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🔻 Rappel sur les limites

🔻Limites usuelles

Propriété 1 :
$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$

Propriété 2 :
• Si $n$ est un entier naturel pair non nul : $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
En particulier $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ $\quad$
• Si $n$ est un entier naturel impair : $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
En particulier $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ $\quad$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} =+\infty$

Remarque : A l’aide des opérations sur les limites que nous verrons dans la prochaine partie on peut également dire que pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty \text{ si } n \text{ est pair} \\-\infty \text{ si } n \text{ est impair} \end{cases}$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty$.

🔻Opérations sur les limites

Dans cette partie :
• $\ell$ et $\ell’$ sont des réels;
• $a$ est un réel qui peut être remplacé éventuellement par $+\infty$ ou $-\infty$;
• $f$ et $g$ sont des fonctions;
• FI signifie Forme Indéterminée, c’est-à-dire que la limite est à déterminée au cas par cas.

Propriété 3 : (Somme)
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x \to a} f &\lim\limits_{x \to a} g&\lim\limits_{x \to a} f+g \\ \hline \ell&\ell^{\prime}&\ell+\ell^{\prime} \\ \hline \ell&+\infty&+\infty\\ \hline \ell &-\infty&-\infty\\ \hline +\infty&+\infty&+\infty \\ \hline -\infty&-\infty&-\infty \\ \hline +\infty&-\infty&F.I\\ \hline \end{array}$$

Exemple :
On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 + x \right)$. Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x=+\infty$.
Donc, par somme des limites, on obtient : $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 + x \right) = +\infty$.

Propriété 4 : (Produit)
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x \to a} f &\lim\limits_{x \to a} g&\lim\limits_{x \to a} f.g \\ \hline \ell&\ell^{\prime}&\ell \times\ell^{\prime} \\ \hline \ell&+\infty&+\infty\\ positif\ non\ nul&&\\ \hline \ell&-\infty&-\infty\\ positif\ non\ nul&&\\ \hline \ell &+\infty&-\infty\\ négatif\ non\ nul&&\\ \hline\ell & -\infty&+\infty\\ négatif\ non\ nul&&\\ \hline +\infty&+\infty&+\infty\\ \hline +\infty&-\infty& -\infty\\ \hline 0&-\infty\ ou\ +\infty&F.I\\ \hline \end{array}$$

Exemple :
On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}\left(1-2x \right)x^2$.
On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$. Or $-2 <0 -2x="-\infty$" 1-2x="-\infty$.<br" des="" donc="" et="" infty="" lim="" limites="" limits_="" par="" produit="" somme="" to="" x=""> On sait également que$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$. Donc, par produit des limites,$\lim\limits_{x \to +\infty} = -\infty$.

Propriété 5 : (Quotient)
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x \to a} f &\lim\limits_{x \to a} g&\lim\limits_{x \to a} \displaystyle\frac{f}{g} \\ \hline \ell& \ell^{\prime}&\large{\displaystyle\frac{\ell}{\ell’}} \\&non\ nul&\\ \hline \ell&-\infty\ ou\ +\infty&0\\ \hline +\infty&\ell^{\prime}&+\infty \\ &positif\ non\ nul&\\ \hline +\infty&\ell^{\prime}&-\infty\\ &négatif\ non\ nul&\\ \hline -\infty &\ell^{\prime}&-\infty\\ &positif\ non\ nul&\\ \hline -\infty & \ell^{\prime} &+\infty \\ & négatif\ non\ nul & \\ \hline -\infty\ ou\ +\infty&-\infty\ ou\ +\infty&F.I\\ \hline \ell\ positif\ non\ nul&0&+\infty\\ ou\ +\infty&en\ restant\ positif&\\ \hline \ell\ positif\ non\ nul&0&-\infty\\ ou\ +\infty&en\ restant\ négatif&\\ \hline \ell\ négatif\ non\ nul&0&-\infty\\ ou-\infty&en\ restant\ positif& \\ \hline \ell\ négatif\ non\ nul&0&+\infty\\ ou\ -\infty&en\ restant\ négatif& \\ \hline0&0&F.I\\ \hline \end{array}$$

