Exercices –Généralités sur les fonctions
Exercices – Généralités sur les fonctions
Exercice 1
On considère la fonction f définie par f(x)=2x+5
- Déterminer les images de −1 et de 3.
- Calculer f(2) et f(−3).
- Déterminer le ou les antécédent(s) de 4 et de 0.
- On veut donc calculer :
f(−1)=−2+5=3 f(3)=6+5=11 - f(2)=4+5=9 f(−3)=−6+5=−1
- On cherche la ou les valeurs de x telles que f(x)=4 soit 2x+5=4 d’où 2x=−1 et x=−12.
L’antécédent de 4 est −12
On cherche maintenant les valeurs de x telles que f(x)=0 soit 2x+5=0 d’où x=–52
Exercice 2
Voici la courbe représentative d’une fonction f.
Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.
- Déterminer graphiquement une valeur approchée de f(1) et de f(0).
- Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de 0,5, de 2 et de −1.
- Déterminer l’ensemble de définition de f.
Exercice 3
On considère la fonction f définie par f(x)=2x–3x−1.
- Pour quelle valeur de x la fonction f n’est-elle pas définie?
- Déterminer f(0), f(−1) et f(−12).
- Déterminer les antécédents de 0; 1 et −2.
- f n’est pas définie pour la valeur de x qui annule son dénominateur.
Or x−1=0⇔x=1
f n’est donc pas définie en 1. - f(0)=−3−1=3 f(−1)=−2–3−1–1=52
f(−12)=−1–3−12–1=−4−32=−4×−23=83 - On cherche à résoudre :
f(x)=0 soit 2x–3x–1=0 par conséquent 2x–3=0 donc x=32.
L’antécédent de 0 est 32
f(x)=1 soit 2x–3x–1=1 par conséquent 2x–3=x–1 donc x=2 .
L’antécédent de 1 est 2
f(x)=−2 soit 2x–3x–1=−2 par conséquent 2x–3=−2(x–1) ce qui nous amène à 2x−3=−2x+2 soit 4x=5.
L’antécédent de −2 est 54.
Exercice 4
On considère la fonction f définie par f(x)=–12x2+2x−1.
Compléter le tableau de valeurs suivant.
x−2−10 1 2 3 f(x)
x−2−10 1 2 3 f(x)−7−72−112112
Exercice 5
- Dans chacun des cas, représenter sur une droite graduée l’appartenance à l’intervalle.
a. x∈]2;6[.
b. x∈]−∞;1]
c. x∈]5;+∞[ - Traduire chaque inégalité sous la forme de l’appartenance à un intervalle.
a. −2<x≤3
b. 3>x
c. 1≤x
- a. Si −2<x≤3 alors on a x∈]−2;3]
b. Si 3>x alors on a x∈]−∞;3[
c. Si 1≤x alors on a x∈[1;+∞[
Exercice 6
Soit f la fonction définie par f(x)=2x2.
- Que peut-on dire de l’ensemble de définition de f?
Calculez les images par f des réels 0; √2; −4. - Vérifiez que 4 a deux antécédents par f.
- Pourquoi −4 n’est-il l’image d’aucun réel?
- Quels sont les réels qui ont 54 pour image par f?
- Pour tout nombre réel x, x2 existe. Par conséquent la fonction f est définie sur \R.
f(0)=2×02=0 f(√2)=2×2=4 f(−4)=2×(−4)2=32. - On cherche à résoudre f(x)=4 soit 2x2=4 et donc x2=2.
Cette équation possède deux solutions : −√2 et √2. - Pour tout réel x, 2x2≥0. Par conséquent −4 n’a pas d’antécédent par f.
- On veut résoudre 2x2=54 soit x2=58.
Cette équation possède deux solutions : −√58 et √58.
Exercice 7
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=(2x+6)–(x+3)2.
- Développez puis factorisez f(x).
