Différents types de raisonnement en mathématiques
1) Raisonnement direct
$\begin{cases} 0 < x < 2 \\\\ 0 < y < 2 \end{cases}$ $\Rightarrow\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x}>\frac{1}{2} \\\\ \displaystyle \frac{1}{y}>\displaystyle \frac{1}{2} \end{cases}$
$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>1$
2) Raisonnement par disjonction des cas:
Soit $n \in \mathrm{IN}$
On raisonne suivant la parité de $n$ :
$\cdot \operatorname{si} n$ est pair alors il s'écrit $2 k$ où $k$ est un autre entier.
On a donc $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{2 k(2 k+1)}{2}=k(2 k+1) \in \mathrm{IN}$
$\cdot$ si $n$ est impair alors il s'écrit $2 k+1$ où $k$ est un autre entier.
On a donc $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2 k+1)(2 k+2)}{2} \\ \quad =\displaystyle \frac{2(2 k+1)(k+1)}{2} \\ \quad =(2 k+1)(k+1)\in \mathrm{IN}$
En conclusion: $\quad \forall n \in \mathrm{IN} ; \quad \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \in \mathrm{IN}$
Résoudre dans $\mathrm{IR}$ l'équation $(E): \quad x^{2}-|x-2|+5=0$
La difficulté de l'exercice vient du fait que la valeur absolue a deux expressions distinctes suivant le signe de la quantité à l'intérieur. Ceci nous incite à raisonner par disjonction de cas.
$\cdot$ si $x \geq 2$ alors $x-2 \geq 0$ et $|x-2|=x-2$
$(E): x^{2}-|x-2|+5=0 \Leftrightarrow x^{2}-(x-2)+5=0 $$\Leftrightarrow x^{2}-x+2+5$ $=0 \Leftrightarrow x^{2}-x+7=0$
On a $: \Delta=(-1)^{2}-4 \times 1 \times 7=-27$
Donc l'équation n'admet pas de solution dans $[2 ;+\infty[$
$\cdot$ si $x<2$ alors $x-2<0$ et $|x-2|=-x+2$
$x^{2}-|x-2|+5=0 \Leftrightarrow x^{2}-(-x+2)+5=0 \Leftrightarrow x^{2}+x-2+5=0$ $\Leftrightarrow x^{2}+x+3=0$
On a $: \Delta=1^{2}-4 \times 1 \times 3=-11$
Donc l'équation n'admet pas de solution dans $]-\infty ;2 [$
En conclusion : l'équation n'admet pas de solution dans $\mathrm{IR}$
3) Raisonnement par contraposition:
La contraposée de la proposition est : si $n$ est impair, alors est $n^{2}$ impair. Démontrons cela.
Si $n$ est impair, alors il s'écrit $2 k+1$ où $\mathrm{k}$ est un autre entier.
Mais alors $n^{2}$ s'écrit $(2 k+1)^{2}=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1$ et est donc impair.
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de I'énoncé.
4) Raisonnement par l'absurde :
Montrons que : $\displaystyle \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel : alors $\sqrt{2}$ $=\displaystyle \frac{a}{b}$ où $a, b$ sont des nombres entiers positifs.
II est possible de simplifier la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ jusqu'à ce que $a, b$ soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction $\frac{a}{b}$ ne puisse plus être simplifiée).
$\sqrt{2}=\displaystyle \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{2} b=a$ $\Rightarrow 2 b^{2}=a^{2}$
Puisque $a^{2}$ est pair, $a$ est pair et $a=2 p$ où $p$ est un entier positif.
$\begin{aligned} 2 b^{2}=(2 p)^{2} \Rightarrow & 2 b^{2}=4 p^{2} \\ \Rightarrow b^{2} &=2 p^{2} \end{aligned}$
Puisque $b^{2}$ est pair, $b$ est pair.
Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ par $2,$ ce qui contredit I'hypothèse que $a, b$ sont premiers entre eux.