Exemple :
On veut déterminer $\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x}{3-x}$.
On veut donc déterminer la limite à droite de cette fraction.
On constate que $\lim\limits_{x \to 3^+} 3-x=0$ et que, pour tout réel $x>3$ on a $3-x<0 br=""> Ainsi$\lim\limits_{x \to 3^+} 3-x=0^-$c’est-à-dire qu’on tend vers$0$tout en restant négatif. On sait également que$\lim\limits_{x \to 3^+} x=3$. Par conséquent, par quotient des limites,$\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x}{3-x}=-\infty$.

🔻Quelques propriétés

Pour l’instant, si on veut étudier la limite en $+\infty$ de $P(x)=x^2-3x+4$ on est obligé de factoriser l’expression. On obtient, sinon, une forme indéterminée.
$P(x)=x^2\left(1-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}\right)=x^2\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x^2}=0$.
Donc par somme des limites on obtient : $\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}=1$.
Puisque $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ à l’aide du produit des limites on peut dire que $\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=+\infty$.
La propriété suivante va permettre de généraliser cette technique.

Propriété 6 : (Terme de plus haut degré d’un polynôme)
La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son terme de plus haut degré.

Exemples :
• $\lim\limits_{x \to +\infty} (-3x^2+4x+3) = \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^2 = -\infty$
• $\lim\limits_{x \to -\infty} (2x^3-8x-5) = \lim\limits_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty$

Propriété 7 : (Terme de plus haut degré d’une fonction rationnelle)
La limite en l’infini d’un fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient de ses termes de plus haut degré.

Exemple :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2 + 4x-3}{3x^2-2x + 1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2}{3x^2} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{2}{3}$

On ne peut appliquer ces propriétés que si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
$\quad$
• on veut déterminer $\lim\limits_{x \to -\infty}$ ou $\lim\limits_{x \to +\infty}$;
• la fonction utilisée est un polynôme ou une fonction rationnelle.
Dans de nombreux cas, les fonctions utilisées sont des enchaînements de fonctions. On parle alors de fonctions composées.
$\quad$

Définition 6 : (Fonctions composées)
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $J$ et une fonction $g$ définie sur un intervalle $I$ telle que, pour tout $x$ appartenant à $I$, $g(x)$ appartient à $J$.
On définit la fonction composée $g$ suivie de $f$, qu’on appellera $h$, définie sur $I$ par : $h(x) = f\left(g(x)\right)$. Elle est notée $h = f \circ g$.

Exemple :
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \sqrt{x^2+1}$.
$h$ est la composée des fonctions $f$ et $g$ définies toutes les deux sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2+1$.
$$x \overset{g}{\longrightarrow} x^2+1 \overset{f}{\longrightarrow} \sqrt{x^2+1}$$

Théorème 1 :
On considère deux fonctions $f$ et $g$. $a$, $b$ et $c$ désignent soit des réels soit $+\infty$ ou $-\infty$.
Si $\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{a}}}g(x) = \color{red}{\boldsymbol{b}} \\ \lim\limits_{X \to \color{red}{\boldsymbol{b}}} f(X) = \color{orange}{\boldsymbol{c}} \end{array}\right\}$ alors $\lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{a}}} f\circ g(x) = \color{orange}{\boldsymbol{c}}$

Exemple :
$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{+\infty}}}x^2+1 = \color{red}{\boldsymbol{+\infty}} \\ \lim\limits_{X \to \color{red}{\boldsymbol{+\infty}}} \dfrac{1}{X} = \color{orange}{\boldsymbol{0}} \end{array}\right\}$ alors $\lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{+\infty}}} \dfrac{1}{x^2+1} = \color{orange}{\boldsymbol{0}}$

🔻 Théorèmes de comparaison

Voici deux théorèmes qui ont déjà été vus dans le chapitre sur les suites.