- En choisissant l’expression la mieux adaptée, calculez à la main les images de 0, √2 et −1.
- Déterminez par le calcul le ou les antécédents de 0 et −3 par f.
- f(x)=2x+6–(x2+6x+9)=−x2–4x–3
f(x)=2(x+3)–(x+3)2=(x+3)[2–(x+3)]=(x+3)(−x−1) - f(0)=−02–4×0–3=−3
f(√2)=−2–4√2–3=−5−4√2
f(−1)=(−1+3)(1–1)=0 - On veut résoudre l’équation (x+3)(−x–1)=0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
x+3=0 ou −x−1=0
x=−3 ou x=−1
0 possède donc deux antécédents −3 et −1.
On veut résoudre l’équation −x2–4x–3=−3 soit −x2–4x=0 et donc −x(x+4)=0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
x=0 ou x+4=0
x=0 ou x=−4.
−3 possède donc deux antécédents 0 et −4.
Exercice 8
On considère la fonction f définie sur [−2;2] par f(x)=x2x+5.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de f?
O(0;0) ; A(1;16) ; B(3;14) ; C(−2;47) ; D(−3;92)
Pour chaque point M(x;y) on va regarder si y=f(x)
f(0)=020+5=0 donc O appartient à la courbe représentative de f.
f(1)=11+5=16 donc A appartient à la courbe représentative de f.
93+5=98≠14 donc B n’appartient pas à la courbe représentative de f.
Remarque : On pouvait également dire que 3 n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction f; on ne pouvait donc pas parler de f(3).
f(−2)=4−2+5=43≠47 donc C n’appartient pas à la courbe représentative de f.
La fonction f est définie sur l’intervalle [−2;2]. L’abscisse du point D étant −3, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de f.
Remarque : On a pourtant (−3)2−3+5=92.
Exercice 9
On considère la fonction g définie sur [−4;2] par g(x)=−14x2+3.
- Remplir le tableau de valeurs suivant :
x−4−3−2−1 0 1 2g(x) - Représenter sur votre feuille la courbe représentative de la fonction f (on choisira un repère orthogonal (O;I,J) tel que OI=OJ=4 cm).
- A l’aide du graphique, déterminez une valeur approchée :
a. des images de 1,5 et −1,5.
b. du ou des antécédents de −12. - Retrouvez les résultats par le calcul.
x−4−3−2−1 0 1 2g(x)−10,7522,7532,752- Attention à l’échelle demandée : OI=OJ=4 cm
- a. Graphiquement on constate que f(−1,5)≈2,5 et f(−1,5)≈2,5
b. −12 ne possède qu’un seul antécédent qui est environ égal à −3,75 - a. f(1,5)=–12×1,52+3=–2,254+3=3916
f(−1,5)=–12×(−1,5)2+3=–2,254+3=3916
b. On veut résoudre −14x2+3=−14 soit −x2+12=−1 donc x2=13.
Sur [−4;2], cette équation ne possède qu’une seule solution −√13.
Exercice 10
Soit f une fonction dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous :
En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant votre démarche.
- Déterminer l’image de 2 par f.
- Déterminer f(0), f(1) et f(−2).
- Résoudre f(x)=−2.
- Déterminez les antécédents de 2 par f.
- Résoudre f(x)≤2.
- Résoudre f(x)>0.
- f(2)=2
- f(0)=0 f(1)=−2 et f(−2)=−2.
- L’équation f(x)=−2 possède deux solutions : −2 et 1.
- Les antécédents de 2 sont : −1 et 2.
- La solution de l’inéquation f(x)≤2 est ]−∞;2].
- La solution de l’inéquation f(x)>0 est environ ]−1,75;0[∪]1,75;+∞[.
Exercice 11
La courbe ci-dessous représente une fonction f.
- Déterminer son ensemble de définition.
- Donner le tableau de variations de la fonction f.
