fonction définie par f(x)=2x2.

  1. Que peut-on dire de l’ensemble de définition de f?
    Calculez les images par f des réels 0; 2; 4.
  2. Vérifiez que 4 a deux antécédents par f.
  3. Pourquoi 4 n’est-il l’image d’aucun réel?
  4. Quels sont les réels qui ont 54 pour image par f?
Correction Exercice 6
  1. Pour tout nombre réel x, x2 existe. Par conséquent la fonction f est définie sur \R.

    f(0)=2×02=0 f(2)=2×2=4 f(4)=2×(4)2=32.
  2. On cherche à résoudre f(x)=4 soit 2x2=4 et donc x2=2.
    Cette équation possède deux solutions : 2 et 2.
  3. Pour tout réel x, 2x20. Par conséquent 4 n’a pas d’antécédent par f.
  4. On veut résoudre 2x2=54 soit x2=58.
    Cette équation possède deux solutions : 58 et 58.


Exercice 7

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=(2x+6)(x+3)2.

  1. Développez puis factorisez f(x).
  2. En choisissant l’expression la mieux adaptée, calculez à la main les images de 0, 2 et 1.
  3. Déterminez par le calcul le ou les antécédents de 0 et 3 par f.
Correction Exercice 7
  1. f(x)=2x+6(x2+6x+9)=x24x3

    f(x)=2(x+3)(x+3)2=(x+3)[2(x+3)]=(x+3)(x1)
  2.  f(0)=024×03=3

    f(2)=2423=542

    f(1)=(1+3)(11)=0
  3. On veut résoudre l’équation (x+3)(x1)=0.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
    x+3=0 ou x1=0
    x=3 ou x=1
    0 possède donc deux antécédents 3 et 1.

    On veut résoudre l’équation x24x3=3 soit x24x=0 et donc x(x+4)=0.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
    x=0 ou x+4=0
    x=0 ou x=4.
    3 possède donc deux antécédents 0 et 4.


Exercice 8

On considère la fonction f définie sur [2;2] par f(x)=x2x+5.

Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de f?

O(0;0) ; A(1;16) ; B(3;14) ; C(2;47) ; D(3;92)

Correction Exercice 8

Pour chaque point M(x;y) on va regarder si y=f(x)

f(0)=020+5=0 donc O appartient à la courbe représentative de f.

f(1)=11+5=16 donc A appartient à la courbe représentative de f.

93+5=9814 donc B n’appartient pas à la courbe représentative de f.
Remarque : On pouvait également dire que 3 n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction f; on ne pouvait donc pas parler de f(3).

f(2)=42+5=4347 donc C n’appartient pas à la courbe représentative de f.

La fonction f est définie sur l’intervalle [2;2]. L’abscisse du point D étant 3, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de f.
Remarque : On a pourtant (3)23+5=92.


Exercice 9

On considère la fonction g définie sur [4;2] par g(x)=14x2+3.

  1. Remplir le tableau de valeurs suivant :
    x4321 0 1 2g(x)
  2. Représenter sur votre feuille la courbe représentative de la fonction f (on choisira un repère orthogonal (O;I,J) tel que OI=OJ=4 cm).
  3. A l’aide du graphique, déterminez une valeur approchée :
    a. des images de 1,5 et 1,5.

    b. du ou des antécédents de 12.
  4. Retrouvez les résultats par le calcul.
Correction Exercice 9

  1. x4321 0 1 2g(x)10,7522,7532,752
  2. Attention à l’échelle demandée : OI=OJ=4 cm
    2nd-fct2-ex4cor
  3. a. Graphiquement on constate que f(1,5)2,5 et f(1,5)2,5

    b. 12 ne possède qu’un seul antécédent qui est environ égal à 3,75
  4. a. f(1,5)=12×1,52+3=2,254+3=3916
    f(1,5)=12×(1,5)2+3=2,254+3=3916

    b. On veut résoudre 14x2+3=14 soit x2+12=1 donc x2=13.
    Sur [4;2], cette équation ne possède qu’une seule solution 13.


Exercice 10

Soit f une fonction dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous :

2nd-fct2-ex5

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant votre démarche.

  1. Déterminer l’image de 2 par f.
  2. Déterminer f(0), f(1) et f(2).
  3. Résoudre f(x)=2.
  4. Déterminez les antécédents de 2 par f.
  5. Résoudre f(x)2.
  6. Résoudre f(x)>0.
Correction Exercice 10
  1. f(2)=2
  2. f(0)=0 f(1)=2 et f(2)=2.
  3. L’équation f(x)=2 possède deux solutions : 2 et 1.
  4. Les antécédents de 2 sont : 1 et 2.
  5. La solution de l’inéquation f(x)2  est ];2].
  6. La solution de l’inéquation f(x)>0 est environ ]1,75;0[]1,75;+[.