Puisque I'hypothèse $" \sqrt{2}$ est rationnel $»$ conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir $« \sqrt{2}$ est irrationnel $»$.
5) Raisonnement par Contre-exemple:
$\forall x \in \mathbb{R} ; x^{2} \geq x$ est fausse car $\exists x \in \mathbb{R} ; x^{2} < x$
II suffit de prendre $x=\displaystyle \frac{1}{2}$ On a : $x^{2}=\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$
6) Raisonnement par équivalence successives:
Soit $x>0$
$x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^{2}+1}{x} \geq 2$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2}+1 \geq 2 x \\ \Leftrightarrow x^{2}-2 x+1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow(x-1)^{2} \geq 0 \end{array}$
Or $(x-1)^{2} \geq 0$ est vraie donc $x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2$
7) Raisonnement par récurrence :
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}$.
On considère la propriété $P(n):{ }^{\prime \prime} 3^{n} \geq 1+2 n^{\prime \prime}$.
initialisation : $P(0)$ est vérifiée, puisque $3^{0}=1+2 \times 0=1$
Hérédité： Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie.
$P(n+1): " 3^{n+1} \geq 1+2(n+1)^{\prime \prime}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 3^{n} \geq 1+2n\\ \Rightarrow 3 \times 3^{n} \geq 3(1+2 n)\\ \Rightarrow 3^{n+1} \geq 3+6 n$
On remarque que $3+6 n \geq 1+2(n+1)$ puisque
$3+6 n-(1+2(n+1))=3+6 n-(3+2 n)\\ \qquad =3+6 n-3-2 n\\ \qquad =4 n \geq 0$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Ce qui prouve par récurrence l'inégalité voulue pour tout $n \in \mathrm{IN}$.
On va procéder par récurrence sur $n \geq 5$.
On considère la propriété $P(n)={ }^{\prime \prime} 2^{n} \geq 6 n^{\prime \prime}$
initialisation : $P(5)$ est vérifiée, puisque $2^{5} \geq 6 \times 5$
Hérédité : Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain entier $n \geq 5$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie.
$P(n+1)$ $=" 2^{n+1} \geq 6(n+1)^{\prime \prime}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 2^{n} \geq 6 n\\ \begin{array}{l} \Rightarrow 2 \times 2^{n} \geq 2 \times 6 n \\ \Rightarrow 2^{n+1} \geq 12 n \end{array}$
On remarque que $12 n \geq 6(n+1)$ Puisque $(12 n)-(6 n+6)=6 n-6 \geq 0$
Car $n \geq 5$ donc $6 n \geq 30$ donc $6 n-6 \geq 24 \geq 0$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Ce qui prouve par récurrence l'inégalité voulue pour tout entier $\boldsymbol{n}\geq 5$
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}$.
On considère la propriété $P(n)=" n^{3}+2 n$ est divisible par 3 ".
initialisation : $P(0)$ est vérifiée, puisque $0^{3}+2 \times 0=0$ est divisible par 3 .
Hérédité : Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie ,
$P(n+1) : "(n+1)^{3}+2(n+1)$ est divisible par $3$"
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow n^{3}+2 n$ est divisible par 3
$\begin{array}{l} \Rightarrow \exists k \in \mathrm{IN} ; \quad n^{3}+2 n=3 k \\ \Rightarrow(n+1)^{3}+2(n+1)=n^{3}+3 n^{2}+3 n+1+2 n +2\\ \qquad=n^{3}+2 n+3 n^{2}+3 n+3\\ \qquad =3 k+3 n^{2}+3 n+3 \\ \qquad =3(k+n^{2}+n+1)\\ \end{array}$
Donc $(n+1)^{3}+2(n+1)$ est divisible par $3$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Conclusion: Par le principe de récurrence on a : $\forall n \in \mathbb{N} ; n^{3}$ $+2 n$ est divisible par 3
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}^{*}$.