Théorème 2 : (Théorème des gendarmes)
On considère deux réels $a$, éventuellement égal à $+\infty$ ou $-\infty$, et $\ell$ et trois fonctions $f$, $g$ et $h$ telles que, au voisinage de $a$, on ait $f(x) \le g(x) \le h(x)$ et $\lim\limits_{x \to a }f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x)= \ell$ alors $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \ell$

Exemple :
On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x^2}$
On sait que, pour tous réel $x$ on a $-1 \le \sin x \le 1$.
Par conséquent on obtient l’encadrement suivant $-\dfrac{1}{x^2} \le \dfrac{\sin x}{x^2} \le \dfrac{1}{x^2}$
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{1}{x^2} =0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$.
Donc, d’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x^2} = 0$.

Théorème 3 : (Théorème de comparaison)
On considère un réel $a$, éventuellement égal à $+\infty$ ou $-\infty$, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que, au voisinage de $a$, on ait $f(x) \le g(x)$.
1. Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ alors$\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$
2. Si $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$

Exemple :
On considère une fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ telle que, pour tout $x$, $f(x) \ge \sqrt{x}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ donc, d’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

🔻 Les exercices

Exercice 1
Déterminer dans chacun des cas la limite demandée.
1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6}$ $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)$ $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3}$ $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x}$ $\quad$
5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x}$ $\quad$
6. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}}$ $\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x+6}$

🔻 Correction exercice 1

1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} (-2 x -6) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6} = -\infty$ $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = +\infty$.
De plus $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (x-3) = -3$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right) = -\infty$ $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (1-4x) = -11$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (x-3) = 0^+$ donc
$\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3} = -\infty$ $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} x^3 = 8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} (4-2x) = 0^+$ donc
$\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x} = +\infty$ $\quad$
5. $\dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = \dfrac{x\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x} + \dfrac{2}{x} – 3\right)}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} – 3$.
Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$
Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = -3$ $\quad$
6. $\dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = \dfrac{2x}{\sqrt{-x}} + \dfrac{5}{\sqrt{-x}}$ $= -2\sqrt{-x}+\dfrac{5}{\sqrt{-x}}$.
Or $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -2\sqrt{-x}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{5}{\sqrt{-x}} = 0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = -\infty$ $\quad$
7. $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} -2x = 4$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (3x + 6) = 0^-$
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x +6} = -\infty$

Exercice 2
Déterminer les limites suivantes : 1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$ $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$ $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$ $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$ $\quad$
5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$

🔻 Correction exercice 2

1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x}{x^2}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^+$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré. $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x}{x^2}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré. $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2-4x}{x^3+3x^2+2x +6}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2}{x^3}$ $= \dfrac{-4}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré. $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-3x -10}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3}{x^2}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré. $\quad$
5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2}{4x^2}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré. $\quad$

Exercice 3
Déterminer les limites suivantes:
1. $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$ $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$ $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$

🔻 Correction exercice 3

1. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
Tel quel, on est en présence d’une forme indéterminée.
Essayons de factoriser $-2x^2-x+3$. $\Delta = 1+24 = 25 >0$.
Il y a donc deux racines réelles. $x_1 = \dfrac{1 – 5}{-4} = 1$ et $\dfrac{1+5}{-4} = -\dfrac{3}{2}$.
Ainsi $\dfrac{-2x^2-x+3}{x-1} = \dfrac{-2(x -1)\left(x + \dfrac{3}{2} \right)}{x-1} =-2\left( x + \dfrac{3}{2}\right)$ pour tout $x \ne 1$.
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 1} -2\left(x + \dfrac{3}{2}\right) = -5$ $\quad$
2. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
$\dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8} = \dfrac{x(x+4)}{-(x -2)(x +4)}$ $=\dfrac{-x}{x -2}$ pour $x \ne -4$
Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{-x}{x -2} = – \dfrac{2}{3}$ $\quad$
3. On constate encore une fois que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
$\dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $= \dfrac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}$ $= \dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ pour tout $x \ne 2$.
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ $=-8\sqrt{2}$ $\quad$
4. Là encore, on constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
$\dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81} = \dfrac{\sqrt{9-x}}{(x – 9)(x + 9)} = \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ pour $x\ne 9$.
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ $= -\infty$

Exercice 4
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-2;1 \}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5x+1}{x^2+x-2}$. Combien d’asymptotes possède la courbe représentative de cette fonction? Déterminer leur équation.