Exercice 11

La courbe ci-dessous représente une fonction f.


2nd - variations - ex1

 

  1. Déterminer son ensemble de définition.
  2. Donner le tableau de variations de la fonction f.
  3. Quel est le maximum de la fonction f sur :
    a. son ensemble de définition

    b. [3;2]
  4. Quel est le minimum de la fonction f sur :
    a. son ensemble de définition

    b. [2;4]
Correction Exercice 11

  1. L’ensemble de définition de la fonction f est Df=[3;4].

  2. 2nd - variations - ex1-cor
  3. a. Son maximum sur [3;4] est 3 atteint pour x=4.

    b. Son maximum sur [3;2] est 2 atteint pour x=3.
  4. a. Son minimum sur [3;4] est 2 atteint pour x=0.

    b. Son minimum sur [2;4] est 0 atteint pour x=2.

Exercice 12

Indiquez les erreurs dans les tableaux de variation suivants :

Tableau 1

2nd - variations - ex2a

 

Tableau 2

2nd - variations - ex2b

 

Correction Exercice 12

Tableau 1 : La fonction en peut pas décroitre de la valeur 1 à la valeur 1.  Elle ne peut pas croitre de la valeur 1 à la valeur 45. Elle ne peut pas non plus décroitre de la valeur 45 à la valeur 2.

Tableau 2 : 72 n’est pas compris entre 3 et 2. La fonction ne peut pas croitre de 3 à 2.

Exercice 13

Voici le tableau de variation d’une fonction g définie sur l’intervalle [3;4].

2nd - variations - ex3

  1. Décrire les variations de la fonctiong.
  2. Comparer lorsque cela est possible :
    g(3) et g(1)
    g(1) et g(3)
  3. Lire le maximum de g sur [0;4] et le minimum de g sur [3;4].
  4.  Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction g.
Correction Exercice 13

  1. La fonction g est décroissante sur les intervalles [3;0] et [2;4] et croissante sur [0;2].
  2. 3 et 1 appartiennent tous les deux à l’intervalle [3;0] sur lequel la fonction g est décroissante.
    Par conséquent g(3)>g(1).
    1 et 3 n’appartiennent pas à un intervalle sur lequel la fonction g est monotone. On ne peut donc pas comparer leur image.
  3. Le maximum de la fonction g sur  [0;4] est 0. Il est atteint pour x=2.

    Le minimum de la fonction g sur [3;4] est 4. Il est atteint pour x=0.
  4. Une représentation possible (il en existe une infinité) est :
    2nd - variations - ex3 cor

Exercice 14

Tracer une courbe susceptible de représenter une fonction f sachant que :

  • f est définie sur l’intervalle [5;4];
  • f admet un minimum 3 et un maximum 5 qui ne sont atteints ni en 5 ni en 4;
  • l’image de 5 est négative;
  • 0 possède trois antécédents.

Correction Exercice 14

Voici une proposition (il en existe une infinité).

Exercice 15

On considère une fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction f.
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f.
  3. Préciser le minimum et le maximum de f sur Df et pour quelles valeurs sont-ils atteints?
Correction Exercice 15

  1. La fonction f est définie sur Df=[2;6].
  2. Le tableau de variation de la fonction f est :
  3. Le minimum de la fonction f sur Df est 4. Il est atteint en 1 et 3.
    Le maximum de la fonction f sur Df est 5. Il est atteint en 6.

Exercice 16

On considère une fonction f dont le tableau de variation est :

  1. Quel est l’ensemble de définition Df de la fonction f?
  2. Préciser le minimum et le maximum de la fonction f sur Df.
  3. Préciser le minimum et le maximum de la fonction f sur l’intervalle [10;9].
  4. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :

    a. \ppf(5)\pp

    b. \ppf(20)\pp
Correction Exercice 16

  1. La fonction f est définie sur Df=[10;30].
  2. Le minimum de la fonction f sur l’intervalle [10;30] est 52.
    Le maximum de la fonction f sur l’intervalle [10;30] est 33.
  3. Le minimum de la fonction f sur l’intervalle [10;9] est 25.
    Le maximum de la fonction f sur l’intervalle [10;9] est 33.
  4. a. 25\ppf(5)\pp33

    b. 52\ppf(20)\pp20

Exercice 17

On considère une fonction f dont le tableau de variation est le suivant :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f?
  2. a. Quel est le maximum de la fonction f sur l’intervalle ];10]?