On considère la propriété $P(n)={ }^{\prime \prime} 1+2+\ldots+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} "$
initialisation : $P(1)$ est vérifiée, puisque $1=\displaystyle \frac{1 \times(1+1)}{2}=\displaystyle \frac{2}{2}=1$
Hérédité： Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}^{*}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie ,
$P(n+1)=" 1+2+….+n+(n+1)= \displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 1+2+….+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
$ \Rightarrow 1+2+….+n+(n+1)= \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ \qquad =(n+1)(\frac{n}{2}+1) \\ \qquad =\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Conclusion: Par le principe de récurrence on a : $\forall n \in \mathbb{N} ; 1+2+….+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
On veut montrer que La proposition $« \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ » est vraie.
On suppose que $\mathrm{P}$ est vraie et on montre qu'alors $\mathrm{Q}$ est vraie
On suppose que $\mathrm{P}$ est vraie et on montre qu'alors $\mathrm{Q}$ est vraie
Exemple 1:
$\quad x \in\mathrm{IR} ; y \in\mathrm{IR}$
Montrer que : $\begin{cases} 0 < x < 2 \\\\ 0 < y < 2 \end{cases}$ $\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\displaystyle \frac{1}{y}>1$
Réponse : $\quad x \in\mathrm{IR} ; y \in\mathrm{IR}$
Montrer que : $\begin{cases} 0 < x < 2 \\\\ 0 < y < 2 \end{cases}$ $\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\displaystyle \frac{1}{y}>1$
$\begin{cases} 0 < x < 2 \\\\ 0 < y < 2 \end{cases}$ $\Rightarrow\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x}>\frac{1}{2} \\\\ \displaystyle \frac{1}{y}>\displaystyle \frac{1}{2} \end{cases}$
$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>1$
2) Raisonnement par disjonction des cas:
On veut démontrer une proposition $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ pour tous les $\mathrm{x}$ dans un ensemble $\mathrm{E}$, on montre La proposition pour les $\mathrm{x}$ dans une partie $\mathrm{A}$ de E, puis pour les x n'appartenant pas à A.
C'est la méthode de disjonction des cas ou méthode cas par cas.
Donc: Si on montre que les deux proposition $\operatorname{non} P \Rightarrow Q$ et $P \Rightarrow Q$ sont vraies (et puisque la dernière proposition est une loi logique) on peut conclure que $Q$ est vraie.
C'est la méthode de disjonction des cas ou méthode cas par cas.
Donc: Si on montre que les deux proposition $\operatorname{non} P \Rightarrow Q$ et $P \Rightarrow Q$ sont vraies (et puisque la dernière proposition est une loi logique) on peut conclure que $Q$ est vraie.
Exemple2 :
Montrer que : $\quad \forall n \in \mathrm{IN} \quad ; \quad \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \in \mathrm{IN}$
Réponse : Montrer que : $\quad \forall n \in \mathrm{IN} \quad ; \quad \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \in \mathrm{IN}$
Soit $n \in \mathrm{IN}$
On raisonne suivant la parité de $n$ :
$\cdot \operatorname{si} n$ est pair alors il s'écrit $2 k$ où $k$ est un autre entier.
On a donc $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{2 k(2 k+1)}{2}=k(2 k+1) \in \mathrm{IN}$
$\cdot$ si $n$ est impair alors il s'écrit $2 k+1$ où $k$ est un autre entier.
On a donc $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2 k+1)(2 k+2)}{2} \\ \quad =\displaystyle \frac{2(2 k+1)(k+1)}{2} \\ \quad =(2 k+1)(k+1)\in \mathrm{IN}$
En conclusion: $\quad \forall n \in \mathrm{IN} ; \quad \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \in \mathrm{IN}$
Exemple3:
Résoudre dans$\mathrm{IR}$ l'équation $(E): \quad x^{2}-|x-2|+5=0$
Réponse : Résoudre dans$\mathrm{IR}$ l'équation $(E): \quad x^{2}-|x-2|+5=0$
Résoudre dans $\mathrm{IR}$ l'équation $(E): \quad x^{2}-|x-2|+5=0$
La difficulté de l'exercice vient du fait que la valeur absolue a deux expressions distinctes suivant le signe de la quantité à l'intérieur. Ceci nous incite à raisonner par disjonction de cas.