🔻 Correction exercice 4

Étudions tout d’abord les limites en $\pm \infty$.
D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$ De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$
La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc une asymptote horizontale d’équation $y=1$. $\quad$
Étudions maintenant les limites en $-2$
$\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (x^2+5x + 1) = -5$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} x^2+x-2 = 0^+$
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} f(x) = -\infty$
On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} f(x)= +\infty$ $\quad$
Étudions enfin les limites en $1$
$\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+5x+1=8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+x-2=0^-$ Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -\infty$
On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=+\infty$ $\quad$
Ainsi la courbe représentative de $f$ possède également deux asymptotes verticales d’équation $x=1$ et $x=-2$.

Exercice 5
Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative. $\quad$
1. Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale. $\quad$
2. Etudier sa position relative par rapport à cette asymptote. $\quad$
3. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)$. $\quad$
4. Que peut-on en déduire? $\quad$
5. Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai?

🔻 Correction exercice 5

1. D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) =$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3$. $\quad$
Par conséquent $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=3$
2. Étudions le signe de $f(x)-3$
$\begin{align} f(x)-3 &= \dfrac{3x^2-4}{x^2-1} – 3 \\\\ &= \dfrac{3x^2-4 -3^\left(x^2-1\right)}{x^2-1} \\\\ &= \dfrac{-1}{x^2-1} \end{align}$
$x^2-1$ est positif sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$ et négatif sur $]-1;1[$. $\quad$
Par conséquent $\mathscr{C}_f$ est au dessus de l’asymptote horizontale sur $]-1;1[$ et au-dessous sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$ $\quad$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) = +\infty$ $\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = -\infty$ $\quad$
4. On en déduit donc que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote verticale d’équation $x=1$. $\quad$
5. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} x^2-1 = 0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) = -\infty$ $\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} x^2-1 = 0^-$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} f(x) = +\infty$ $\quad$
$\mathscr{C}_f$ possède donc une seconde asymptote verticale d’équation $x=-1$.

🔻 I- Continuité

1) Continuité en un point :

Définition:
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$, et a un élément de I (distinct des bornes de I)
f est continue en a si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$
Si $f$ n'est pas continue en a, on dit que $f$ est discontinue en a

Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{x^{2}-x-2}{x-2} & \text { si } x \neq 2 \\ 3 & \text { si } x=2 & \\ \end{array}\right.$
Pour tout $x \neq 2, \displaystyle\frac{x^{2}-x-2}{x-2}=\displaystyle\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1,$ donc
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{x^{2}-x-2}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} x+1=3=f(2)$
Donc la fonction $f$ est continue en 2 .

Exemple 2 :
Quelle valeur de $a$ faut-il choisir pour que $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \qquad si \ x \in[-1 ; 0[\cup] 0 ;+\infty[ \\ a \qquad si \ x=0\end{array}\right.$ soit continue en 0 ?
$f$ sera continue en 0 si et seulement si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)=a$.
$\begin{array}{ll} \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x) &=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\\&=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\&= \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\&= \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} \\&=\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\\&=\displaystyle\frac{1}{2} \end{array}$
Donc $a=\displaystyle\frac{1}{2}$

Exemple 3 :
Soit la fonction $f$ définie par :
$\left\{ \begin{array}{ll} f ( x )&=x^{2} \cos (\displaystyle\frac{1}{x})\quad pour\ x \neq 0 \\ f (0)&=0 \end{array}\right.$ .
Démontrer que $f$ est continue en 0
On commence par déterminer la limite de $x^{2} \cos \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)$ en 0:
On sait que $-1 \leq \cos \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) \leq 1,$ puisque $x^{2} \geq 0$ on a alors l'encadrement:
$-x^{2} \leq x^{2} \cos \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) \leq x^{2},$
or $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0$ donc par le théorème des gendarmes,
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)=0$
Ensuite on compare avec $f(0)$ .
Or $f(0)=0$ donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)=f(0)$
On conclut que $f$ est continue en 0 car $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)$
2) Continuité à gauche - Continuité à droite