    b. Quel est le signe de f(x) sur l’intervalle ];10]?
  3. a. Quel est le maximum de la fonction f sur \R?

    b. En déduire le nombre de solution de l’équation f(x)=2.
Correction Exercice 17

  1. La fonction f est définie sur \R.
  2. a. Le maximum de la fonction f sur l’intervalle ];10] est 0.

    b. Sur l’intervalle ];10] le maximum est 0. On a donc f(x)\pp0 pour tout réel x];10].
    f(x) est donc négatif ou nul sur cet intervalle.
  3. a. Le maximum de la fonction f sur \R est 137.

    b. Par conséquent, pour tout réel x, on a f(x)\pp137<2.
    2 ne possède donc pas d’antécédent par la fonction f et l’équation f(x)=2 ne possède pas de solution sur \R.

Exercice 18

On considère une fonction f définie sur l’intervalle [4;5] dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 : f(4)\pg0.

Affirmation 2 : La courbe représentant la fonction f coupe l’axe des abscisses en un seul point.

Correction Exercice 18

D’après le tableau de variation on sait que 2\ppf(4)\pp1.
On ne peut donc pas déterminer le signe de f(4).
Affirmation 1 fausse

D’après le tableau de variation on sait que f(1)=0. La courbe représentant la fonction f coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisses 1.
On sait également que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [3;5] et qu’elle prend des valeurs comprises entre 2 et 1. Elle prendra donc une nouvelle fois sur cet intervalle (il faudra attendre la terminale pour avoir une justification précise) la valeur 0.
Affirmation 2 fausse

Exercice 19

On considère une fonction f dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f?
  2. Combien d’antécédents le nombre 5 possède-t-il par la fonction f sur son ensemble de définition?
  3. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :

    a. \ppf(3)\pp

    b. \ppf(2)\pp
Correction Exercice 19

  1. L’ensemble de définition de la fonction f est Df=[10;+[.
  2. Sur l’intervalle [10;0] le maximum de la fonction f est 1. Par conséquent 5 ne possède pas d’antécédent sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle [0;+[ le maximum de la fonction f est 5, atteint pour x=2. Par conséquent 5 possède un unique antécédent sur cet intervalle.
    Le nombre 5 possède donc un unique antécédent par la fonction f sur Df.
  3. a. 1\ppf(3)\pp5

    b. 7\ppf(2)\pp1

Exercice 20

Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction f donc une représentation graphique a été donnée.

Correction Exercice 20

On utilise la propriété suivante :

 Propriété : On considère une fonction f et sa représentation graphique Cf.

  • Sur l’intervalle [a,b] on a f(x)>0\ssi la courbe Cf est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [a;b].
  • Sur l’intervalle [a,b] on a f(x)<0\ssi la courbe Cf est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle [a;b]
  • f(x0)=0\ssi la courbe Cf  coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x0.

On obtient alors les tableaux de signes suivants :


Exercice 21

Déterminer, par le calcul, le signe des fonctions suivantes définies sur \R :

  1. f:xx+5
  2. g:x2x3
  3. h:x4x+1
  4. i:x12x+4
  5. j:x23x+7
Correction Exercice 21

    1. On a f(x)=x+5.
      f(x)=0\ssix+5=0\ssix=5
      et
      f(x)>0\ssix+5>0\ssix>5
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

    2. On a g(x)=2x3
      g(x)=0\ssi2x3=0\ssi2x=3\ssix=1,5
      et
      g(x)>0\ssi2x3>0\ssi2x>3\ssix>1,5
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

    3. On a h(x)=4x+1h(x)=0 \ssi -4x+1=0 \ssi -4x=-1 \ssi x=0,25eth(x)>0 \ssi -4x+1>0 \ssi -4x>-1 \ssi x<0,25$
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

    4. On a i(x)=12x+4
      i(x)=0\ssi12x+4=0\ssi12x=4\ssix=8
      et
      i(x)>0\ssi12x+4>0\ssi12x>4\ssix>8
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

    5. On a j(x)=23x+7
      j(x)=0\ssi23x+7=0\ssi23x=7\ssix=10,5
      et
      j(x)>0\ssi23x>7=0\ssi23x>7\ssix<10,5
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

 

Exercice 22

Déterminer graphiquement les solutions des inéquations suivantes :

Correction Exercice 22

  1. L’ensemble solution est : ]4;4[.
  2. L’ensemble solution est ,environ : ];3,8][1,8;+[.
  3. L’ensemble solution est : ]1;3[.

A

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