$\cdot$ si $x \geq 2$ alors $x-2 \geq 0$ et $|x-2|=x-2$
$(E): x^{2}-|x-2|+5=0 \Leftrightarrow x^{2}-(x-2)+5=0 $$\Leftrightarrow x^{2}-x+2+5$ $=0 \Leftrightarrow x^{2}-x+7=0$
On a $: \Delta=(-1)^{2}-4 \times 1 \times 7=-27$
Donc l'équation n'admet pas de solution dans $[2 ;+\infty[$
$\cdot$ si $x<2$ alors $x-2<0$ et $|x-2|=-x+2$
$x^{2}-|x-2|+5=0 \Leftrightarrow x^{2}-(-x+2)+5=0 \Leftrightarrow x^{2}+x-2+5=0$ $\Leftrightarrow x^{2}+x+3=0$
On a $: \Delta=1^{2}-4 \times 1 \times 3=-11$
Donc l'équation n'admet pas de solution dans $]-\infty ;2 [$
En conclusion : l'équation n'admet pas de solution dans $\mathrm{IR}$
3) Raisonnement par contraposition:
Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante :
Donc si l'on souhaite montrer La proposition « $ \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ »
On montre en fait que $\operatorname{non}(\mathrm{Q}) \Rightarrow$ non( $\mathrm{P})$ est vraie.
Donc si l'on souhaite montrer La proposition « $ \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ »
On montre en fait que $\operatorname{non}(\mathrm{Q}) \Rightarrow$ non( $\mathrm{P})$ est vraie.
Exemple 4 :
Soit $n$ un entier. Montrer que si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair
Réponse : Soit $n$ un entier. Montrer que si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair
La contraposée de la proposition est : si $n$ est impair, alors est $n^{2}$ impair. Démontrons cela.
Si $n$ est impair, alors il s'écrit $2 k+1$ où $\mathrm{k}$ est un autre entier.
Mais alors $n^{2}$ s'écrit $(2 k+1)^{2}=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1$ et est donc impair.
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de I'énoncé.
4) Raisonnement par l'absurde :
Le raisonnement par l'absurde est basé sur le principe suivant :
pour montrer $« \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ » on suppose à la fois que $\mathrm{P}$ est vraie et que $\mathrm{Q}$ est fausse et on cherche une contradiction.
Ainsi si $\mathrm{P}$ est vraie alors $\mathrm{Q}$ doit être vraie et donc «$ \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ » est vraie.
pour montrer $« \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ » on suppose à la fois que $\mathrm{P}$ est vraie et que $\mathrm{Q}$ est fausse et on cherche une contradiction.
Ainsi si $\mathrm{P}$ est vraie alors $\mathrm{Q}$ doit être vraie et donc «$ \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}$ » est vraie.
Exemple 5 :
Montrer que : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Réponse : Montrer que : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Montrons que : $\displaystyle \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel : alors $\sqrt{2}$ $=\displaystyle \frac{a}{b}$ où $a, b$ sont des nombres entiers positifs.
II est possible de simplifier la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ jusqu'à ce que $a, b$ soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction $\frac{a}{b}$ ne puisse plus être simplifiée).
$\sqrt{2}=\displaystyle \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{2} b=a$ $\Rightarrow 2 b^{2}=a^{2}$
Puisque $a^{2}$ est pair, $a$ est pair et $a=2 p$ où $p$ est un entier positif.