- Quel est le maximum de la fonction f sur :
a. son ensemble de définition
b. [−3;2] - Quel est le minimum de la fonction f sur :
a. son ensemble de définition
b. [2;4]
Exercice 12
Indiquez les erreurs dans les tableaux de variation suivants :
Tableau 1
Tableau 2
Tableau 1 : La fonction en peut pas décroitre de la valeur −1 à la valeur 1. Elle ne peut pas croitre de la valeur 1 à la valeur 45. Elle ne peut pas non plus décroitre de la valeur 45 à la valeur 2.
Tableau 2 : 72 n’est pas compris entre −3 et 2. La fonction ne peut pas croitre de 3 à 2.
Exercice 13
Voici le tableau de variation d’une fonction g définie sur l’intervalle [−3;4].
- Décrire les variations de la fonctiong.
- Comparer lorsque cela est possible :
• g(−3) et g(−1)
• g(1) et g(3) - Lire le maximum de g sur [0;4] et le minimum de g sur [−3;4].
- Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction g.
- La fonction g est décroissante sur les intervalles [−3;0] et [2;4] et croissante sur [0;2].
- −3 et −1 appartiennent tous les deux à l’intervalle [−3;0] sur lequel la fonction g est décroissante.
Par conséquent g(−3)>g(−1).
1 et 3 n’appartiennent pas à un intervalle sur lequel la fonction g est monotone. On ne peut donc pas comparer leur image. - Le maximum de la fonction g sur [0;4] est 0. Il est atteint pour x=2.
Le minimum de la fonction g sur [−3;4] est −4. Il est atteint pour x=0. - Une représentation possible (il en existe une infinité) est :
Exercice 14
Tracer une courbe susceptible de représenter une fonction f sachant que :
- f est définie sur l’intervalle [−5;4];
- f admet un minimum –3 et un maximum 5 qui ne sont atteints ni en –5 ni en 4;
- l’image de –5 est négative;
- 0 possède trois antécédents.
Exercice 15
On considère une fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
- Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction f.
- Déterminer le tableau de variation de la fonction f.
- Préciser le minimum et le maximum de f sur Df et pour quelles valeurs sont-ils atteints?
Exercice 16
On considère une fonction f dont le tableau de variation est :
- Quel est l’ensemble de définition Df de la fonction f?
- Préciser le minimum et le maximum de la fonction f sur Df.
- Préciser le minimum et le maximum de la fonction f sur l’intervalle [−10;9].
- Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
a. ……\ppf(−5)\pp……
b. ……\ppf(20)\pp……
- La fonction f est définie sur Df=[−10;30].
- Le minimum de la fonction f sur l’intervalle [−10;30] est −52.
Le maximum de la fonction f sur l’intervalle [−10;30] est 33. - Le minimum de la fonction f sur l’intervalle [−10;9] est −25.
Le maximum de la fonction f sur l’intervalle [−10;9] est 33. - a. −25\ppf(−5)\pp33
b. −52\ppf(20)\pp20
Exercice 17
On considère une fonction f dont le tableau de variation est le suivant :
- Quel est l’ensemble de définition de la fonction f?
- a. Quel est le maximum de la fonction f sur l’intervalle ]−∞;10]?
b. Quel est le signe de f(x) sur l’intervalle ]−∞;10]? - a. Quel est le maximum de la fonction f sur \R?
b. En déduire le nombre de solution de l’équation f(x)=2.
- La fonction f est définie sur \R.
- a. Le maximum de la fonction f sur l’intervalle ]−∞;10] est 0.
b. Sur l’intervalle ]−∞;10] le maximum est 0. On a donc f(x)\pp0 pour tout réel x∈]−∞;10].
f(x) est donc négatif ou nul sur cet intervalle. - a. Le maximum de la fonction f sur \R est 137.
b. Par conséquent, pour tout réel x, on a f(x)\pp137<2.