$\bullet$ $f$ est continue à gauche de a si $\lim\limits_{x\to a ^{-}} f ( x )= f ( a )$
$\bullet$ $f$ est continue à droite de a si $\lim\limits_{x\to a ^{+}} f ( x )= f ( a )$
$\bullet$ Cas des fonctions définies en a et par des expressions différentes à gauche et à droite de a (on dit que $f$ est définie par morceaux)
$f$ est continue en a si $\lim\limits_{x\to a^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)=f(a)$

Remarque :
Si l'une des limites à gauche, ou à droite (ou encore les deux limites) n'existent pas ou si $\lim\limits_{x\to a ^{-}} f ( x ) \neq \lim\limits_{x\to a ^{+}} f ( x )$ alors $f$ est discontinue en a
3) Continuité sur un intervalle

Définition :
$\bullet$ $f$ définie sur un intervalle ouvert $I=] a ; b[$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout réel de l'intervalle $I$.
$\bullet$ $f$ définie sur un intervalle fermé $I=[a, b]$ est continue sur $I,$ si $f$ est continue sur l'intervalle ouvert $] a ; b[$, continue à droite de $a$ et à gauche de $b$ (soit $\lim\limits_{x\to a ^{+}} f ( x )= f ( a )$ et $\lim\limits_{x\to b ^{-}} f ( x )= f ( b )$)

Remarque:
une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui peut être tracée d'un trait continu (sans lever le crayon de la feuille) de la borne inférieure à $la$ borne supérieure de l'intervalle.
4- Opération sur les fonctions continues :

Les propriétés des fonctions continues se déduisent des propriétés des limites
$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont continues en $a,$ il en est de même pour $f+g$ et $\lambda f\ (\lambda \in R)$
$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont continues en $a ,$ il en est de même pour $f g$ et $si g ( a ) \neq 0$ pour $\displaystyle\frac{ f }{ g }$
$\bullet$ Si $f$ est continue en $a$, $|f|$ l'est aussi
$\bullet$ Si $f$ est continue en $a$ et si g est continue en $f(a)$ alors $gof$ est continue en $a$

5- Continuité des fonctions usuelles

En particulier les fonctions suivantes sont continues
$\bullet$ les fonctions $x \mapsto x ^{ n }( n \in N )$ sont continues sur $\mathbb{R}$
$\bullet$ les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$
$\bullet$ les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle où le dénominateur ne s'annule pas
$\bullet$ la fonction $x \mapsto \sqrt{ x }$ est continue sur $[0,+\infty[$
$\bullet$ les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$
$\bullet$ la fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur $]-\displaystyle\frac{\pi}{2}+ k \pi, \displaystyle\frac{\pi}{2}+ k \pi[( k \in Z )$

Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f ( x )=\left\{\begin{array}{cl}3 x -5 & \text { si } x <2 2="" array="" br="" end="" geq="" right.="" si="" text="" x="">$\bulletf$est une fonction polynôme du premier degré sur$]-\infty, 2[$, elle est donc continue sur$]-\infty, 2[\bulletf$est une fonction polynôme du deuxième degré sur l'intervalle$] 2,+\infty[,$elle est donc continue sur$] 2,+\infty[$.$\bullet$Cette fonction est même continue à droite de 2 par la définition de la fonction Donc$f $est continue sur$]-\infty, 2[\cup[ 2,+\infty[\bullet$Démontrons que$f$est continue à gauche de 2$f (2)=2^{2}-3=1$et$\lim\limits_{x\to 2 \atop X <2 -5="" 2="" br="" continue="" de="" donc="" est="" f="" gauche="" lim="" limits_="" to="" x=""> $\bullet$ $f$ est donc continue à droite et à gauche de 2 donc en 2 c'est-à-dire $f$ est continue sur $\mathbb{R}$

🔻 II - THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

1- THÉORÈME ( admis )

Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et continue sur $I$ alors elle vérifie la propriété suivante :
quels que soient les réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $c$ appartenant à $[a;b]$.