$\begin{aligned} 2 b^{2}=(2 p)^{2} \Rightarrow & 2 b^{2}=4 p^{2} \\ \Rightarrow b^{2} &=2 p^{2} \end{aligned}$
Puisque $b^{2}$ est pair, $b$ est pair.
Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ par $2,$ ce qui contredit I'hypothèse que $a, b$ sont premiers entre eux.
Puisque I'hypothèse $" \sqrt{2}$ est rationnel $»$ conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir $« \sqrt{2}$ est irrationnel $»$.
5) Raisonnement par Contre-exemple:
Pour montrer qu'une proposition du type $: \forall x \in E ; P(x)$ est fausse alors il suffit de trouver $x \in E$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ soit fausse.
Trouver un tel $x$ c'est trouver un contre-exemple à La proposition $\forall x \in E ; P(x)$
Trouver un tel $x$ c'est trouver un contre-exemple à La proposition $\forall x \in E ; P(x)$
Exemple 6 :
Montrer que La proposition $\mathrm{P}: \forall x \in \mathbb{R} ; x^{2} \geq x$ est fausse
Réponse : Montrer que La proposition $\mathrm{P}: \forall x \in \mathbb{R} ; x^{2} \geq x$ est fausse
$\forall x \in \mathbb{R} ; x^{2} \geq x$ est fausse car $\exists x \in \mathbb{R} ; x^{2} < x$
II suffit de prendre $x=\displaystyle \frac{1}{2}$ On a : $x^{2}=\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$
6) Raisonnement par équivalence successives:
Le raisonnement par équivalence est basé sur le principe suivant :
pour montrer que $\mathrm{P}$ est vraie on montre que $« \mathrm{P} \Leftrightarrow \mathrm{Q}$ » est vraie et Q est vraie donc on déduit que P est vraie.
pour montrer que $\mathrm{P}$ est vraie on montre que $« \mathrm{P} \Leftrightarrow \mathrm{Q}$ » est vraie et Q est vraie donc on déduit que P est vraie.
Exemple 7 :
Montrer que : $\quad \forall x>0 ; \quad x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2$
Réponse : Montrer que : $\quad \forall x>0 ; \quad x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2$
Soit $x>0$
$x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^{2}+1}{x} \geq 2$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2}+1 \geq 2 x \\ \Leftrightarrow x^{2}-2 x+1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow(x-1)^{2} \geq 0 \end{array}$
Or $(x-1)^{2} \geq 0$ est vraie donc $x+\displaystyle \frac{1}{x} \geq 2$
7) Raisonnement par récurrence :
Le principe de récurrence permet de montrer qu'une proposition $P(n)$
dépendant de $\mathrm{n}$, est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
La démonstration par récurrence se déroule en trois étapes :
initialisation : on prouve $P(0)$ est vraie
Hérédité : on suppose $n>0$ donné avec $P(n)$ vraie, on démontre alors que La proposition $P(n+1)$ au rang suivant est vraie
Enfin dans la conclusion: $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$
La démonstration par récurrence se déroule en trois étapes :
initialisation : on prouve $P(0)$ est vraie
Hérédité : on suppose $n>0$ donné avec $P(n)$ vraie, on démontre alors que La proposition $P(n+1)$ au rang suivant est vraie
Enfin dans la conclusion: $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$
Exemple 8 :
Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} ; 3^{n} \geq 1+2 n$
Réponse : Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} ; 3^{n} \geq 1+2 n$
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}$.
On considère la propriété $P(n):{ }^{\prime \prime} 3^{n} \geq 1+2 n^{\prime \prime}$.
initialisation : $P(0)$ est vérifiée, puisque $3^{0}=1+2 \times 0=1$
Hérédité： Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie.
$P(n+1): " 3^{n+1} \geq 1+2(n+1)^{\prime \prime}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 3^{n} \geq 1+2n\\ \Rightarrow 3 \times 3^{n} \geq 3(1+2 n)\\ \Rightarrow 3^{n+1} \geq 3+6 n$
On remarque que $3+6 n \geq 1+2(n+1)$ puisque
$3+6 n-(1+2(n+1))=3+6 n-(3+2 n)\\ \qquad =3+6 n-3-2 n\\ \qquad =4 n \geq 0$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Ce qui prouve par récurrence l'inégalité voulue pour tout $n \in \mathrm{IN}$.