2 ne possède donc pas d’antécédent par la fonction f et l’équation f(x)=2 ne possède pas de solution sur \R.
Exercice 18
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−4;5] dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.
Affirmation 1 : f(4)\pg0.
Affirmation 2 : La courbe représentant la fonction f coupe l’axe des abscisses en un seul point.
D’après le tableau de variation on sait que −2\ppf(4)\pp1.
On ne peut donc pas déterminer le signe de f(4).
Affirmation 1 fausse
D’après le tableau de variation on sait que f(−1)=0. La courbe représentant la fonction f coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisses −1.
On sait également que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [3;5] et qu’elle prend des valeurs comprises entre −2 et 1. Elle prendra donc une nouvelle fois sur cet intervalle (il faudra attendre la terminale pour avoir une justification précise) la valeur 0.
Affirmation 2 fausse
Exercice 19
On considère une fonction f dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
- Quel est l’ensemble de définition de la fonction f?
- Combien d’antécédents le nombre 5 possède-t-il par la fonction f sur son ensemble de définition?
- Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
a. ……\ppf(3)\pp……
b. ……\ppf(−2)\pp……
- L’ensemble de définition de la fonction f est Df=[−10;+∞[.
- Sur l’intervalle [−10;0] le maximum de la fonction f est 1. Par conséquent 5 ne possède pas d’antécédent sur cet intervalle.
Sur l’intervalle [0;+∞[ le maximum de la fonction f est 5, atteint pour x=2. Par conséquent 5 possède un unique antécédent sur cet intervalle.
Le nombre 5 possède donc un unique antécédent par la fonction f sur Df. - a. −1\ppf(3)\pp5
b. −7\ppf(−2)\pp1
Exercice 20
Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction f donc une représentation graphique a été donnée.
On utilise la propriété suivante :
- Sur l’intervalle [a,b] on a f(x)>0\ssi la courbe Cf est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [a;b].
- Sur l’intervalle [a,b] on a f(x)<0\ssi la courbe Cf est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle [a;b]
- f(x0)=0\ssi la courbe Cf coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x0.
On obtient alors les tableaux de signes suivants :
Exercice 21
Déterminer, par le calcul, le signe des fonctions suivantes définies sur \R :
- f:x↦x+5
- g:x↦2x−3
- h:x↦−4x+1
- i:x↦12x+4
- j:x↦−23x+7
- On a f(x)=x+5.
f(x)=0\ssix+5=0\ssix=−5
et
f(x)>0\ssix+5>0\ssix>5
On obtient donc le tableau de signes suivant : - On a g(x)=2x−3
g(x)=0\ssi2x−3=0\ssi2x=3\ssix=1,5
et
g(x)>0\ssi2x−3>0\ssi2x>3\ssix>1,5
On obtient donc le tableau de signes suivant : - On a h(x)=−4x+1h(x)=0 \ssi -4x+1=0 \ssi -4x=-1 \ssi x=0,25eth(x)>0 \ssi -4x+1>0 \ssi -4x>-1 \ssi x<0,25$
(on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
On obtient donc le tableau de signes suivant : - On a i(x)=12x+4
i(x)=0\ssi12x+4=0\ssi12x=−4\ssix=−8
et
i(x)>0\ssi12x+4>0\ssi12x>−4\ssix>−8
On obtient donc le tableau de signes suivant : - On a j(x)=−23x+7
j(x)=0\ssi−23x+7=0\ssi−23x=−7\ssix=10,5
et
j(x)>0\ssi−23x>7=0\ssi−23x>−7\ssix<10,5
(on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
On obtient donc le tableau de signes suivant :
- On a f(x)=x+5.
Exercice 22
Déterminer graphiquement les solutions des inéquations suivantes :
- L’ensemble solution est : ]−4;4[.
- L’ensemble solution est ,environ : ]−∞;−3,8]∪[1,8;+∞[.
- L’ensemble solution est : ]−1;3[.
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