Ce théorème résulte du fait que l'image d'un intervalle de $\mathbb{R}$ par une fonction continue est un intervalle de $\mathbb{R}$.
$\bullet$ $f$ est continue sur $I$

L'image de l'intervalle $[a;b]$ est un intervalle.
Tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ est l'image d'au moins un élément de $[a;b]$.
$\bullet$ $f$ n'est pas continue sur $I$

L'image de l'intervalle $[a;b]$ n'est pas un intervalle. Il existe des réels $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ pour lesquels l'équation $f(x)=k$ n'a pas de solution.
2 - COROLLAIRE DU THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$, $b$ deux réels appartenant à $I$, $a < b$ .
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution $\textbf{unique} \ c$ appartenant à $[a;b]$.

🔻PREUVE

Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$
Existence
Par hypothèse, $f$ est continue sur $[a;b]$ alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $c$ appartenant à $[a;b]$.
Unicité
Supposons que l'équation $f(x)=k$ admette deux solutions distinctes $c_1$ et $c_2$ appartenant à $[a;b]$
Par hypothèse, $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ alors $c_1 \ne c_2 \Rightarrow f\left(c_1\right) \ne f\left(c_2\right)$
Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f\left(c_1\right) = f\left(c_2\right) = k$
Donc $c_1 = c_2$, ce qui prouve que l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans $[a;b]$
CONSÉQUENCE

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ et $f(a) \times f(b) <0 a="" admet="" alors="" b="" dans="" div="" f="" l="" quation="" solution="" une="" unique="" x="">
REMARQUE
Le théorème s'applique aussi lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme $[a;b[$, $]a;b]$, $]a;b[$ , $[a; + \infty [$, $]a;+\infty[$ , $]-\infty;b]$ ou $]-\infty;b[$.
ÉTUDE D'UN EXEMPLE

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+\displaystyle\frac{x^{2}}{4}+5 x+\displaystyle\frac{28}{3}$
On cherche à résoudre l'équation $f(x)=0$

1) On note $f^{\prime}$ la dérivée de la fonction $f$.Calculer $f^{\prime}(x)$
La fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$, on a:
$f^{\prime}(x)=-\displaystyle\frac{3 x^{2}}{3}+\displaystyle\frac{2 x}{4}+5=-x^{2}+\displaystyle\frac{x}{2}+5$
$f^{\prime}$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par
$f^{\prime}(x)=-x^{2}+\displaystyle\frac{x}{2}+5$
2) Étudier les variations de la fonction $f$
Les variations de la fonction $f$ se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de $f^{\prime}(x)=-x^{2}+\displaystyle\frac{x}{2}+5$ .
$f’$ est une fonction polynôme du second degré.
Le discriminant du trinôme est : $\Delta=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \times(-1) \times 5=\displaystyle\frac{81}{4}$
$\Delta>0$ donc le trinôme admet deux racines distinctes :
$x_{1}=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{9}{2}}{-2}=\displaystyle\frac{5}{2}$ et $x_{2}=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{9}{2}}{-2}=-2$
Un polynôme du second degré est du signe de $a$ sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f^{\prime}(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ ainsi que les variations de la fonction $f$:

3) Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
Sur lintervalle $]-\infty ; \displaystyle\frac{5}{2}]$ , le minimum de la fonction $f$ est égal à $3$ donc pour tout réel $x$ appartenant à lintervalle $]-\infty ; \displaystyle\frac{5}{2}]$ on a $f(x) \geqslant 3$.
Par conséquent sur cet intervalle, l’équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.
Sur lintervalle $[\displaystyle\frac{5}{2} ;+\infty[$ la fonction $f$ est dérivable donc continue, strictement décroissante avec $f(\displaystyle\frac{5}{2})= \displaystyle\frac{291}{16}$ et $f(6)=-\displaystyle\frac{71}{3}$ .
Soit $f(6) < 0 < f(\displaystyle\frac{5}{2})$.
alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in[\displaystyle\frac{5}{2} ;+\infty[$.
Ainsi, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in[\displaystyle\frac{5}{2} ;+\infty[$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 4,937$ .