Exemple 9 :
Montrer par récurrence que : pour tout entier $n \geq 5 ; 2^{n} \geq 6 n$
Réponse : Montrer par récurrence que : pour tout entier $n \geq 5 ; 2^{n} \geq 6 n$
On va procéder par récurrence sur $n \geq 5$.
On considère la propriété $P(n)={ }^{\prime \prime} 2^{n} \geq 6 n^{\prime \prime}$
initialisation : $P(5)$ est vérifiée, puisque $2^{5} \geq 6 \times 5$
Hérédité : Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain entier $n \geq 5$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie.
$P(n+1)$ $=" 2^{n+1} \geq 6(n+1)^{\prime \prime}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 2^{n} \geq 6 n\\ \begin{array}{l} \Rightarrow 2 \times 2^{n} \geq 2 \times 6 n \\ \Rightarrow 2^{n+1} \geq 12 n \end{array}$
On remarque que $12 n \geq 6(n+1)$ Puisque $(12 n)-(6 n+6)=6 n-6 \geq 0$
Car $n \geq 5$ donc $6 n \geq 30$ donc $6 n-6 \geq 24 \geq 0$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Ce qui prouve par récurrence l'inégalité voulue pour tout entier $\boldsymbol{n}\geq 5$
Exemple 10 :
Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} ; n^{3}+2 n$ est divisible par 3
Réponse : Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} ; n^{3}+2 n$ est divisible par 3
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}$.
On considère la propriété $P(n)=" n^{3}+2 n$ est divisible par 3 ".
initialisation : $P(0)$ est vérifiée, puisque $0^{3}+2 \times 0=0$ est divisible par 3 .
Hérédité : Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie ,
$P(n+1) : "(n+1)^{3}+2(n+1)$ est divisible par $3$"
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow n^{3}+2 n$ est divisible par 3
$\begin{array}{l} \Rightarrow \exists k \in \mathrm{IN} ; \quad n^{3}+2 n=3 k \\ \Rightarrow(n+1)^{3}+2(n+1)=n^{3}+3 n^{2}+3 n+1+2 n +2\\ \qquad=n^{3}+2 n+3 n^{2}+3 n+3\\ \qquad =3 k+3 n^{2}+3 n+3 \\ \qquad =3(k+n^{2}+n+1)\\ \end{array}$
Donc $(n+1)^{3}+2(n+1)$ est divisible par $3$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Conclusion: Par le principe de récurrence on a : $\forall n \in \mathbb{N} ; n^{3}$ $+2 n$ est divisible par 3
Exemple 11 :
Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^{*} ; 1+2+….+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$
Réponse : Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^{*} ; 1+2+….+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$
On va procéder par récurrence sur $n \in \mathrm{IN}^{*}$.
On considère la propriété $P(n)={ }^{\prime \prime} 1+2+\ldots+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} "$
initialisation : $P(1)$ est vérifiée, puisque $1=\displaystyle \frac{1 \times(1+1)}{2}=\displaystyle \frac{2}{2}=1$
Hérédité： Supposons maintenant que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \in \mathrm{IN}^{*}$ et prouvons que $P(n+1)$ est vraie ,
$P(n+1)=" 1+2+….+n+(n+1)= \displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$P(n)$ est vraie $\Rightarrow 1+2+….+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
$ \Rightarrow 1+2+….+n+(n+1)= \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ \qquad =(n+1)(\frac{n}{2}+1) \\ \qquad =\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$P(n+1)$ est donc vérifiée.
Conclusion: Par le principe de récurrence on a : $\forall n \in \mathbb{N} ; 1+2+….+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
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